Эллипсо́ид - поверхность в трёхмерном пространстве, полученная деформацией сферы вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей. Каноническое уравнение эллипсоида в декартовых координатах, совпадающих с осями деформации эллипсоида: .
Величины a, b, c называют полуосями эллипсоида. Также эллипсоидом называют тело, ограниченное поверхностью эллипсоида. Эллипсоид представляет собой одну из возможных форм поверхностей второго порядка.
В случае, когда пара полуосей имеет одинаковую длину, эллипсоид может быть получен вращением эллипса вокруг одной из его осей. Такой эллипсоид называют эллипсоидом вращения или сфероидом.
Эллипсоид более точно, чем сфера, отражает идеализированную поверхность Земли.
Объём эллипсоида:.
Площадь поверхности эллипсоида вращения:
Гиперболоид - это вид поверхности второго порядка в трёхмерном пространстве, задаваемый в декартовых координатах уравнением - (однополостный гиперболоид), где a и b - действительные полуоси, а c - мнимая полуось; или - (двуполостный гиперболоид), где a и b - мнимые полуоси, а c - действительная полуось.
Если a = b, то такая поверхность называется гиперболоидом вращения. Однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением гиперболы вокруг её мнимой оси, двухполостный - вокруг действительной. Двухполостный гиперболоид вращения также является геометрическим местом точек P, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек A и B постоянен: | AP − BP | = const. В этом случае A и B называются фокусами гиперболоида.
Однополостный гиперболоид является дважды линейчатой поверхностью; если он является гиперболоидом вращения, то он может быть получен вращением прямой вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней.
Параболо́ид ― тип поверхности второго порядка. Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.
Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах:
· если a и b одного знака, то параболоид называется эллиптическим.
· если a и b разного знака, то параболоид называется гиперболическим.
· если один из коэффициентов равен нулю, то параболоид называется параболическим цилиндром.
ü - эллиптический параболоид, где a и b одного знака. Поверхность описывается семейством параллельных парабол с ветвями, направленными вверх, вершины которых описывают параболу, с ветвями, также направленными вверх. Если a = b то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину данной параболы.
ü - гиперболический параболоид.
Эллипсоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxyz имеет вид где а ^ b ^ с > 0. Для того, чтобы выяснить, как выглядит эллипсоид, поступим следующим образом. Возьмем на плоскости Oxz эллипс и будем вращать его вокруг оси Oz (рис. 46). Рис.46 Полученная поверхность Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Цилиндры и конус второго порядка. - эллипсоид вращения - уже дает представление о том, как устроен эллипсоид общего вида. Чтобы получитьего уравнение, достаточ но равномсрносжать эллипсоид вращения.вдоль оси Оу с коэффициентом J ^ !,т.с. заменить в его уравнении у на Jt/5). 10.2. Гиперболоиды Вращая гиперболу fl i! = а2 с2 1 вокруг оси Oz (рис. 47), получим поверхность, называемую однополостным гиперболоидом вращения. Его уравнение имеет вид *2 + у; получается тем же способом, что и в случае эллипсоида вращения. 5) Эллипсоид врашения можно получить равномерным сжатием сферы +yJ + *J = л" вдоль оси Oz с коэффициентом ~ ^ 1. Путем равномерного сжатия этой поверхности вдоль оси Оу с коэффициентом 2 ^ 1 получим однополостный гиперболоид общего вида. Его уравнение Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Цилиндры и конус второго порядка. получается тем же способом, что и в разобранном выше случае эллипсоида. Путем вращения вокруг оси Ог сопряженной гиперболы получим двуполостный гиперболоид вращения (рис. 48). Его уравнение а2 С2 Путем равномерного сжатия этой поверхности вдоль оси Оу с коэффициентом 2 ^ 1 приходим к двуполостному гиперболоиду общего вида. Заменой у на -у получаем его уравнение Врашая параболу вокруг оси Oz (рис.49), получаем параболоид вращения. Его уравнение имеет вид х2 + у2 = 2 pz. Путем сжатия параболоида врашения вдоль оси Оу с коэффициентом yj* ^ 1 получаем эллиптический параболоид. Его уравнение получается из уравнения параболоида врашения путем замены Если, то получаем параболоид вида, указанного на рис. 50. 