Aksiomatska definicija sustava cijelih brojeva. Aksiomi realnih brojeva

20.08.2023

Zadani sustav aksioma teorije cijelih brojeva nije neovisan, kao što je navedeno u vježbi 3.1.4.

Teorem 1. Aksiomatska teorija cijelih brojeva je dosljedna.

Dokaz. Dokazat ćemo konzistentnost aksiomatske teorije cijelih brojeva, na temelju pretpostavke da je aksiomatska teorija prirodnih brojeva konzistentna. Da bismo to učinili, izgradit ćemo model na kojem su zadovoljeni svi aksiomi naše teorije.

Prvo, napravimo prsten. Razmotrite set

N´ N = {(a, b)ï a, bÎ N}.

a, b) prirodni brojevi. Pod takvim parom ćemo razumjeti razliku prirodnih brojeva a–b. Ali dok se ne dokaže postojanje sustava cijelih brojeva u kojem postoji takva razlika, nemamo pravo koristiti takvu oznaku. U isto vrijeme, takvo razumijevanje daje nam mogućnost da postavimo svojstva parova onako kako to želimo.

Znamo da različite razlike prirodnih brojeva mogu biti jednake istom cijelom broju. U skladu s tim, predstavimo se na setu N´ N odnos jednakosti:

(a, b) = (CD) Û a + d = b + c.

Lako je vidjeti da je ovaj odnos refleksivan, simetričan i tranzitivan. Dakle, to je odnos ekvivalencije i ima pravo da se zove jednakost. Faktorski skup skupova N´ N Z. Njegove ćemo elemente nazivati cijelim brojevima. Oni predstavljaju klase ekvivalencije na skupu parova. Klasa koja sadrži par
(a, b), označiti s [ a, b].

Z a, b] što kažete na razliku a–b

[a, b] + [CD] = [a+c, b+d];

[a, b] × [ CD] = [ac+bd, ad+bc].

Treba imati na umu da, strogo govoreći, korištenje simbola operacija ovdje nije sasvim ispravno. Isti simbol + označava zbrajanje prirodnih brojeva i parova. Ali budući da je uvijek jasno u kojem se skupu izvodi određena operacija, ovdje nećemo uvoditi zasebne oznake za te operacije.

Potrebno je provjeriti ispravnost definicija ovih operacija, odnosno da rezultati ne ovise o izboru elemenata a I b, definirajući par [ a, b]. Doista, neka

[a, b] = [a 1 , b 1 ], [s, d] = [S 1 ,d 1 ].

To znači da a+b 1 = b+a 1 , c + d 1 =d + S 1 . Zbrajanjem ovih jednakosti dobivamo

a+b 1 + c + d 1 = b+a 1 +d + S 1 Þ [ a + b, c + d] = [a 1 +S 1 , b 1 + d 1] Þ

Þ [ a, b] + [CD] = [a 1 , b 1 ] + [c 1 ,d 1 ].

Slično se utvrđuje i ispravnost definicije množenja. Ali ovdje prvo trebate provjeriti da [ a, b] × [ CD] = [a 1 , b 1 ] × [ CD].

Sada treba provjeriti je li dobivena algebra prsten, odnosno aksiomi (Z1) – (Z6).

Provjerimo npr. komutativnost zbrajanja, odnosno aksiom (Z2). Imamo

[CD] + [a, b] = = [a+c, b+d] = [a, b] + [CD].

Komutativnost zbrajanja za cijele brojeve izvodi se iz komutativnosti zbrajanja za prirodne brojeve, za koju se smatra da je već poznata.

Na isti način provjeravaju se aksiomi (Z1), (Z5), (Z6).

Ulogu nule igra par. Označimo to sa 0 . Stvarno,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [a+ 1,b+ 1] = [a, b].

Konačno, -[ a, b] = [b, a]. Stvarno,

[a, b] + [b, a] = [a+b, b+a] = = 0 .

Sada provjerimo aksiome proširenja. Treba imati na umu da u konstruiranom prstenu nema prirodnih brojeva kao takvih, jer su elementi prstena klase parova prirodnih brojeva. Stoga moramo pronaći subalgebru izomorfnu poluprstenu prirodnih brojeva. Evo opet ideja o paru [ a, b] što kažete na razliku a–b. Prirodni broj n može se predstaviti kao razlika dvaju prirodnih, na primjer, na sljedeći način: n = (n+ 1) – 1. Stoga proizlazi prijedlog da se uspostavi korespondencija f: N ® Z prema pravilu

f(n) = [n + 1, 1].

Ovo dopisivanje je injektivno:

f(n) = f(m) Þ [ n + 1, 1]= [m+ 1, 1] Þ ( n + 1) + 1= 1 + (m+ 1) Þ n = m.

Posljedično, imamo korespondenciju jedan na jedan između N i neki podskup Z, što označavamo sa N*. Provjerimo sprema li operacije:

f(n) + f(m) = [n + 1, 1]+ [m + 1, 1] = [n + m+ 2, 2]= [n + m+ 1, 1] = f(n+m);

f(n) × f(m) = [n+ 1, 1] × [ m + 1, 1] = [nm + n + m+ 2, n+m+ 2]= [nm+ 1, 1] = f(nm).

