Нелинейные колебания. Нелинейный осциллятор

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Нелинейность процессов, в том числе и колебаний, математически выражается в нелинейности соответствующих уравнений движения. С точки зрения физики нелинейность колебаний характеризуется двумя совершенно различными свойствами: ангармоничностью и неизохронностью. Под ангармоничностью понимают наличие в спектре колебаний частот, кратных основной, - Фурье-гармоник, или обертонов. Неизохронными называются колебания, частоты (основной и высших гармоник) которых зависят от амплитуды или энергии колебаний.

Классическим примером нелинейных колебаний может служить обращение планет вокруг Солнца - задача, с решения которой начались современные механика и физика. По третьему закону Кеплера, частота со обращения планет вокруг Солнца задаётся их полной энергией:

w=│E │ 3/2 .

Неизохронность, вообще говоря, не связана с ангармоничностью. Так, заряженная частица, движущаяся по круговой орбите в постоянном магнитном поле со скоростью, близкой к скорости света, совершает колебания чисто гармонические, а частота её обращения обратно пропорциональна энергии.

НЕЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР

Линейный (в отсутствие затухания - гармонический) осциллятор - основная модель линейной теории колебаний. Его уравнение движения (по второму закону Ньютона):

где х - величина, колебания которой описывает модель (амплитуда смещения маятника, ток или напряжение в колебательном контуре, численность популяции и т. д.),- её «ускорение».

Нелинейный осциллятор - основная модель нелинейной теории колебаний. Его уравнение движения:

где f (.х ) - нелинейная функция, содержащая по крайней мере один нелинейный (не первой степени по х ) член. Полная энергия системы не зависит от времени, т. е. система консервативна.

Неизохронные колебания совершает, например, частица в плоской потенциальной яме - ящике с бесконечно высокими стенками:

U(x) =0 при - l / 2<х< l / 2; U(х) =¥ при х £- l / 2, х >l / 2.

Частица движется с постоянной скоростью внутри ящика, мгновенно упруго отражаясь на границах. Её кинетическая энергия Е к = mv 2 /2, т. е. скорость V = Ö (2Е к / m ) зависит от энергии. Период колебаний частицы выражается формулой

Из формулы (3) видно, что период колебаний убывает с ростом энергии (для других систем он может возрастать).

Закон сохранения энергии Е осциллятора (консервативной нелинейной системы) имеет вид

Полную качественную картину движения нелинейного осциллятора даёт его фазовый портрет. Из закона сохранения энергии можно вывести

ЛЕОНИД ИСААКОВИЧ МАНДЕЛЬШТАМ

Даже неполный перечень открытий и фундаментальных работ академика Леонида Исааковича Мандельштама (1879-1944) поражает разнообразием: комбинационное и флуктуационное рассеяние света, теория микроскопа, нелинейные колебания и радиотехника, теория резонансов, радиогеодезия, новый вид генераторов электромагнитных волн - параметрические машины. Исключительная, чтобы не сказать болезненная, требовательность Л. И. Мандельштама к результатам работы не позволила включить в этот перечень ряд других, не менее важных открытий, - например, экспериментальное обнаружение в 1912 г. (за несколько лет до классических опытов Стюарта и Толмена) инерции электронов в металлах.

Но за всем впечатляющим разнообразием достижений и широтой интересов в научном творчестве Мандельштама отчётливо прослеживается главная тема - теория колебаний. Впервые познакомившись с этой областью по двухтомной «Теории звука» лорда Рэлея, Мандельштам проникся красотой её идей и неоднократно прибегал к «колебательной помощи», позволявшей находить аналогии между результатами из разных разделов физики.

В Мандельштаме счастливо воплотилось редкое сочетание теоретика и экспериментатора, исследователя и лектора. Он говорил, что существует понимание первого рода, когда читают и понимают всё, что написано, могут вывести любую формулу, но ещё не способны самостоятельно ответить на любой вопрос из прочитанного, и понимание второго рода, когда ясна вся картина, вся связь идей, явлений. Глубокий и тонкий мыслитель, Мандельштам достиг понимания второго рода всей физики и щедро делился знаниями с многочисленными учениками (среди них А. А. Андронов, А. А. Витт, Г. С. Горелик, Г. С. Ландсберг, М. А. Леонтович, В. В. Мигулин, С. М. Рытов, С. П. Стрелков, И. Е. Тамм, С. Э. Хайкин, С. П. Шубин и др.) и студентами.

