Циклические группы

Циклическая группа - группа, которая является собственной циклической подгруппой . В примере 5.7 группа G имеет циклическую подгруппу H 5 = G . Это означает, что группа G - циклическая группа. В этом случае элемент, который генерирует циклическую подгруппу, может также генерировать саму группу. Этот элемент далее именуется "генератор". Если g - генератор, элементы в конечной циклической группе могут быть записаны как

{e,g,g 2 ,….., g n-1 } , где g n = e .

Заметим, что циклическая группа может иметь много генераторов.

Пример 5.9

а. Группа G = - циклическая группа с двумя генераторами, g = 1 и g = 5 .

б. Группа - циклическая группа с двумя генераторами, g = 3 и g = 7 .

Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа показывает отношение между порядком группы к порядку ее подгруппы. Предположим, что G - группа и H - подгруппа G . Если порядок G и H - |G| и |H| , соответственно, то согласно этой теореме |H| делит |G| . В примере 5.7 |G| = 6 . Порядок подгруппы - |H1| = 1, | H2| = 3, |H3| = 2 и |H4| = 6 . Очевидно, все эти порядки есть делители 6 .

Теорема Лагранжа имеет очень интересное приложение. Когда дана группа G и ее порядок |G| , могут быть легко определены порядки потенциальных подгрупп , если могут быть найдены делители. Например, порядок группы G = - это |17| . Делители 17 есть 1 и 17 . Это означает, что эта группа может иметь только две подгруппы - нейтральный элемент и H 2 = G .

Порядок элемента

Порядок элемента в группе ord (a) (порядок (a)) является наименьшим целым числом n , таким, что a n = e . Иными словами: порядок элемента - порядок группы, которую он генерирует.

Пример 5.10

a. В группе G = , порядки элементов: порядок ord(0) = 1 , порядок ord (1) = 6 , порядок ord (2) = 3 , порядок ord (3) = 2 , порядок ord (4) = 3 , порядок ord (5) = 6 .

b. В группе G = , порядки элементов: порядок ord (1) = 1 , порядок ord (3) = 4 , порядок ord (7) =4 , порядок (9) = 2 .

Конечные группы

Группа (полугруппа) называется конечной , если она состоит из конечного числа элементов. Число элементов конечной группы называется её порядком . Любая подгруппа конечной группы конечна. И если Н ÍG – подгруппа группы G , то для любого элемента а ÎG множество Н а ={х : x =h ◦a , для любых h ÎH } называется левым классом смежности для G относительно Н . Понятно, что число элементов в Н а равно порядку Н . (Аналогично можно сформулировать определение а Н – правого класса смежности относительно Н ).

Важно то, что для любой подгруппы Н группы G любые два левых (правых) класса смежности по Н либо совпадают, либо не пересекаются, поэтому любая группа может быть представлена как объединение непересекающихся левых (правых) классов смежности по Н .

Действительно, если два класса Н a и H b , где a , b ÎG , имеют общий элемент х , то существует t ÎH такое, что x = t ◦a . И тогда левый класс для х : Н х ={y : y =h ◦x = h ◦(t ◦a ) = (h ◦t )◦a } ÍH a , но a = t ‑1 ◦x и Н a ={y : y =h ◦a = h ◦(t ‑1 ◦x ) = (h ◦t ‑1)◦x } ÍH x . Отсюда Н х = Н a . Аналогично можно показать, что Н х = Н b . И, следовательно, Н a = Н b . Если же классы Н a и H b не имеют общих элементов, то они и не пересекаются.

Такое разбиение группы на левые (правые) классы смежности называется разложением группы по подгруппе Н .

Теорема 2.6.1. Порядок конечной группы делится на порядок любой её подгруппы.

Доказательство. Так как G – конечная группа, то и любая её подгруппа Н имеет конечный порядок. Рассмотрим разложение группы по подгруппе Н . В каждом классе смежности в этом разложении число элементов одинаково и равно порядку Н . Поэтому, если n – порядок группы G , а k – порядок подгруппы Н , то n =m ×k , где m – число классов смежности по Н в разложении группы G .

Если для любого элемента a ÎG Þ Н a = а Н (левый и правый классы смежности по подгруппе Н совпадают), то Н называется нормальным делителем группы G .

Утверждение : если G – коммутативная группа, то любая её подгруппа Н является нормальным делителем G .

Ввиду ассоциативности действия в группе (полугруппе) можно говорить о «произведении» трех элементов (а ◦b ◦c ) =(а ◦b )◦c = а ◦(b ◦c ). Аналогично вводится понятие сложного произведения из n элементов: а 1 ◦а 2 ◦…◦а n = ◦ а n = = ◦.

Произведение n одинаковых элементов группы называется степенью элемента и обозначается a n =. Это определение имеет смысл для любого натурального n . Для любого элемента группы a ÎG обозначают а 0 =е – нейтральный элемент группы G . А отрицательные степени элемента a ‑ n определяют как (a ‑1) n или (a n ) ‑1 , где a ‑1 – обратный элемент к а . Оба определения a ‑ n совпадают, т.к. a n ◦(a ‑1) n = (а ◦а ◦ ¼◦а )◦(a ‑1 ◦a ‑1 ◦ ¼◦a ‑1) = а ◦а ◦¼◦(а ◦a ‑1)◦a ‑1 ◦¼◦a ‑1 =е n =e . Таким образом, (a ‑1) n = (a n ) ‑1 .