10.4. Гиперболический параболоид Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxyz имеет вид где р > 0, q > 0. Вид этой поверхности определим, применив так называемый метод сечений, который заключается в следующем: параллельно координатным плоскостям проводятся плоскости, пересекающие исследуемую поверхность, и по изменению конфигурации возникающих в результате плоских кривых делается вывод о структуре самой поверхности. Начнем с сечений плоскостями z = h = const, параллельными координатной плоскости Оху. При h > 0 получаем гиперболы при h - сопряженные гиперболы а при - пару псрссскаюшихся прямых Заметим, что эти прямые являются асимптотами для всех гипербол (т. е. при любом h Ф 0). Спроектируем получаемые кривые на плоскость Оху. Получим следующую картину (рис. 51). Уже это рассмотрение позволяет сделать заключение о седлообразном строении рассматриваемой поверхности (рис. 52). Рис.51 Рис.52 Рассмотрим теперь сечения плоскостями Заменяя в уравнении поверхности у на Л, получаем уравнения парабол (рис.53). Аналогичная картина возникает при рассечении заданной поверхности плоскостями В этом случае также получаются параболы ветви которых направлены вниз (а не вверх, как для сечения плоскостями у = h) (рис. 54). Замечание. Методом сечений можно разобраться в строении и всех ранее рассмотренных поверхностей второго порядка. Однако путем вращения кривых второго порядка н последующего равномерного сжатия к пониманию их структуры можно прийти проще и значительно быстрее. Оставшиеся поверхности второго порядка по существу уже рассмотрены ранее. Это цилиндры: эллиптинескии гиперболический Рис. 56 и параболический и конус второго порядка представление о котором можно получить либо путем вращения пары пересекающихся прямых вокруг оси Oz и последующего сжатия, либо методом сечений. Конечно, в обоих случаях получим, что исследуемая поверхность имеет вид, указанный на рис. 59. а) вычислите координаты фокусов; , . б) вычислите эксцентриситет; . в) напишите уравнения асимптот и директрис; г) напишите уравнение сопряженной гиперболы и вычислите ее эксцентриситет. 2. Составьте каноническое уравнение параболы, если расстояние от фокуса до вершины равно 3. 3. Напишите уравнение касательной к эллипсу ^ + = 1 вето точке М(4, 3). 4. Определите вид и расположение кривой, заданной уравнением: Ответы эллипс, большая ось параллельна Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Цилиндры и конус второго порядка. оси Ох; б) гипербола центр О (-1,2), угловой коэффициент вешественной оси Х равен 3; в) парабола У2 = , вершина (3, 2), вектор оси, направленный в сторону вогнутости параболы, равен {-2, -1}; г) гипербола с центром, асимптоты параллельны осям координат; д) пара пересекающихся прямых е) пара параллельных прямых
На вокруг своей оси, можно получить обыкновенный эллиптический . Он представляет собой полое изометрическое тело, сечениями которого являются эллипсы и параболы. Эллиптический параболоид задается вида:
x^2/a^2+y^2/b^2=2z
Все главные сечения параболоида являются параболами. При сечении плоскости XOZ и YOZ получаются только параболы. Если провести перпендикулярное сечение относительно плоскости Xoy, можно получить эллипс. Причем, сечения, представляющие собой параболы, задаются уравнениями вида:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=2z
Сечения эллипса задаются другими уравнениями:
x^2 /a^2+y^2/b^2=2h
Эллиптический параболоид при a=b превращается в параболоид вращения. Построение параболоида имеет ряд некоторых особенностей которые нужно учитывать. Операцию начните с подготовки основы - чертежа графика функции.
Для того чтобы начать строить параболоид, нужно вначале построить параболу. Начертите параболу в плоскости Oxz, как показано на рисунке. Задайте будущему параболоиду определенную высоту. Для этого проведите прямую таким образом, чтобы она касалась верхних точек параболы и была параллельно оси Ox. Затем начертите параболу в плоскости Yoz и проведите прямую. Вы получите две параболоидные плоскости, перпендикулярные друг другу. После этого в плоскости Xoy постройте параллелограмм, который поможет начертить эллипс. В этот параллелограмм впишите эллипс таким образом, чтобы он касался всех его сторон. После этих преобразований сотрите параллелограмм, и останется объемное изображение параболоида.
Существует также гиперболический параболоид, который имеет более вогнутую форму, чем эллиптический. Его сечения также имеют выд параболы, а в некоторых случаях - гиперболы. Главные сечения по Oxz и Oyz, как и у эллиптического параболоида, представляют собой параболы. Они задаются уравнениями вида:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=-2z
Если провести сечение относительно оси Oxy, можно получить гиперболу. При построении гиперболического параболоида руководствуйтесь следующим уравнением:
x^2/a^2-y^2/b^2=2z - уравнение гиперболического параболоида
Первоначально постройте неподвижную параболу в плоскости Oxz. В плоскости Oyz начертите подвижную параболу. После этого задайте высоту параболоида h. Для этого отметьте на неподвижной параболе две точки, которые будут вершинами еще двух подвижных парабол. Затем изобразите еще одну систему координат O"x"y", чтобы нанести гиперболы. Центр этой системы координат должен совпадать с высотой параболоида. После всех построений изобразите те две подвижные параболы, о которых упоминалось выше, так чтобы они касались крайних точек гипербол. В результате получится гиперболический параболоид.