Родился Мандельштам в Могилёве в семье, давшей миру учёных, врачей и писателей. Вскоре семья переехала в Одессу. До 12 лет мальчик учился дома, затем в гимназии, которую окончил с золотой медалью. В 1897 г. он поступил на математическое отделение физико-математического факультета Новороссийского университета (в Одессе). Через два года в связи со студенческими волнениями юношу исключили из университета. По совету родителей Мандельштам уехал в Страсбург, один из центров физических исследований, где и продолжил образование. В Страсбургском университете тогда преподавали математик Генрих Вебер (ученик Римана и автор классического курса «Дифференциальные уравнения математической физики»), физик Фердинанд Браун (по совместительству директор Физического института), кафедрой теоретической физики заведовал Эмиль Кон (автор известного труда «Электромагнитное поле»).

Теория нелинейных колебаний начала активно применяться и развиваться в течение последних 50 лет. Основополагающее значение в указанной гипотезе, в частности в концепции автоматических вибраций, принадлежит российскому ученому. М. Ляпунову и его сторонникам, работы которых смогли доказать необходимость использования нелинейных методов в решении сложных задач.

Замечание 1

Теория нелинейных колебаний (или нелинейного механического перемещения частиц среды) направлена на исследование нестабильных колебательных движений, описываемых в физике в виде дифференциальных уравнений.

Данная сфера в механике предоставляет более точное представление о характеристиках вибрационных движений автоматических систем. В итоге линейные формулы получаются путем упрощения нелинейных. Поэтому рассмотрение подобных колебаний дает возможность сделать только определенные заключения о свойствах кратковременных движений, которые могут быть лишь приближенными. Несмотря на это, теория нелинейных вибраций включает важные сведения о систематических решениях, появляющихся за рамками стабильности стационарного состояния.  

Способы проявления нелинейных эффектов

Нелинейные процессы могут формироваться посредством разнообразных методов. Классический и наглядный пример - это нелинейная спираль, в которой возобновляющая сила непосредственно зависит от начального растяжения. В случае параллельной нелинейности (одинаковый итог при растяжении и сжатии) формула движения частиц любого пространства принимает вид:

$\chi + 2 \gamma \chi + \alpha \chi + \beta \chi^3 = f (t)$

Если на систему периодически воздействует внешняя сила, то в классической гипотезе полагают, что и конечный отклик станет цикличным. Резонанс нелинейного явления при малой частоте отклика заключается в его соответствии с плотностью элементов концепции. При постоянном перемещении вынуждающей силы возникает амплитуда соответствующих частот, в котором вероятны разные значения сдвига частиц.

Существуют и другие комплексные решения, такие, как супергармонические и субгармонические вибрации. Если обязывающая сила имеет целостный вид, то другие колебания становятся более высокими. Гипотеза нелинейного резонанса основывается на предположении, что систематическое влияние предполагает создание периодического отклика.

Самоформирующиеся колебания представляют собой иной важный класс нелинейных процессов. Это вибрационные движения, которые формируются в системах без цикличных внешних периодических сил или воздействий.

Парадигма гипотезы нелинейных колебаний

Теория нелинейных движений стала заменой закона электрических вибраций Ван дер Поля. Последняя была генетически взаимосвязана с созданием принципов гипотезы радиотехнического прибора – лампового распределителя. В таком генераторе, функционирующем с определенным «трением» (т.е. будучи неконсервативной концепцией), постепенно появляются незатухающие колебательные перемещения. Это значит, что система включает источник внутренней энергии (или в систему систематически поступает питание извне). Однако в данном аспекте речь не идет о принужденных вибрациях. Ламповое устройство самостоятельно генерирует цикличные самовозбуждающиеся колебания.

Такие процессы возникают и функционируют за счет универсальной конструкции генератора, включающего, кроме колебательного усилитель и контура, связанных с ударной линией обратной связи.

Оставляя нерешенным вопрос о парадигме указанной гипотезы Ван дер Поля, возможно примерно описать концепцию, которая наблюдалась в трудах Мандельштама, Андронова и их последователей в конце 20-х гг.