Time se utvrđuje da N* oblici u Z s obzirom na operacije zbrajanja i množenja subalgebra izomorfna N

Označimo par [ n+ 1, 1] od N* n, kroz n a, b] imamo

[a, b] = [a + 1, 1] + = [a + 1, 1] – [b + 1, 1] = a – b .

Ovo konačno potkrepljuje ideju para [ a, b] kao razlika prirodnih brojeva. Pritom je utvrđeno da svaki element iz konstruiranog skupa Z predstavlja se kao razlika dvaju prirodnih. Ovo će pomoći potvrditi aksiom minimalnosti.

Neka M – podskup Z, koji sadrži N* i zajedno s bilo kojim elementima A I b njihova razlika a – b. Dokažimo to u ovom slučaju M =Z. Doista, bilo koji element iz Z predstavlja se kao razlika dva prirodna broja, koji po uvjetu pripadaju M zajedno sa svojim razlikama.

Teorem 2. Aksiomatska teorija cijelih brojeva je kategorička.

Dokaz. Dokažimo da su bilo koja dva modela na kojima su zadovoljeni svi aksiomi ove teorije izomorfna.

Neka á Z 1, +, ×, N 1 ñ i á Z 2, +, ×, N 2 ñ – dva modela naše teorije. Strogo govoreći, operacije u njima moraju biti označene različitim simbolima. Udaljit ćemo se od ovog zahtjeva kako ne bismo zatrpali izračune: svaki put je jasno o kojoj operaciji govorimo. Elementi koji pripadaju modelima koji se razmatraju bit će opremljeni odgovarajućim indeksima 1 ili 2.

Definirat ćemo izomorfno preslikavanje iz prvog modela u drugi. Jer N 1 i N 2 su poluprstenovi prirodnih brojeva, tada postoji izomorfno preslikavanje j prvog poluprstena na drugi. Definirajmo preslikavanje f: Z 1® Z 2. Svaki cijeli broj x 1 Î Z 1 je predstavljen kao razlika dvaju prirodnih:
x 1 = a 1 –b 1 . Vjerujemo

f (x 1) = j( a 1) – j( b 1).

Dokažimo to f– izomorfizam. Preslikavanje je točno definirano: ako x 1 = na 1 gdje g 1 = c 1 – d 1, dakle

a 1 –b 1 = c 1 – d 1 Þ a 1 + d 1 = b 1 + c 1 Þ j( a 1 + d 1) = j( b 1 + c 1) Þ

Þ j( a 1) + j( d 1) = j( b 1) + j( c 1) Þ j( a 1)– j( b 1)= j( c 1) – j( d 1) Þ f(x 1) =f (g 1).

Iz toga slijedi da f – preslikavanje jedan na jedan Z 1 in Z 2. Ali za bilo koga x 2 od Z 2 možete pronaći prirodne elemente a 2 i b 2 takva da x 2 = a 2 –b 2. Budući da je j izomorfizam, ti elementi imaju inverzne slike a 1 i b 1 . Sredstva, x 2 = j( a 1) – j( b 1) =
= f (a 1 –b 1), a za svaki element iz Z 2 je prototip. Otud dopisivanje f jedan na jedan. Provjerimo sprema li operacije.

Ako x 1 = a 1 –b 1 , g 1 = c 1 – d 1, dakle

x 1 + g 1 = (a 1 + c 1) – (b 1 +d 1),

f(x 1 + g 1) = j( a 1 + c 1) – j( b 1 +d 1) =j( a 1)+ j( c 1) – j( b 1) – j( d 1) =

J( a 1) – j( b 1)+ j( c 1)– j( d 1) =f(x 1) + f(g 1).

Slično, potvrđeno je da je množenje sačuvano. Time se utvrđuje da f je izomorfizam, a teorem je dokazan.

Vježbe

1. Dokažite da svaki prsten koji uključuje sustav prirodnih brojeva uključuje i prsten cijelih brojeva.

2. Dokažite da je svaki minimalni uređeni komutativni prsten s identitetom izomorfan prstenu cijelih brojeva.

3. Dokažite da svaki uređeni prsten s jednim i bez djelitelja nule sadrži samo jedan podprsten izomorfan prstenu cijelih brojeva.

4. Dokažite da prsten matrica drugog reda nad poljem realnih brojeva sadrži beskonačno mnogo podprstenova izomorfnih prstenu cijelih brojeva.

Polje racionalnih brojeva

Definicija i konstrukcija sustava racionalnih brojeva provodi se na isti način kao što se to radi za sustav cijelih brojeva.

Definicija. Sustav racionalnih brojeva je minimalno polje koje je proširenje prstena cijelih brojeva.

U skladu s ovom definicijom dobivamo sljedeću aksiomatsku konstrukciju sustava racionalnih brojeva.

Primarni pojmovi:

Q– skup racionalnih brojeva;

0, 1 – konstante;

+, × – binarne operacije na Q;

Z– podskup Q, skup cijelih brojeva;

Å, Ä – binarne operacije na Z.

Aksiomi:

ja Aksiomi polja.

(Q1) a+ (b+c) = (a+b) + c.

(Q2) a + b = b + a.