Доказанное свойство касательной к параболе имеет очень важное значение, так как из него следует, что лучи, исходящие из фокуса вогнутого параболического зеркала, т. е. такого зеркала, поверхность которого получается от вращения параболы вокруг ее оси, отражаются параллельным пучком, а именно параллельно оси зеркала (рис).
Это свойство параболических зеркал применяется при устройстве прожекторов, в фарах любого автомобиля, а также в зеркальных телескопах. При этом в последнем случае, обратно, лучи, идущие от небесного светила; почти параллельно, сосредоточиваются около фокуса зеркала телескопа, и так как лучи, идущие от разных точек светила, намного непараллельны, то они сосредоточиваются около фокуса в разных точках, так что около фокуса получается изображение светила, тем большее, чем больше фокусное расстояние параболы. Это изображение уже рассматривается в микроскоп (окуляр телескопа). Строго говоря, только лучи, строго параллельные оси зеркала, собираются в одну точку (в фокус), параллельные же лучи, идущие, под углом к оси зеркала, собираются лишь почти в одну точку, причем, чем дальше эта точка от фокуса, тем изображение более размытое. Эго обстоятельство ограничивает «поле зрения телескопа».
Пусть внутренняя поверхность его - зеркальная поверхность- это параболическое зеркало освещается пучком лучей света параллельно оси ОУ. Все лучи, параллельные оси ОУ, после отражения пересекутся в одной точке оси ОУ (фокус F). На этом свойстве основано устройство параболических телескопов. Лучи от далёких звёзд приходят к нам в виде параллельного пучка. Изготовив параболический телескоп и поместив в его фокус фотопластинку, мы получаем возможность, усилить световой сигнал, идущий от звезды.
Этот же принцип лежит в основе создания параболической антенны, позволяющей усилить радиосигналы. Если же поместить в фокусе параболического зеркала источник света, то после отражения от поверхности зеркала лучи, идущие от этого источника, не будут рассеиваться, а соберутся в узкий пучок параллельно оси зеркала. Этот факт находит применение при изготовлении прожекторов и фонарей, различных проекторов, зеркала которых изготавливают в форме параболоидов.
Отмеченным выше оптическим свойством параболического зеркала пользуются при создании зеркальных телескопов, различных солнечных нагревательных установок, а также прожекторов. Поместив в фокусе параболического зеркала мощный точечный источник света, мы получим плотный поток отраженных лучей, параллельных оси зеркала.
При вращении параболы вокруг ее оси получается фигура, которую называют параболоидом. Если внутреннюю поверхность параболоида сделать зеркальной и направить на нее пучок лучей, параллельных оси симметрии параболы, то отраженные лучи соберутся в одной точке, которую называют фокусом. В то же время если источник света поместить в фокусе, то отраженные от зеркальной поверхности параболоида лучи окажутся параллельными и не рассеиваются.
Первое свойство позволяет получить в фокусе параболоида высокую температуру. Согласно легенде это свойство использовал древнегреческий ученый Архимед (287-212 гг. до н. э.). При защите Сиракуз в войне против римлян он построил систему параболических зеркал, которая позволила сфокусировать отраженные солнечные лучи на кораблях римлян. В результате температура в фокусах параболических зеркал оказалась настолько высокой, что на кораблях вспыхнул пожар и они сгорели.
Второе свойство используется, например, при изготовлении прожекторов и автомобильных фар.
Гипербола
4. Определение гиперболы дает нам простой способ построения ее непрерывным движением: возьмем две нити, разность длин которых равна 2а, и прикрепим по одному концу этих нитей к точкам F" и F. Если держать рукой два других конца соединенными вместе и водить вдоль нитей острием карандаша, заботясь о том, чтобы нити были прижаты к бумаге, натянуты и соприкасались, начиная от чертящего острия до места соединения концов, то острие начертит часть одной из ветвей гиперболы (тем большую, чем длиннее взяты нити) (Рис.).
Поменяв ролями точки F" и F, получим часть другой ветви.