Замечание 2

В качестве первого и основного элемента в работах ученых выступают «символические обобщения» – математические уравнения, которые определяют и описывают универсальные научные закономерности. В современной физике – это в основном дифференциальные формулы.

Ван дер Поль, в первую очередь, следовал уравнениям, описывающим принцип работы простого лампового распределителя:

$\frac {d^2x}{dt^2} - \mu (1 – 2x^2) \frac {dx}{dt} = x = 0$

Здесь $x$ – общий параметр (в случае генератора – сила и энергия тока), $t$ – определённый период времени, а нелинейный элемент $\frac{x}{dt}$ демонстрирует работу электронной лампы.

Значимую роль в истории теории нелинейных вибраций сыграл так называемый способ припасовывания (позднее названный законом структурно-линейной аппроксимации).

Собственно, в начале 1927 года Мандельштам смог более тщательно проанализировать стабильность колебательных движений, получаемых по указанному принципу. Метод припасовывания и на сегодняшний день широко применяется в гипотезе нелинейных колебаний.

Идеология теории нелинейных процессов

Идеология рассматриваемой гипотезы, прежде всего, характеризует особенности автоколебаний.

Понятия этих явлений были введены Л.В. Андроновым в научных статьях 1928–1929 гг. Фактически с механическими вибрациями имел дело и Ван дер Поль, описывая колебательные движения в ламповом генераторе, но он не так и не смог представить специального термина для них.

В работах Андронова «символическим обобщением» в итоге стало дифференциальное уравнение, по отношению к которому формула Ван дер Поля представляет собой только частный случай. Запись подобной эквивалентности выглядит следующим образом:

$\frac {d^2x}{dt^2} + \frac { 2dx}{dt + \omega^2 x} = f (\frac {x,dx}{dt})$

Идеология появляется вместе с парадигмой, но она распространяется значительно дальше. Идеологические процессы – это выражения и слова, значения которых определяются посредством аналогий, примеров и иллюстраций. Одним из главных признаков использования термина в идеологии является некое размывание его сути. Понятие условно выходит за границы собственной сферы применения.

До сих пор, рассматривая разного типа неустойчивости, мы ограничивали себя только режимами малых амплитуд, когда благодаря возможности линеаризации, сильно упрощается запись и решение дисперсионных уравнений. На самом деле в существующих на практике электронных устройствах в процессе нарастания колебаний, как правило, процессы становятся существенно нелинейными. В качестве немногочисленных исключений можно указать, пожалуй, очень короткоимпульсные или очень короткие вдоль электронного потока электронно-пучковые системы, где колебания не успевают перейти в нелинейную стадию.

Рассматривая особенности нелинейных колебаний, сначала, обратимся к простейшим уравнениям. Вспомним, что линейные колебания автономной одномерной системы без потерь описываются уравнением

Это простейшее уравнение преобразуется к виду, характерному для нелинейных колебаний, если второй член в левой части равенства - нелинейная функция f (x )

(10.5)

Простейший пример нелинейных колебаний - колебания электрона с большой амплитудой в периодическом поле типа показанного на рис.10.1. Такая ситуация реализуется в поле бегущей волны, которая может возникнуть, например, в ЛБВ или ЛОВ .

В
системе координат, движущейся с волной, изменение потенциальной энергии электрона описывается

уравнением

(10.6)

Поэтому уравнение движения электрона может быть записано в виде

так как
и
.

Таким образом, в типичной для СВЧ устройств ситуации движение электрона описывается принципиально нелинейным уравнением. Однако в данном случае проявляется одно из свойств нелинейных систем - их неизохронность , т.е. зависимость их состояния от начальной энергии колеблющейся частицы. Если начальная колебательная энергия электрона мала, он совершает колебательные движения с малой амплитудой вблизи минимума потенциала. В этом случае его движение - практически гармоническое. Если же начальная энергия велика и сравнима с глубиной потенциальной ямы, то амплитуда колебаний тоже велика и в результате движение одновременно становится существенно нелинейным.

Другой отличительной чертой нелинейных колебаний является их негармоничность. Негармоничность нелинейных колебательных поясним подробнее на другом примере.