(Q3) (" a) a + 0 = a.

(Q4) (" a)($(–a)) a + (–a) = 0.

(Q5) a× ( b× c) = (a× b) × c.

(P6) a× b = b× a.

(Q7) A× 1 = A.

(P8) (" a¹ 0)($ a –1) a × a –1 = 1.

(Q9) ( a+b) × c = a × c + b× c.

II. Aksiomi proširenja.

(P10) b Z, Å, Ä, 0, 1ñ – prsten prirodnih brojeva.

(Q11) Z Í Q.

(P12) (" a,bÎ Z) a + b = aÅ b.

(P13) (" a,bÎ Z) a× b = aÄ b.

III. Aksiom minimalnosti.

(Q14) MÍ Q, ZÍ M, ("a, bÎ M)(b ¹ 0 ® a× b–1 O M)Þ M = Q.

Broj a× b–1 naziva se kvocijent brojeva A I b, označeno a/b ili .

Teorem 1. Svaki racionalni broj može se prikazati kao kvocijent dvaju cijelih brojeva.

Dokaz. Neka M– skup racionalnih brojeva koji se mogu prikazati kao kvocijent dvaju cijelih brojeva. Ako n- cijeli, dakle n = n/1 pripada M, stoga, ZÍ M. Ako a, bÎ M, To a = k/l, b = m/n, Gdje k, l, m, nÎ Z. Stoga, a/b=
= (knj) / (lm)Î M. Prema aksiomu (Q14) M= Q, i teorem je dokazan.

Teorem 2. Polje racionalnih brojeva može biti linearno i strogo uređeno, i to na jedinstven način. Red u polju racionalnih brojeva je Arhimedov i nastavlja red u prstenu cijelih brojeva.

Dokaz. Označimo sa Q+ skup brojeva koji se mogu predstaviti kao razlomak, gdje kl> 0. Lako je vidjeti da ovaj uvjet ne ovisi o vrsti razlomka koji predstavlja broj.

Provjerimo to Q + – pozitivni dio polja Q. Budući da za cijeli broj kl moguća su tri slučaja: kl = 0, klÎ N, –kl Î N, tada za a = dobivamo jednu od tri mogućnosti: a = 0, aO Q+ , –aO Q + . Nadalje, ako je a = , b = pripadaju Q+ , dakle kl > 0, mn> 0. Tada je a + b = , i ( kn + ml)ln = kln 2 + mnl 2 > 0. Dakle, a + bO Q + . Na sličan se način može provjeriti da je abO Q + . Tako, Q + – pozitivni dio polja Q.

Neka Q++ – neki pozitivni dio ovog polja. Imamo

l =.l 2 O Q ++ .

Odavde NÍ Q++. Prema teoremu 2.3.4, inverzi prirodnih brojeva također pripadaju Q++. Zatim Q + Í Q++. Na temelju teorema 2.3.6 Q + =Q++. Stoga se i poredci definirani pozitivnim dijelovima podudaraju Q+ i Q ++ .

Jer Z + = NÍ Q+ , onda je red Q nastavlja red u Z.

Neka je sada a => 0, b => 0. Budući da je poredak u prstenu Arhimedovih cijelih brojeva, tada za pozitivne knj I ml postoji nešto prirodno S takav da S× knj>ml. Odavde S a = S> = b. To znači da je poredak u polju racionalnih brojeva Arhimedov.

Vježbe

1. Dokažite da je polje racionalnih brojeva gusto, odnosno za bilo koje racionalne brojeve a < b postoji racionalno r takav da a < r < b.

2. Dokažite da jednadžba x 2 = 2 nema rješenja u Q.

3. Dokažite da skup Q prebrojiv.

Teorem 3. Aksiomatska teorija racionalnih brojeva je dosljedna.

Dokaz. Konzistentnost aksiomatske teorije racionalnih brojeva dokazuje se na isti način kao i za cijele brojeve. Da bi se to postiglo, izgrađen je model na kojem su zadovoljeni svi aksiomi teorije.

Kao osnovu uzimamo set

Z´ Z* = {(a, b)ï a, bÎ Z, b ¹ 0}.

Elementi ovog skupa su parovi ( a, b) cijeli brojevi. Pod takvim parom ćemo razumjeti kvocijent cijelih brojeva a/b. U skladu s tim postavljamo svojstva parova.

Predstavimo se na setu Z´ Z* odnos jednakosti:

(a, b) = (CD) Û oglas = pr.

Napominjemo da je to odnos ekvivalencije i ima pravo da se zove jednakost. Faktorski skup skupova Z´ Z* prema ovoj relaciji jednakosti koju označavamo Q. Njegove ćemo elemente nazvati racionalnim brojevima. Klasa koja sadrži par ( a, b), označiti s [ a, b].

Uvedimo u konstruirani skup Q operacije zbrajanja i množenja. To će nam pomoći da razumijemo element [ a, b] kao privatni a/b. U skladu s tim, po definiciji pretpostavljamo:

[a, b] + [CD] = [ad+bc, bd];

[a, b] × [ CD] = [izmjenične struje, bd].

Provjeravamo ispravnost definicija ovih operacija, odnosno da rezultati ne ovise o izboru elemenata a I b, definirajući par [ a, b]. To se radi na isti način kao u dokazu teorema 3.2.1.