Например, на тему «Кривые 2-го порядка» можно рассмотреть следующую задачу:
Задача. Две железнодорожные станции А и В находятся на расстоянии s км одна от другой. В любую точку М груз можно доставить со станции А либо по прямой автотранспортом (первый путь), либо по железной дороге до станции В, а оттуда автомобилями (второй путь). Железнодорожный тариф (цена перевозки 1 т на 1 км) составляет m рублей, тариф автотранспорта – n рублей, n > m, тариф погрузки-разгрузки - k рублей. Определить область влияния железнодорожной станции В, т.е, ту область, в которую дешевле доставить груз со станции А смешанным путем - по железной дороге, а затем автотранспортом, т.е. определить геометрическое место точек, для которых второй путь выгоднее первого.
Решение. Обозначим AM = r , BM = г , тогда стоимость доставки (перевозки и погрузки-разгрузки) по пути AM равна nr + k, а стоимость доставки по пути АВМ равна ms + 2k + nг . Тогда точки М, для которых обе стоимости равны, удовлетворяют уравнению nr + k = ms+2k+nг , или
ms + k = nr - nг
r - г = = const > О,
следовательно, линия, ограничивающая область, - одна из ветвей гиперболы | r - г | = const. Для всех точек плоскости, лежащих по одну сторону с точкой А от этой гиперболы, более выгоден первый путь, а для точек, лежащих по другую сторону, - второй, поэтому ветвь гиперболы очерчивает область влияния станции В.
Вариант данной задачи .
Две железнодорожные станции А и В находятся на расстоянии l км одна от другой. В точку М груз можно доставить со станции А либо по прямой автотранспортом, либо по железной дороге до станции В, а оттуда автомобилями (рис. 49). При этом железнодорожный тариф (цена перевозки 1 т на 1 км) составляет m рублей, погрузка - разгрузка обходится в k рублей (за 1 т) и тариф автотранспорта - n рублей (n > m). Определим так называемую зону влияния железнодорожной станции В, т. е., ту зону, в которую дешевле доставлять груз из А смешанным путем: по - железной дороге и затем автотранспортом.
Решение. Стоимость доставки 1 т груза по пути AM составляет r n, где r = AM, а по пути AВМ она будет равна 1m + k + r n. Нам надо решить двойное неравенство r n 1m+ k+ r n и определить, как распределятся точки на плоскости (х, у), в которые дешевле доставлять груз либо первым, либо вторым путем.
Найдем уравнение линии, образующей границу между этими двумя зонами, т. е. геометрическое место точек, для которых оба пути «равно выгодны»:
r n = 1m+ k+ r n
Из этого условия получаем r - r = = const.
Следовательно, линия раздела гипербола. Для всех внешних точек этой гиперболы более выгоден первый путь, а для внутренних - второй. Поэтому гипербола и очертит зону влияния станции В. Вторая ветвь гиперболы очертит зону влияния станции А (груз доставляется со станции В). Найдем параметры нашей гиперболы. Ее большая ось 2а = , а расстояние между фокусами (которыми являются станции А и В) в данном случае 2с = l.
Таким образом, условие возможности этой задачи, определяемое соотношением a < с, будет
Данная задача связывает абстрактное геометрическое понятие гиперболы с транспортно-экономической задачей.
Искомое геометрическое место точек есть множество точек, лежащих внутри правой ветви гиперболы, содержащей точку В.
6. В курсе «Сельхозмашин » важными эксплуатационными характеристиками работающего на склоне трактора, показывающими его устойчивость, являются угол продольного наклона и угол поперечного крена.
Будем рассматривать для простоты колесный трактор. Поверхность, на которой работает трактор (по крайней мере, ее достаточно малую часть), можно считать плоскостью (плоскость движения). Продольной осью трактора называется проекция прямой, соединяющей середины передней и задней оси, на плоскость движения. Углом поперечного крена называется угол, образованный с горизонтальной плоскостью прямой, перпендикулярной продольной оси и лежащей в плоскости движения.
При изучении в курсе математики темы «Прямые и плоскости в пространстве» рассматриваем задачи:
а) Найти угол продольного наклона трактора, движущегося по склону, если известен угол подъема склона и угол отклонения траектории трактора от продольного направления.
б) Предельным углом поперечного крена трактора называется наибольший допустимый угол наклона склона, поперек которого может стоять трактор, не опрокидываясь. Какие параметры трактора достаточно знать для определения предельного угла поперечного крена; как найти этот
угол?
7. Наличие прямолинейных образующих используется в строительной технике. Основоположником практического применения этого факта является известный русский инженер Владимир Григорьевич Шухов (1853-1939). В. Г. Шухов осуществил конструкции мачт, башен и опор, составленных из металлических балок, располагающихся по прямолинейным образующим однополостного гиперболоида вращения. Высокая прочность таких конструкций в соединении с легкостью, невысокой стоимостью изготовления и изяществом обеспечивает широкое распространение их в современном строительстве.
8. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Для свободного тела равно возможны все виды движения, но это еще не значит, что движение свободного тела является беспорядочным, не подчиняющимся никаким законам; наоборот, поступательное движение твердого тела независимо от его внешней формы стесняется законом о центре массы и сводится к движению одной точки, а вращательное- так называемыми главными осями инерции или эллипсоидом инерции . Так, палка, брошенная в свободное пространство, или зерно, вылетающее из сортировки и т. д., движется поступательно, как одна точка (центр масс), а в то же время вращается около центра массы. Вообще при поступательном движении всякое твердое тело независимо от его формы или сложную машину можно заменить одной точкой (центром массы), а при вращательном - эллипсоидом инерции, радиусы-векторы которого равны --, где / - момент инерции этого тела относительно осей, проходящих через центр эллипсоида.
Если момент инерции тела во время вращения почему-либо изменяется, то соответственно будет изменяться и скорость вращения. Например, во время прыжка через голову акробаты сжимаются в комок, отчего момент инерции тела уменьшается, а скорость вращения увеличивается, что и нужно для успеха прыжка. Точно так же, поскользнувшись, люди вытягивают руки в стороны, отчего момент инерции увеличивается, а скорость вращения уменьшается. Точно так же переменным является момент инерции грабли жнеи около вертикальной оси во время ее поворота около горизонтальной оси.
Эллиптический параболоид
Эллиптический параболоид при a=b=1
Эллипти́ческий параболо́ид - поверхность, описываемая функцией вида
,где a и b одного знака. Поверхность описывается семейством параллельных парабол с ветвями, направленными вверх, вершины которых описывают параболу, с ветвями, также направленными вверх.
Если a = b то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения , образованную вращением параболы вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину данной параболы.
Гиперболический параболоид
Гиперболический параболоид при a=b=1
Гиперболи́ческий параболо́ид (называемый в строительстве «гипар») - седлообразная поверхность, описываемая в прямоугольной системе координат уравнением вида
.Из второго представления видно, что гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью .
Поверхность может быть образована движением параболы, ветви которой направлены вниз, по параболе, ветви которой направлены вверх, при условии, что первая парабола соприкасается со второй своей вершиной.
Параболоиды в мире
В технике
В искусстве
В литературе
Устройство, описанное в Гиперболоид инженера Гарина должно было быть параболоидом .
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Элон Менахем
- Элтанг
Смотреть что такое "Эллиптический параболоид" в других словарях:
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД Большой Энциклопедический словарь
эллиптический параболоид - один из двух типов параболоидов. * * * ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД, один из двух типов параболоидов (см. ПАРАБОЛОИДЫ) … Энциклопедический словарь
Эллиптический параболоид - один из двух видов параболоидов (См. Параболоиды) … Большая советская энциклопедия
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД - незамкнутая поверхность второго порядка. Канонич. уравнение Э. п. имеет вид Э. п. расположен по одну сторону от плоскости Оху (см. рис.). Сечения Э. п. плоскостями, параллельными плоскости Оху, являются эллипсами с равным эксцентриситетом (если р … Математическая энциклопедия
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД - один из двух типов параболоидов … Естествознание. Энциклопедический словарь
ПАРАБОЛОИД - (греч., от parabole парабола, и eidos сходство). Тело, образуемое вращающеюся параболой. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПАРАБОЛОИД геометрическое тело, образовавшееся от вращения параболы, так… … Словарь иностранных слов русского языка
ПАРАБОЛОИД - ПАРАБОЛОИД, параболоида, муж. (см. парабола) (мат.). Поверхность второго порядка, не имеющая центра. Параболоид вращения (образуется вращением параболы вокруг ее оси). Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид. Толковый словарь Ушакова … Толковый словарь Ушакова
ПАРАБОЛОИД - ПАРАБОЛОИД, поверхность, получаемая при движении параболы, вершина которой скользит по другой, неподвижной параболе (с осью симметрии, параллельной оси движущейся параболы), тогда как ее плоскость, смещаясь параллельно самой себе, остается… … Современная энциклопедия
Параболоид - ― тип поверхности второго порядка. Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка. Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах: если и одного… … Википедия
ПАРАБОЛОИД - незамкнутая нецентральная поверхность второго порядка. Канонич. уравнения П.: эллиптический параболоид (при р = q называется П. вращения) и гиперболический параболоид. А. Б. Иванов … Математическая энциклопедия