Пусть мы имеем дело с электронным пучком, распространяющимся вдоль оси x , т.е. движение электронов одномерно. Введем начальную малую по амплитуде модуляцию скорости электронов

, (10.8)

т.е. теперь полная скорость электронов V равна сумме V=V o +u

Введение этого возмущения приводит к тому, что в пучке начнется группировка электронов. Обратим внимание, что рассматриваемая ситуация близка к реализуемой в клистроне, где в резонаторе происходит модуляция по скорости, а в пространстве дрейфа модуляция по скорости преобразуется в модуляцию по плотности.

Рассмотрим эволюцию пучка во времени в системе координат, движущейся с начальной скоростью электронов V o . В этой системе движение обусловлено только начальным возмущением и уравнение движения можно записать в форме

(10.9)

Равенство нулю полной производной возмущения скорости означает, что мы пренебрегаем возникновением электрических сил из-за группировки электронов и ведем рассмотрение без магнитного поля. Конечно, пренебрежение электрическими силами оправдано только на начальной стадии группировки. Затем электрическими полями сгустков уже пренебрегать будет нельзя. Именно эти поля будут ограничивать группировку. Таким образом, мы более-менее корректно можем анализировать только начальный этап эволюции группировки в пучке электронов. Пренебречь действием магнитного поля можно и в том случае, когда оно существует, но ориентировано в направлении движения электронов. При этом однако важно, чтобы электроны не имели поперечных по отношению к силовым линиям магнитного поля скоростей.

Проследим эволюцию характеристик электронного потока, воспользовавшись фазовой плоскостью x,u (рис.10.2). Рассмотрим для начала случай, когда в среде нет дисперсии. В фазовой плоскости каждая точка движется со своей скоростью. Точки верхней полуплоскости движутся вправо, а нижней - влево, причем скорость каждой точки пропорциональна удалению от оси х . Начальное состояние изображено синусоидой (тонкая линия на рисунке 10.2a). Затем синусоида искажается (толстая линия на том же рисунке) и в результате группировки электронов формируются максимумы плотности пространственного заряда вблизи точек, где величина u =0 (рис.10.2b). Одновременно изменение по х скоростей становится негармоническим и формируются сгустки пространственного заряда. Далее появляются точки, где производная стремится к бесконечности, а следовательно и концентрация электронов стремится к бесконечности.

характеристики становятся существенно негармоническими. Это же рассмотрение поясняет условия оптимальной группировки. Такие условия реализуются перед началом опрокидывания волны.