Ulogu nule igra par. Označimo to sa 0 . Stvarno,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [a× 1+0× b, b× 1] = [a, b].

Suprotno od [ a, b] je par –[ a, b] = [–a, b]. Stvarno,

[a, b] + [–a, b]= [ab – ab, bb] = = 0 .

Jedinica je par = 1 . Obrnuto prema paru [ a, b] - par [ b, a].

Sada provjerimo aksiome proširenja. Uspostavimo korespondenciju
f: Z ® Q prema pravilu

f(n) = [n, 1].

Provjeravamo je li ovo dopisivanje jedan na jedan između Z i neki podskup Q, što označavamo sa Z*. Nadalje provjeravamo čuva li operacije, što znači da uspostavlja izomorfizam između Z i ispod prstena Z* V Q. To znači da su aksiomi proširenja provjereni.

Označimo par [ n, 1] od Z*, koji odgovara prirodnom broju n, kroz n . Tada za proizvoljan par [ a, b] imamo

[a, b] = [a, 1] × = [ a, 1] / [b, 1] = a /b .

Ovo opravdava ideju o paru [ a, b] kao kvocijent cijelih brojeva. Pritom je utvrđeno da svaki element iz konstruiranog skupa Q predstavlja se kao kvocijent dva cijela broja. Ovo će pomoći potvrditi aksiom minimalnosti. Provjera se provodi kao u teoremu 3.2.1.

Dakle, za izgrađeni sustav Q svi aksiomi teorije cijelih brojeva su zadovoljeni, odnosno izgradili smo model ove teorije. Teorem je dokazan.

Teorem 4. Aksiomatska teorija racionalnih brojeva je kategorična.

Dokaz je sličan onom iz teorema 3.2.2.

Teorem 5. Arhimedovo uređeno polje je proširenje polja racionalnih brojeva.

Dokaz je vježba.

Teorem 6. Neka F– Arhimedovo uređeno polje, a > b, Gdje a, bÎ F. Postoji racionalan broj Î F takav da a > > b.

Dokaz. Neka a > b³ 0. Zatim a–b> 0, i ( a–b) –1 > 0. Postoji prirodna T takav da m×1 > ( a–b) –1 , odakle m –1 < a–b £ A. Nadalje, postoji prirodna k takav da k× m–1 ³ a. Neka k je najmanji broj za koji ova nejednakost vrijedi. Jer k> 1, onda možemo staviti k = n + 1, n Î N. pri čemu
(n+ 1)× m–1 ³ a, n× m –1 < a. Ako n× m–1 £ b, To a = b + (a–b) > b+m–1 ³ n× m –1 + m –1 =
= (n+ 1)× m-1 . Kontradikcija. Sredstva, a >n× m –1 > b.

Vježbe

4. Dokažite da svako polje koje uključuje prsten cijelih brojeva uključuje i polje racionalnih brojeva.

5. Dokažite da je svako minimalno uređeno polje izomorfno polju racionalnih brojeva.

Realni brojevi

Za realne brojeve, označene sa (tzv. R sjeckani), uvodi se operacija zbrajanja (“+”), odnosno za svaki par elemenata ( x,g) iz skupa realnih brojeva pridružuje se element x + g iz istog skupa, koji se naziva zbroj x I g .

Aksiomi množenja

Uvodi se operacija množenja (“·”), odnosno za svaki par elemenata ( x,g) iz skupa realnih brojeva dodjeljuje se element (ili, ukratko, xg) iz istog skupa, koji se naziva proizvod x I g .

Odnos zbrajanja i množenja

Aksiomi reda

Na zadanoj relaciji reda "" (manje ili jednako), to jest, za bilo koji par x, y iz barem jednog od uvjeta ili .

Odnos reda i zbrajanja

Odnos reda i množenja

Aksiom kontinuiteta

Komentar

Ovaj aksiom znači da ako x I Y- dva neprazna skupa realnih brojeva takvih da bilo koji element iz x ne prelazi nijedan element iz Y, tada se realni broj može umetnuti između tih skupova. Za racionalne brojeve ovaj aksiom ne vrijedi; klasičan primjer: razmotriti pozitivne racionalne brojeve i pridružiti ih skupu x oni brojevi čiji je kvadrat manji od 2, a ostali - do Y. Zatim između x I Y Ne možete umetnuti racionalan broj (to nije racionalan broj).

Ovaj ključni aksiom osigurava gustoću i time omogućuje konstrukciju matematičke analize. Da bismo ilustrirali njegovu važnost, istaknimo dvije temeljne posljedice iz njega.

Korolari aksioma

Neka važna svojstva realnih brojeva slijede izravno iz aksioma, na primjer,

jedinstvenost nule,
jedinstvenost suprotnih i inverznih elemenata.

Književnost

Zorić V. A. Matematička analiza. Svezak I. M.: Phasis, 1997., 2. poglavlje.

vidi također

Linkovi

Zaklada Wikimedia. 2010.