В аддитивной группе аналогом степени элемента a n будет n ‑кратное к нему, обозначаемое обычно na , которое не стоит воспринимать как произведение n на а , поскольку n Îℕ и, возможно, n ÏG . Т.о. na ⇋, где n Îℕ, и 0а =е ⇋0, и (‑n )a = ‑(na ) = n (‑a ) для любого натурального n , где (‑a ) – обратный к a ÎG .

Легко показать, что при выбранных обозначениях для любых целых чисел m и n и для любого a ÎG выполняются известные свойства: а ) при мультипликативной записи a n ◦a m = a n + m и (a n ) m = a nm ; б ) при аддитивной записи na +ma = (n +m )a и n (ma )=(nm )a .

Рассмотрим подмножество группы G , составленное из всех степеней произвольного элемента g ÎG . Обозначим его А g . Таким образом, А g ={g 0 , g 1 , g ‑1 , g 2 , g ‑2 ,¼}. Очевидно, А g является подгруппой группы G , т.к. для любых элементов х ,у ÎА g следует, что (х ◦у )ÎА g , и для любого элемента х ÎА g найдется х ‑1 ÎА g , кроме того, g 0 =е ÎА g .

Подгруппа А g называется циклической подгруппой группы G , порожденной элементом g . Эта подгруппа всегда коммутативна, даже если сама G не коммутативна. Если группа G совпадает с одной из своих циклических подгрупп, то она называется циклической группой , порожденной элементом g .

Если все степени элемента g различны, то группа G называется бесконечной циклической группой, а элемент g – элементом бесконечного порядка .

Если среди элементов циклической группы имеются равные, например, g k =g m при k >m , то g k ‑ m =e ; и, обозначив k-m через n , получим g n =e , n Îℕ.

Наименьший натуральный показатель n такой, что g n =e , называется порядком элемента g , а сам элемент g называется элементом конечного порядка .

Такой элемент всегда найдется в конечной группе, но может быть и в бесконечной группе.

Группы, все элементы которых имеют конечный порядок, называются периодическими .

Так как любой элемент конечной группы имеет конечный порядок, то все конечные группы являются периодическими. Кроме того, периодическими являются все циклические подгруппы конечной группы, поскольку они конечны, и каждый элемент конечного порядка n порождает циклическую группу того же порядка n , состоящую из элементов {g 0 , g 1 , g 2 ,¼, g n ‑1 }. Действительно, если бы число элементов было бы равно некоторому k <n , тогда g k =e =g n , что противоречит выбору n , как наименьшей степени такой, что g n =e ; с другой стороны, k >n также невозможно, т.к. в этом случае имелись бы одинаковые элементы.

Утверждение : 1) все степени g 0 , g 1 , g 2 ,¼, g n ‑1 различны, т.к. если бы имелись равные, например, g i =g j (i >j ), то g i ‑ j =e , но (i ‑j )<n , а по определению n – наименьшая степень такая, что g n =e .

2) Всякая другая степень g , положительная или отрицательная, равна одному из элементов g 0 , g 1 , g 2 ,¼, g n ‑1 , т.к. любое целое число k можно представить выражением: k =nq +r , где q ,r Îℤ и 0£r <n , r – остаток и g k =g nq + r = g nq ° g r = (g n ) q ° g r = e q ° g r = g r .

1) Всякая группа обладает единственным элементом первого порядка {e }, порождающим циклическую подгруппу первого порядка, состоящую из одного элемента е .

2) Рассмотрим группу подстановок S 3 , состоящую из элементов: , , , , , . Порядок S 3 =6. Порядок элемента а равен 2, т.к. . Порядок элемента b также равен 2, т.к. . Порядок элемента с равен 3, т.к. и . Порядок элемента f также равен 3, т.к. и . И, наконец, порядок d равен 2, т.к. . Тем самым, циклические подгруппы S 3 , порожденные элементами e , a , b , d , c и f , соответственно равны: {e }, {e , a }, {e , b }, {e , d }, {e , c , f } и {e , f , c }, где последние две совпадают. Заметим также, что порядок каждой циклической подгруппы делит порядок группы без остатка. Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.7.1. (Лагранжа) Порядок конечной группы делится на порядок любого её элемента (т.к. порядок элемента и порядок циклической подгруппы, порожденной им, совпадают).

Отсюда также следует, что любой элемент конечной группы при возведении в степень порядка группы дает единицу группы. (Т.к. g m =g nk =e k =e , где m – порядок группы, n – порядок элемента g , k – целое число).