Колебания в физич. системах, описываемые нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений где содержит члены не ниже 2-й степени по компонентам вектора - вектор-функция времени - малый параметр (либо и). Возможные обобщения связаны с рассмотрением разрывных систем, воздействий с разрывными характеристиками (напр., типа гистерезиса), запаздывания и случайных воздействий, интегро-дифференциальных и дифференциально-операторных уравнений, колебательных систем с распределенными параметрами, описываемыми дифференциальными уравнениями с частными производными, а также с использованием методов оптимального управления нелинейными колебательными системами. Основные общие задачи Н. к.: отыскание положений равновесия, стационарных режимов, в частности периодич. движений, автоколебаний и исследование их устойчивости, проблемы синхронизации и стабилизации Н. к. Все физич. системы, строго говоря, являются нелинейными. Одна из наиболее характерных особенно--стей Н. к.- это нарушение в них принципа суперпозиции колебаний: результат каждого из воздействий в присутствии другого оказывается иным, чем в случае отсутствия другого воздействия. Квазилинейные системы - системы (1) при. Основным методом исследования является малого параметра метод. Прежде всего это метод Пуанкаре - Линдштедта определения переодич. решений квазилинейных систем, аналитических по параметру при его достаточно малых значениях, либо в виде рядов по степеням (см. гл. IX), либо в виде рядов по степеням и - добавок к начальным значениям компонент вектора (см. гл. III). О дальнейшем развитии этого метода см., напр., в - . Другим из методов малого параметра является метод осреднения. Вместе с тем в исследование квазилинейных систем проникали и новые методы: асимптотич. методы (см. , ), метод К-функций (см. ), базирующийся на фундаментальных результатах А. М. Ляпунова - Н. Г. Четаева, и др. Существенно нелинейные системы, в к-рых отсутствует заранее предписываемый малый параметр. Для систем Ляпунова где причем среди собственных чисел -матрицы нет кратных корню - аналитич. вектор-функция х, разложение к-рой начинается с членов не ниже 2-го порядка, и имеет место аналитический первый интеграл специального вида, А. М. Ляпунов (см. § 42) предложил метод отыскания периодич. решений в виде ряда по степеням произвольной постоянной с(за к-рую может быть принято начальное значение одной из двух крнтич. переменных либо). Для систем, близких к системам Ляпунова, где того же вида, что и в (2), - аналитич. вектор-функция и малого параметра, непрерывная и -периодическая по t, также предложен метод определения периодич. решений (см. гл. VIII). Системы типа Ляпунова (2), в к-рых матрица имеет lнулевых собственных значений с простыми элементарными делителями, два - чисто мнимых собственных значения и не имеет собственных значений, кратных - такая же, как и в (2), могут быть сведены к системам Ляпунова (см. IV.2). Исследовались также Н. к. в системах Ляпунова и в т. н. системах Ляпунова с демпфированием, а также решалась общая задача о перекачке энергии в них (см. гл. I, III, IV). Пусть существенно нелинейная автономная система приведена к жорданову виду ее линейной части где вектор по предположению имеет хотя бы одну ненулевую компоненту; , равны нулю или единице соответственно при отсутствии пли наличии непростых элементарных делителей матрицы линейной части,- коэффициенты; множество значений вектора с целочисленными компонентамп таково: Тогда существует нормализующее преобразование: приводящее (3) к нормальной форме дифференциальных уравнений
и такое, что, если. Таким образом, нормальная форма (5) содержит лишь резонансные члены, т. е. коэффициенты могут быть отличны от нуля лишь для тех, для к-рых выполнено резонансное уравнение играющее существенную роль в теории колебаний. Сходимость и расходимость нормализующего преобразования (4) исследована (см. ч. I, гл. II, III); дано вычисление коэффициентов (посредством их симметризации) (см. § 5.3). В ряде задач о Н. к. существенно нелинейных автономных систем оказался эффективным метод нормальных форм (см. , гл. VI-VIII). Из других методов исследования существенно нелинейных систем применяются метод точечных отображений (см. , ), стробосконич. метод и функционально-аналитич. методы . Качественные методы Н. к. Исходными здесь являются исследования вида интегральных кривых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, проведенные А. Пуанкаре (Н. Poincare, см. ). Приложения для задач Н. к., описываемых автономными системами 2-го порядка см. в , . Изучены вопросы существования периодич. решений и их устойчивости в большом для многомерных систем; рассмотрены почти периодические Н. к. Приложения теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при нек-рых производных к задачам релаксационных Н. к. см. в . Важные аспекты Н. к. и лит. см. в статьях Возмущений теория, Колебаний теория. Лит.: Пуанкаре А., Избр. труды, пер. с франц., т. 1, М., 1971; Андронов А. А., Витт А. А., Xайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; Булгаков Б. В., Колебания, М., 1954; Малкин И. Г., Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, М., 1956: Боголюбов Н. Н., Избр. труды, т. 1, К., 1969; [б] Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, 4 изд., М-, 1974; Каменков Г. В., Избр. труды, т. 1-2, М., 1971-72; Ляпунов А. М., Собр. соч., т. 2, М.- Л., 195В, с. 7-263; Старжинский В. М., Прикладные методы нелинейных колебаний, М., 1977; Брюно А. Д., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1971, т. 25, с. 119-262; 1972, т. 26, с. 199-239; Неймарк Ю. И., Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний, М., 1972; Мinorsky N., Introduction to non-linear mechanics, Ann Arbor, 1947; Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С, Нелинейные почти периодические колебания, М., 1970; Пуанкаре А., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М. -Л., 1947; Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А., Введение в теорию нелинейных колебаний, М., 1976; Плисе В. А., Нелокальные проблемы теории колебаний, М. -Л., 1964; Мищенко Е. Ф., Розов Н. X., Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания, М., 1975. В. М. Старжинский.