Pogledajte što je "Aksiomatika realnih brojeva" u drugim rječnicima:

Realni ili stvarni broj je matematička apstrakcija koja je proizašla iz potrebe za mjerenjem geometrijskih i fizičkih veličina okolnog svijeta, kao i za izvođenje operacija poput vađenja korijena, izračunavanja logaritama, rješavanja... ... Wikipedia

Realni, odnosno realni brojevi, matematička su apstrakcija koja služi, posebice, za predstavljanje i usporedbu vrijednosti fizikalnih veličina. Takav se broj može intuitivno predstaviti kao opis položaja točke na liniji.... ... Wikipedia

Wiktionary ima članak "aksiom" Aksiom (starogrčki ... Wikipedia

Aksiom koji se nalazi u raznim aksiomatskim sustavima. Aksiomatika realnih brojeva Hilbertova aksiomatika euklidske geometrije Kolmogorova aksiomatika teorije vjerojatnosti ... Wikipedia

Aksiomatska metoda u matematici.

Osnovni pojmovi i relacije aksiomatske teorije prirodnih nizova. Definicija prirodnog broja.

Zbrajanje prirodnih brojeva.

Množenje prirodnih brojeva.

Svojstva skupa prirodnih brojeva

Oduzimanje i dijeljenje prirodnih brojeva.

Aksiomatska metoda u matematici

U aksiomatskoj konstrukciji bilo koje matematičke teorije poštuju se sljedeća pravila: određena pravila:

1. Neki koncepti teorije odabrani su kao glavni a prihvaćaju se bez definicije.

2. Formulirani su aksiomi, koji su u ovoj teoriji prihvaćeni bez dokaza, otkrivaju svojstva osnovnih pojmova.

3. Dat je svaki koncept teorije koji nije sadržan u popisu osnovnih definicija, objašnjava svoje značenje uz pomoć glavnih i prethodnih pojmova.

4. Svaka tvrdnja teorije koja nije sadržana u popisu aksioma mora se dokazati. Takvi prijedlozi su tzv teoremi te ih dokazati na temelju aksioma i teorema koji prethode ovome koji se razmatra.

Sustav aksioma trebao bi biti:

a) dosljedan: moramo biti sigurni da, izvlačeći sve moguće zaključke iz danog sustava aksioma, nikada nećemo doći do proturječnosti;

b) nezavisna: niti jedan aksiom ne bi trebao biti posljedica drugih aksioma ovog sustava.

V) puna, ako je unutar njezina okvira uvijek moguće dokazati ili danu tvrdnju ili njezinu negaciju.

Prvim iskustvom izgradnje aksiomatske teorije može se smatrati Euklidov prikaz geometrije u njegovim "Elementima" (3. st. pr. Kr.). Značajan doprinos razvoju aksiomatske metode konstrukcije geometrije i algebre dao je N.I. Lobačevskog i E. Galoisa. Krajem 19.st. Talijanski matematičar Peano razvio je sustav aksioma za aritmetiku.

Osnovni pojmovi i relacije aksiomatske teorije prirodnih brojeva. Definicija prirodnog broja.

Kao osnovni (nedefinirani) pojam u određenom skupu N je odabrano stav , a također koristi koncepte teorije skupova, kao i pravila logike.

Element neposredno nakon elementa A, označiti A".

Odnos "izravnog praćenja" zadovoljava sljedeće aksiome:

Peanovi aksiomi:

Aksiom 1. U izobilju N neposredno postoji element ne sljedeći ni za jedan element ovog skupa. Nazovimo ga jedinica i označen simbolom 1 .

Aksiom 2. Za svaki element A iz N postoji samo jedan element A" , odmah nakon toga A .

Aksiom 3. Za svaki element A iz N postoji najviše jedan element koji neposredno slijedi A .

Aksiom 4. Bilo koji podskup M postavlja N poklapa se s N , ako ima sljedeća svojstva: 1) 1 sadržano u M ; 2) iz činjenice da A sadržano u M , slijedi da A" sadržano u M.

Definicija 1. Gomila N , za čije elemente se uspostavlja odnos "izravno slijediti", koji zadovoljava aksiome 1-4, zove se skup prirodnih brojeva, a njegovi elementi su prirodni brojevi.

Ova definicija ne govori ništa o prirodi elemenata skupa N . Dakle, može biti bilo što. Odabir kao set N neki specifičan skup na kojem je dana specifična relacija "izravno slijedi", zadovoljavajući aksiome 1-4, dobivamo model ovog sustava aksiom.

Standardni model Peanovog aksiomskog sustava je niz brojeva koji je nastao u procesu povijesnog razvoja društva: 1,2,3,4,... Prirodni niz počinje brojem 1 (aksiom 1); nakon svakog prirodnog broja neposredno slijedi jedan prirodni broj (aksiom 2); svaki prirodni broj neposredno slijedi iza najviše jednog prirodnog broja (aksiom 3); počevši od broja 1 pa idući redom do prirodnih brojeva koji slijede jedan za drugim, dobivamo cijeli skup tih brojeva (aksiom 4).

Dakle, započeli smo aksiomatsku konstrukciju sustava prirodnih brojeva odabirom osnovnog odnos "izravnog praćenja". i aksiome koji opisuju njegova svojstva. Daljnja izgradnja teorije uključuje razmatranje poznatih svojstava prirodnih brojeva i operacija nad njima. Moraju se otkriti u definicijama i teoremima, tj. izvode se čisto logički iz relacije "izravno slijede", a aksiomi 1-4.