В группе S 3 подгруппа Н ={e , c , f } является нормальным делителем, а подгруппы 2‑го порядка нормальными делителями не являются. Это легко проверить, найдя левый и правый классы смежности по Н для каждого элемента группы. Например, для элемента а левый класс смежности Н а ={е ◦ а , с ◦ а , f ◦ a } = {а , b , d } и правый класс смежности а Н ={а ◦ е , а ◦ c , а ◦ f } = {а , d , b } совпадают. Аналогично для всех остальных элементов S 3 .

3) Множество всех целых чисел со сложением образует бесконечную циклическую группу с порождающим элементом 1 (или –1), т.к. любое целое число кратно 1.

4) Рассмотрим множество корней n ‑ой степени из единицы: Е n =. Это множество является группой относительно операции умножения корней. Действительно, произведение любых двух элементов e k и e m из E n , где k , m £ n ‑1, также будет элементом E n , поскольку = = , где r =(k+m ) mod n и r £ n ‑1; умножение ассоциативно, нейтральный элемент е =e 0 =1 и для любого элемента e k имеется обратный и . Эта группа циклическая, её порождающим элементом является первообразный корень . Нетрудно видеть, что различными являются все степени: , далее для k ³n корни начинают повторяться. На комплексной плоскости корни расположены на окружности единичного радиуса и делят её на n равных дуг, как показано на рисунке 11.

Последними двумя примерами исчерпываются по существу все циклические группы. Поскольку справедлива следующая теорема.

Теорема 2.7.2. Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой. Все конечные циклические группы порядка n изоморфны между собой.

Доказательство. Пусть (G , ∘) – бесконечная циклическая группа с порождающим элементом g . Тогда существует биективное отображение f : ℤ ® G такое, что для любых целых чисел k и m их образы f (k ) и f (m ), равные соответственно g k и g m , являются элементами G . И при этом f (k +m )=f (k )∘f (m ), поскольку g k + m =g k ∘ g m .

Пусть теперь (G , ∘) – конечная циклическая группа порядка n с порождающим элементом g . Тогда каждому элементу g k ÎG единственным способом можно сопоставить элемент e k ÎE n (0£k <n ), по правилу f (g k )=e k . И при этом для любых g k и g m ÎG следует, что f (g k ∘ g m )= f (g k ) ∘ f (g m ), поскольку f (g k ∘ g m )= f (g k + m )= f (g r ), где r =(k +m ) mod n , и f (g r )=e r =e k ×e m . Понятно, что такое сопоставление является биективным отображением.

Подгруппы циклических групп

Следующая теорема описывает строение подгрупп циклических групп.

Теорема 1.4. Подгруппа циклической группы циклическая. Если G = (a)uH - неединичная подгруппа группы G,moH = (а п), где п - наименьшее натуральное число, такое что а п е Н.

Доказательство. Пусть G = (а) и Н - подгруппа группы G. Если подгруппа Н единичная, то Н = (е) - циклическая группа. Пусть Н - неединичная подгруппа. Обозначим через п наименьшее натуральное число, такое что а п е Н, и докажем, что Н = (а п). Включение (а п ) с Н очевидно. Докажем обратное включение. Пусть h е Н. Поскольку G = (а), то существует целый показатель к, такой что h = а к. Разделим к на п с остатком: к = nq + г, где 0 п. Если предположить, что г Ф 0, то получим h = а к = а па п ч а г, откуда a r = а~ п чН е Н. Пришли к противоречию с минимальностью показателя п. Следовательно, г = 0 и к - nq. Отсюда h = a k = а п ч е а"). Таким образом, Н с (а п), а значит, Н = (а п). Теорема доказана.

Порождающие элементы циклической группы

Какими элементами может порождаться циклическая группа? Отвечают на этот вопрос следующие две теоремы.

Теорема 1.5. Пусть дана циклическая группа G = (а) бесконечного порядка. Тогда (а) - (а к) тогда и только тогда, когда к - ± 1.

Доказательство. Пусть G = (а), |а| = °° и (а) = (а к). Тогда существует целое число п, такое что а = а кп. Отсюда а*" -1 = е, а так как | а = то кп - 1 = 0. Но тогда кп = 1 ик- ± 1. Обратное утверждение очевидно.

Теорема 1.6. Пусть дана циклическая группа G = (а) порядка т. Тогда (а) = (а к) тогда и только тогда, когда НОД(/с, т) = 1.

Доказательство. (=>) Пусть (а) = (а к), докажем, что НОД(/с, т) - 1. Обозначим НОДЦс, т) - d. Поскольку а е (а) - (а к), то а = а кп при некотором целом п. По свойству порядков элементов отсюда следует, что (1 - кп) : т, т.е. 1 - кп = mt при некотором целом t. Но тогда 1 = (кп + mt) : d, откуда d = 1 и НОД(/с, т) = 1.

(Пусть НОД (к, т) = 1. Докажем, что (а) = (а к). Включение (а к) с (а) очевидно. Обратно, из условия НОД№, т) = 1 следует существование целых чисел и и v, таких что ки + mv = 1. Пользуясь тем, что | а | - т, получаем а = a ku+mv = a ku a mv = а ки е (а к ). Следовательно, (а) = (а к ). Теорема доказана.