Смотреть значение Нелинейные Колебания в других словарях

Доход Средний Плюс Колебания — MEAN-VARIANCE EFFICIENCYМодель формирования оптимального портфеля ценных бумаг инвесторов, основанная на выводе Гарри Марковица (H. Markowitz) о том, что
лицо, вкладывающее
........
Экономический словарь

Капитальный Убыток, Потери Капитала Вследствие Колебания Нормы Прибыли; Потери Капитала Вследствие С — Сумма, на которую прибыль от продажи основных фондов (capital assets) меньше, чем затраты на их приобретение. До принятия Закона о налоговой реформе 1986 г. (Tax Reform Act of 1986) 2 долл.........
Экономический словарь

Колебания — MOVEРост или
снижение цен на определенный вид акций или цен на рынке в целом в результате возникновения благоприятных или неблагоприятных условий, а также в результате........
Экономический словарь

Колебания Конъюнктуры Рынка — изменения экономических параметров во времени, связанные с объективными реалиями рыночной экономики, в том числе и сезонными изменениями.
Экономический словарь

Колебания Курса
Экономический словарь

Колебания Курса (валюты, Ценных Бумаг) — изменение биржевых цен на валюту, ценные
бумаги под воздействием меняющихся
спроса,
предложения и иных факторов.
Экономический словарь

Колебания Курса Максимальное — англ. maximum price fluctuation максимальная величина колебания курса контракта в ту или иную сторону в течение биржевой сессии, определяемая правилами биржи.
Экономический словарь

Колебания Рыночной Конъюнктуры — MARKET SWINGSСм. СВИНГ; ЦИКЛ ДЕЛОВОЙ АКТИВНОСТИ; ЦИКЛ СПЕКУЛЯТИВНЫЙ
Экономический словарь

Колебания Сезонные — SEASONAL VARIATIONБолее или менее регулярные
колебания деловой активности, вызванные сезонными факторами. Напр.,
объем списания денег со счетов в банках в декабре обычно........
Экономический словарь

Принцип Колебания Курсов — FLUCTUATING PRINCIPLEПринцип выбора ценных бумаг (облигаций или акций) исходя из амплитуды колебаний их рыночных курсов в течение полного экон. цикла. Диапазон таких колебаний........
Экономический словарь

Сезонные Колебания — повышение или
понижение уровня экономической активности, масштабов экономической деятельности вследствие смены сезонов.
Экономический словарь

Сезонные Колебания Цен — цены, изменяющиеся в зависимости от времени года (
цены на сельскохозяйственную продукцию), сезона (цены на одежду и обувь).
Экономический словарь

Торговые Колебания — Доли, до которых округляются цены в сделках с ценными бумагами.
Экономический словарь

Флуктуации; Колебания; Неустойчивость; Изменение — (1) Изменение цен или процентных ставок в направлении роста или спада. Термин "флуктуации" может относиться как к незначительному, так и к сильному изменению цены акций,........
Экономический словарь

Maximum Fluctation (пределы Колебания/изменения Цены) — Максимальное ежедневное колебание цены, допускаемое на некоторых рынках. См.: limit (лимит/предел).
Экономический словарь

Realignment (механизм Совместного Колебания Валютных Курсов/пересмотр Валютных Курсов) — Процесс девальвации одной или нескольких валют, входящих в Европейскую валютную систему (European Monetary System). Обменный курс каждой из европейских валют определяется курсовым........
Экономический словарь

Колебания Курса — - изменение биржевых цен на валюту, ценные бумаги под воздействием изменения спроса, предложения и иных факторов.
Юридический словарь

Сезонные Колебания — - повышение или понижение уровня экономической активности, масштабов экономической деятельности вследствие смены годовых сезонов.
Юридический словарь

Гармонические Колебания — , периодическое движение, такое как движение МАЯТНИКА, атомные колебания или колебания в электрической цепи. Тело совершает незатухающие гармонические колебания, когда........
Научно-технический энциклопедический словарь

Вынужденные Колебания — возникают в системе под действием периодическоговнешнего воздействия (напр., вынужденные колебания маятника под действиемпериодической силы, вынужденные колебания........