Prvi pojam koji ćemo uvesti nakon definiranja prirodnog broja je stav "neposredno prethodi" , koji se često koristi kada se razmatraju svojstva prirodnih serija.

Definicija 2. Ako je prirodan broj b izravno slijedi prirodni broj A, taj broj A nazvao neposredno prethodi(ili prethodni) broj b .

Odnos “prethodi” ima niz svojstava.

Teorem 1. Jedinica nema prethodni prirodni broj.

Teorem 2. Svaki prirodni broj A, osim 1, ima jedan prethodni broj b, takav da b"= A.

Aksiomatska konstrukcija teorije prirodnih brojeva ne razmatra se ni u osnovnoj ni u srednjoj školi. Međutim, ona svojstva relacije "izravno slijede", koja se odražavaju u Peanovim aksiomima, predmet su proučavanja u početnom tečaju matematike. Već u prvom razredu, kada se razmatraju brojevi prve desetice, postaje jasno kako se svaki broj može dobiti. Koriste se pojmovi "slijedi" i "prethodi". Svaki novi broj djeluje kao nastavak proučavanog segmenta prirodnog niza brojeva. Učenici se uvjeravaju da iza svakog broja slijedi sljedeći, štoviše, samo jedno, da je prirodni niz brojeva beskonačan.

Zbrajanje prirodnih brojeva

Prema pravilima za izgradnju aksiomatske teorije, definicija zbrajanja prirodnih brojeva mora se uvesti koristeći samo relaciju "izravno pratiti", i koncepti "prirodni broj" I "prethodni broj".

Predstavimo definiciju zbrajanja sljedećim razmatranjima. Ako bilo kojem prirodnom broju A dodamo 1, dobivamo broj A", odmah nakon toga A, tj. A+ 1= a" i, prema tome, dobivamo pravilo za dodavanje 1 bilo kojem prirodnom broju. Ali kako dodati broju A prirodni broj b, različito od 1? Iskoristimo sljedeću činjenicu: ako znamo da je 2 + 3 = 5, tada je zbroj 2 + 4 = 6, koji odmah slijedi iza broja 5. To se događa jer je u zbroju 2 + 4 drugi član broj koji slijedi odmah broj 3. Dakle, 2 + 4 =2+3 " =(2+3)". Općenito imamo , .

Ove činjenice čine osnovu za definiciju zbrajanja prirodnih brojeva u aksiomatskoj teoriji.

Definicija 3. Zbrajanje prirodnih brojeva je algebarska operacija koja ima sljedeća svojstva:

Broj a + b nazvao zbroj brojeva A I b , i sami brojevi A I b - Pojmovi.

Kada se aksiomatski konstruira bilo koja matematička teorija, određeni pravila:

· neki pojmovi teorije odabrani su kao temeljni i prihvaćeni bez definiranja;

· svaki pojam teorije koji nije sadržan u popisu osnovnih dobiva definiciju;

· formuliraju se aksiomi – tvrdnje koje se u danoj teoriji prihvaćaju bez dokaza; otkrivaju svojstva osnovnih pojmova;

· svaka tvrdnja teorije koja nije sadržana u popisu aksioma mora biti dokazana; Takve tvrdnje nazivaju se teoremi i dokazuju se na temelju aksioma i teorema.

U aksiomatskoj konstrukciji teorije, sve tvrdnje izvode se iz aksioma kroz dokaz.

Stoga se na sustav aksioma postavljaju posebni zahtjevi. zahtjevi:

· dosljednost (sustav aksioma naziva se dosljednim ako se iz njega ne mogu logički izvesti dvije međusobno isključive tvrdnje);

· neovisnost (sustav aksioma naziva se neovisnim ako niti jedan od aksioma tog sustava nije posljedica drugih aksioma).

Skup s relacijom specificiranom u njemu naziva se modelom danog sustava aksioma ako su u njemu zadovoljeni svi aksiomi danog sustava.

Postoji mnogo načina da se konstruira sustav aksioma za skup prirodnih brojeva. Na primjer, zbroj brojeva ili relacija reda mogu se uzeti kao osnovni koncept. U svakom slučaju, potrebno je definirati sustav aksioma koji opisuju svojstva osnovnih pojmova.

Navedimo sustav aksioma, prihvaćajući osnovni koncept operacije zbrajanja.

Neprazan skup N nazivamo skupom prirodnih brojeva ako je u njemu definirana operacija (a; b) → a + b, koji se naziva zbrajanje i ima sljedeća svojstva:

1. zbrajanje je komutativno, tj. a + b = b + a.

2. zbrajanje je asocijativno, tj. (a + b) + c = a + (b + c).

4. u bilo kojem skupu A, koji je podskup skupa N, Gdje A postoji broj i takav da sve Ha, su jednaki a+b, Gdje bN.

Aksiomi 1 - 4 dovoljni su za konstrukciju cjelokupne aritmetike prirodnih brojeva. Ali s takvom konstrukcijom više se nije moguće oslanjati na svojstva konačnih skupova koja se ne odražavaju u ovim aksiomima.

Uzmimo kao osnovni koncept relaciju “izravno slijedi...”, definiranu na nepraznom skupu N. Tada će prirodni niz brojeva biti skup N, u kojem je definirana relacija “neposredno slijedi”, a svi elementi N će se zvati prirodnim brojevima, a vrijedi: Peanovi aksiomi:

AKSIOMA 1.

U izobiljuNpostoji element koji ne slijedi neposredno ni jedan element ovog skupa. Nazvat ćemo je jedinicom i označiti je simbolom 1.

AKSIOM 2.

Za svaki element a odNpostoji jedan element a neposredno iza a.

AKSIOM 3.

Za svaki element a odNPostoji najviše jedan element iza kojeg neposredno slijedi a.

AXOIMA 4.

Bilo koji podskup M skupaNpoklapa se sN, ako ima sljedeća svojstva: 1) 1 je sadržano u M; 2) iz činjenice da je a sadržano u M, slijedi da je i a sadržano u M.

Gomila N, za elemente od kojih je uspostavljena relacija "neposredno slijedi...", zadovoljavajući aksiome 1 - 4, naziva se skup prirodnih brojeva , a njegovi elementi su prirodni brojevi.

Ako kao skup N odabrati neki specifični skup na kojem je dana određena relacija "izravno slijedi...", zadovoljavajući aksiome 1 - 4, tada dobivamo različite tumačenja (modeli) dano sustavi aksioma.

Standardni model Peanovog aksiomskog sustava je niz brojeva koji su nastali u procesu povijesnog razvoja društva: 1, 2, 3, 4, 5, ...

Model Peanovih aksioma može biti bilo koji prebrojivi skup.

Na primjer, I, II, III, IIII, ...

oh oh oh oh oh...

jedan dva tri četiri, …

Promotrimo niz skupova u kojem je skup (oo) početni element, a svaki sljedeći skup dobivamo iz prethodnog dodavanjem još jednog kruga (slika 15).

Zatim N postoji skup koji se sastoji od skupova opisanog oblika, a model je Peanovog aksiomskog sustava.

Dapače, u mnogima N postoji element (oo) koji ne slijedi odmah ni jedan element zadanog skupa, tj. Zadovoljen je aksiom 1. Za svaki skup A populacije koja se razmatra postoji jedan skup koji se dobiva iz A dodavanjem jednog kruga, tj. Vrijedi aksiom 2. Za svaki skup A postoji najviše jedan skup iz kojeg se formira skup A dodavanjem jednog kruga, tj. Vrijedi aksiom 3. Ako MN a poznato je da mnogi A sadržano u M, slijedi da skup u kojem postoji jedna kružnica više nego u skupu A, također sadržano u M, To M =N, pa je stoga aksiom 4 zadovoljen.

U definiciji prirodnog broja ne može se izostaviti nijedan od aksioma.

Ustanovimo koji od skupova prikazanih na sl. 16 su model Peanovih aksioma.

1 a b d a

G) sl.16

Riješenje. Slika 16 a) prikazuje skup u kojem su zadovoljeni aksiomi 2 i 3. Dapače, za svaki element postoji jedinstveni element koji neposredno slijedi, a postoji i jedinstveni element koji slijedi. Ali u ovom skupu, aksiom 1 nije zadovoljen (aksiom 4 nema smisla, jer ne postoji element u skupu koji ne slijedi neposredno nakon nekog drugog). Stoga ovaj skup nije model Peanovih aksioma.

Slika 16 b) prikazuje skup u kojem su aksiomi 1, 3 i 4 zadovoljeni, ali iza elementa A odmah slijede dva elementa, a ne jedan, kako se zahtijeva u aksiomu 2. Stoga ovaj skup nije model Peanovih aksioma.

Na sl. 16 c) prikazuje skup u kojem su aksiomi 1, 2, 4 zadovoljeni, ali element S odmah slijede odmah dva elementa. Stoga ovaj skup nije model Peanovih aksioma.

Na sl. 16 d) prikazuje skup koji zadovoljava aksiome 2, 3, a ako uzmemo broj 5 kao početni element, tada će ovaj skup zadovoljiti aksiome 1 i 4. To jest, u ovom skupu za svaki element odmah postoji jedinstveni nakon toga, i postoji jedan jedini element koji slijedi. Također postoji element koji ne slijedi odmah nijedan element ovog skupa, to je 5 , oni. Zadovoljen je aksiom 1. Prema tome, bit će zadovoljen i aksiom 4. Stoga je ovaj skup model Peanovih aksioma.

Pomoću Peanovih aksioma možemo dokazati niz tvrdnji. Na primjer, dokazat ćemo da za sve prirodne brojeve vrijedi nejednakost x x.

Dokaz. Označimo sa A skup prirodnih brojeva za koje a a. Broj 1 pripada A, budući da ne slijedi nijedan broj iz N, što znači da ne slijedi samo po sebi: 1 1. Neka aA, Zatim a a. Označimo A kroz b. Na temelju aksioma 3, Ab, oni. b b I bA.