Гармонические Колебания — характеризуются изменением колеблющейся величиныx (напр., отклонения маятника от положения равновесия, напряжения в цепипеременного тока и т. д.) во времени t по закону:........
Большой энциклопедический словарь

Затухающие Колебания — собственные колебания, амплитуда А которых убываетсо временем t по закону экспоненты А(t) = Аоexp (- ?t) (? - показательзатухания из-за диссипации энергии благодаря силам вязкого........
Большой энциклопедический словарь

Колебания — движения (изменения состояния), обладающие той или инойстепенью повторяемости. Наиболее распространены:1) механические колебания:колебания маятника, моста, корабля........
Большой энциклопедический словарь

Колебания Кристаллической Решетки — колебания атомов или ионов,составляющих кристалл, около положений равновесия (узлов кристаллическойрешетки). Амплитуда тепловых колебаний кристаллической решетки........
Большой энциклопедический словарь

Сверхвысокочастотные Колебания — (СВЧ) электромагнитные колебания частотой от 3108 до 31011 гц; используются в физиотерапии для локального поверхностного нагрева тканей организма.
Большой медицинский словарь

Ультразвуковые Колебания — см. Ультразвук.
Большой медицинский словарь

Нелинейные Системы — колебательные системы, в которых протекают процессы,описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями. Свойства ихарактеристики нелинейных систем зависят от их состояния.
Большой энциклопедический словарь

Нормальные Колебания — собственные (свободные) гармонические колебаниялинейных систем с постоянными параметрами, в которых отсутствуют какпотери энергии, так и приток ее извне. Каждое нормальное........
Большой энциклопедический словарь

Плазменные Колебания — различные типы колебаний, возбуждающиеся ираспространяющиеся в плазме. К ним относятся медленные колебания тяжелыхионов относительно быстро колеблющихся электронов........
Большой энциклопедический словарь

Разрывные Колебания — релаксационные колебания, при которых колебательныйпроцесс представляет собой последовательность медленных (по сравнению спериодом колебаний) изменений состояния........
Большой энциклопедический словарь

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Колебания в физич. системах, описываемые нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений

где содержит члены не ниже 2-й степени по компонентам вектора - вектор-функция времени - малый параметр (либо и ). Возможные обобщения связаны с рассмотрением разрывных систем, воздействий с разрывными характеристиками (напр., типа гистерезиса), запаздывания и случайных воздействий, интегро-дифференциальных и дифференциально-операторных уравнений, колебательных систем с распределенными параметрами, описываемыми дифференциальными уравнениями с частными производными, а также с использованием методов оптимального управления нелинейными колебательными системами. Основные общие задачи Н. к.: отыскание положений равновесия, стационарных режимов, в частности периодич. движений, автоколебаний и исследование их устойчивости, проблемы синхронизации и стабилизации Н. к.

Все физич. системы, строго говоря, являются нелинейными. Одна из наиболее характерных особенно--стей Н. к.- это нарушение в них принципа суперпозиции колебаний: результат каждого из воздействий в присутствии другого оказывается иным, чем в случае отсутствия другого воздействия.

Квазилинейные системы - системы (1) при . Основным методом исследования является малого параметра метод. Прежде всего это метод Пуанкаре - Линдштедта определения переодич. решений квазилинейных систем, аналитических по параметру при его достаточно малых значениях, либо в виде рядов по степеням (см. гл. IX), либо в виде рядов по степеням и - добавок к начальным значениям компонент вектора (см. гл. III). О дальнейшем развитии этого метода см., напр., в - .

Другим из методов малого параметра является метод осреднения. Вместе с тем в исследование квазилинейных систем проникали и новые методы: асимптотич. методы (см. , ), метод К-функций (см. ), базирующийся на фундаментальных результатах А. М. Ляпунова - Н. Г. Четаева, и др.

Существенно нелинейные системы, в к-рых отсутствует заранее предписываемый малый параметр . Для систем Ляпунова

причем среди собственных чисел -матрицы нет кратных корню - аналитич. вектор-функция х, разложение к-рой начинается с членов не ниже 2-го порядка, и имеет место аналитический специального вида, А. М. Ляпунов (см. § 42) предложил метод отыскания периодич. решений в виде ряда по степеням произвольной постоянной с(за к-рую может быть принято начальное значение одной из двух крнтич. переменных либо ).

Для систем, близких к системам Ляпунова,

где того же вида, что и в (2), - аналитич. вектор-функция и малого параметра , непрерывная и -периодическая по t, также предложен метод определения периодич. решений (см. гл. VIII). Системы типа Ляпунова (2), в к-рых имеет lнулевых собственных значений с простыми элементарными делителями, два - чисто мнимых собственных значения и не имеет собственных значений, кратных - такая же, как и в (2), могут быть сведены к системам Ляпунова (см. IV.2). Исследовались также Н. к. в системах Ляпунова и в т. н. системах Ляпунова с демпфированием, а также решалась общая задача о перекачке энергии в них (см. гл. I, III, IV).