Sustav cjelobrojnih brojeva

Prisjetimo se da se prirodni niz pojavio za popis objekata. Ali ako želimo izvesti neke radnje s objektima, tada će nam trebati aritmetičke operacije s brojevima. Odnosno, ako želimo složiti jabuke ili podijeliti kolač, moramo te radnje prevesti na jezik brojeva.

Napominjemo da je za uvođenje operacija + i * u jezik prirodnih brojeva potrebno dodati aksiome koji definiraju svojstva ovih operacija. Ali tada je i sam skup prirodnih brojeva šireći se.

Pogledajmo kako se širi skup prirodnih brojeva. Najjednostavnija operacija, koja je bila jedna od prvih potrebnih, je zbrajanje. Ako želimo definirati operaciju zbrajanja, moramo definirati njen inverz - oduzimanje. Zapravo, ako znamo što će biti rezultat zbrajanja, na primjer, 5 i 2, tada bismo trebali moći riješiti probleme poput: što treba dodati 4 da dobijemo 11. To jest, problemi vezani za zbrajanje će definitivno zahtijevaju sposobnost izvođenja obrnute radnje – oduzimanja. Ali ako zbrajanje prirodnih brojeva ponovno daje prirodan broj, tada oduzimanjem prirodnih brojeva dobivamo rezultat koji ne stane u N. Bili su potrebni neki drugi brojevi. Po analogiji s razumljivim oduzimanjem manjeg broja od većeg broja, uvedeno je pravilo oduzimanja većeg broja od manjeg broja - tako su se pojavili negativni cijeli brojevi.

Nadopunjavanjem prirodnog niza operacijama + i - dolazimo do skupa cijelih brojeva.

Z=N+operacije(+-)

Sustav racionalnih brojeva kao aritmetički jezik

Razmotrimo sada sljedeću najsloženiju radnju - množenje. U biti, ovo je ponovljeno zbrajanje. I umnožak cijelih brojeva ostaje cijeli broj.

Ali operacija obrnuta množenju je dijeljenje. Ali ne daje uvijek najbolje rezultate. I opet smo pred dilemom - ili prihvatiti kao dato da rezultat dijeljenja možda "ne postoji", ili doći do brojeva nekog novog tipa. Tako su se pojavili racionalni brojevi.

Uzmimo sustav cijelih brojeva i dopunimo ga aksiomima koji definiraju operacije množenja i dijeljenja. Dobivamo sustav racionalnih brojeva.

Q=Z+operacije(*/)

Dakle, jezik racionalnih brojeva omogućuje nam proizvodnju sve aritmetičke operacije preko brojeva. Za to nije bio dovoljan jezik prirodnih brojeva.

Dajmo aksiomatsku definiciju sustava racionalnih brojeva.

Definicija. Skup Q se naziva skup racionalnih brojeva, a njegovi elementi se nazivaju racionalni brojevi, ako je zadovoljen sljedeći skup uvjeta, koji se naziva aksiomatika racionalnih brojeva:

Aksiomi operacije zbrajanja. Za svaki naručeni par x,y elementi iz Q definiran je neki element x+y OQ, zove se zbroj x I na. U ovom slučaju ispunjeni su sljedeći uvjeti:

1. (Postojanje nule) Postoji element 0 (nula) takav da za bilo koji xÎQ

x+0=0+x=X.

2. Za bilo koji element x O Q postoji element - x O Q (suprotno x) tako da

x+ (-X) = (-X) + x = 0.

3. (Komutativnost) Za bilo koji x,y O Q

4. (Asocijativnost) Za bilo koji x,y,zO Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Aksiomi operacije množenja.

Za svaki naručeni par x, y elemenata iz Q definiran je neki element xy O Q, naziva se proizvod x I u. U ovom slučaju ispunjeni su sljedeći uvjeti:

5. (Postojanje jediničnog elementa) Postoji element 1 O Q takav da za bilo koji x O Q

x . 1 = 1. x = x

6. Za bilo koji element x O Q , ( x≠ 0) postoji inverzni element x-1 ≠0 tako da

X. x -1 = x -1. x = 1

7. (Asocijativnost) Za bilo koji x, y, z O Q

x . (g . z) = (x . y) . z

8. (Komutativnost) Za bilo koji x, y O Q

Aksiom veze zbrajanja i množenja.

9. (Distributivnost) Za bilo koji x, y, z O Q

(x+y) . z = x . z+y . z

Aksiomi reda.

Bilo koja dva elementa x, y, O Q ulaze u odnos usporedbe ≤. U ovom slučaju ispunjeni su sljedeći uvjeti:

10. (x≤na)L ( na≤x) ó x=y

11. (X≤y) L ( y≤ z) => x≤z

12. Za bilo koga x, y O Q ili x< у, либо у < x .

Stav< называется строгим неравенством,

Relacija = naziva se jednakost elemenata iz Q.

Aksiom veze zbrajanja i reda.

13. Za bilo koje x, y, z OQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z

Aksiom veze množenja i reda.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

Arhimedov aksiom kontinuiteta.

15. Za svaki a > b > 0 postoje m O N i n O Q takvi da je m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Dakle, sustav racionalnih brojeva je jezik aritmetike.

Međutim, ovaj jezik nije dovoljan za rješavanje praktičnih računalnih problema.