Пусть существенно нелинейная приведена к жорданову виду ее линейной части

где вектор по предположению имеет хотя бы одну ненулевую компоненту; , равны нулю или единице соответственно при отсутствии пли наличии непростых элементарных делителей матрицы линейной части,- коэффициенты; значений вектора с целочисленными компонентамп таково:

Тогда существует нормализующее преобразование:

приводящее (3) к нормальной форме дифференциальных уравнений

и такое, что , если . Таким образом, (5) содержит лишь , т. е. коэффициенты могут быть отличны от нуля лишь для тех , для к-рых выполнено резонансное уравнение

играющее существенную роль в теории колебаний. Сходимость и расходимость нормализующего преобразования (4) исследована (см. ч. I, гл. II, III); дано вычисление коэффициентов (посредством их симметризации) (см. § 5.3). В ряде задач о Н. к. существенно нелинейных автономных систем оказался эффективным метод нормальных форм (см. , гл. VI-VIII).

Из других методов исследования существенно нелинейных систем применяются метод точечных отображений (см. , ), стробосконич. метод и функционально-аналитич. методы .

Качественные методы Н. к. Исходными здесь являются исследования вида интегральных кривых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, проведенные А. Пуанкаре (Н. Poincare, см. ). Приложения для задач Н. к., описываемых автономными системами 2-го порядка см. в , . Изучены вопросы существования периодич. решений и их устойчивости в большом для многомерных систем; рассмотрены почти периодические Н. к. Приложения теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при нек-рых производных к задачам релаксационных Н. к. см. в .

Важные аспекты Н. к. и лит. см. в статьях Возмущений , Колебаний теория.

Лит. : Пуанкаре А., Избр. труды, пер. с франц., т. 1, М., 1971; Андронов А. А., Витт А. А., Xайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; Булгаков Б. В., Колебания, М., 1954; Малкин И. Г., Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, М., 1956: Боголюбов Н. Н., Избр. труды, т. 1, К., 1969; [б] Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, 4 изд., М-, 1974; Каменков Г. В., Избр. труды, т. 1-2, М., 1971-72; Ляпунов А. М., Собр. соч., т. 2, М.- Л., 195В, с. 7-263; Старжинский В. М., Прикладные методы нелинейных колебаний, М., 1977; Брюно А. Д., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1971, т. 25, с. 119-262; 1972, т. 26, с. 199-239; Неймарк Ю. И., Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний, М., 1972; Мinorsky N., Introduction to non-linear mechanics, Ann Arbor, 1947; Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С, Нелинейные почти периодические колебания, М., 1970; Пуанкаре А., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М. -Л., 1947; Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А., Введение в теорию нелинейных колебаний, М., 1976; Плисе В. А., Нелокальные проблемы теории колебаний, М. -Л., 1964; Мищенко Е. Ф., Розов Н. X., Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания, М., 1975.

В. М. Старжинский.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ" в других словарях:

нелинейные колебания - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999] Тематики электротехника, основные понятия EN nonlinear oscillations … Справочник технического переводчика

нелинейные колебания - netiesiniai virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. non linear oscillations; non linear vibrations vok. nichtlineare Schwingungen, f rus. нелинейные колебания, n pranc. oscillations non linéaires, f … Fizikos terminų žodynas

Термин, который иногда употребляют, подразумевая колебания в нелинейных системах (См. Нелинейные системы) … Большая советская энциклопедия

Нелинейные колебания Нелінійні коливання Специализация … Википедия

Процессы в колебат. и волновых системах, не удовлетворяющие суперпозиции принципу. Нелинейные колебания или волны в общем случае взаимодействуют между собой, а их характеристики (частота, форма колебаний, скорость распространения, вид профиля… … Физическая энциклопедия

Колебательные системы, св ва к рых зависят от происходящих в них процессов. Колебания таких систем описываются нелинейными ур ниями. Нелинейными явл.: механич. системы, где модули упругости тел зависят от деформаций последних или коэфф. трения… … Физическая энциклопедия