upute
Pogodno je glumiti ako je vaša figura poligon. Uvijek ga možete rastaviti na konačan broj, a trebate zapamtiti samo jednu formulu - površinu trokuta. Dakle, trokut je polovica umnoška duljine njegove stranice i duljine visine povučene upravo na ovu stranicu. Zbrajanjem površina pojedinih trokuta u koje se vašom voljom pretvorio složeniji trokut, saznat ćete željeni rezultat.
Teže je riješiti problem određivanja površine proizvoljne figure. Takva figura može imati ne samo, već i zakrivljene granice. Postoje načini da se napravi približan izračun. Jednostavan.
Prvo, možete koristiti paletu. To je instrument izrađen od prozirnog materijala s mrežom kvadrata ili trokuta s poznatom površinom nanesenom na površinu. Postavljanjem palete na vrh oblika za koji tražite područje, ponovno izračunavate broj svojih mjernih jedinica koje se preklapaju sa slikom. Kombinirajte nepotpuno zatvorene mjerne jedinice jednu s drugom, dovršavajući ih u svom umu kako biste dovršili jedne. Zatim, množenjem površine jednog oblika palete s brojem koji ste izračunali, saznat ćete približnu površinu vašeg proizvoljnog oblika. Jasno je da što je gušća mreža primijenjena na vašu paletu, to je točniji vaš rezultat.
Drugo, možete ocrtati maksimalan broj trokuta unutar granica proizvoljne figure za koju određujete područje. Odredite površinu svake i dodajte njihove površine. Ovo će biti vrlo grub rezultat. Ako želite, također možete zasebno odrediti područje segmenata omeđenih lukovima. Da biste to učinili, zamislite da je segment dio kruga. Konstruirajte ovu kružnicu, a zatim iz njezine sredine povucite radijuse do rubova luka. Segmenti međusobno zatvaraju kut α. Površina cijelog sektora određena je formulom π*R^2*α/360. Za svaki manji dio svoje figure odredite površinu i zbrajanjem dobivenih vrijednosti dobijete ukupni rezultat.
Treća metoda je teža, ali točnija i za neke lakša. Površina bilo koje figure može se odrediti pomoću integralnog računa. Određeni integral funkcije pokazuje površinu od grafa funkcije do apscise. Površina između dva grafa može se odrediti oduzimanjem određenog integrala, manje vrijednosti, od integrala unutar istih granica, ali veće vrijednosti. Za korištenje ove metode prikladno je prenijeti svoju proizvoljnu figuru u koordinatni sustav, a zatim odrediti njihove funkcije i djelovati pomoću metoda više matematike, u koje se nećemo upuštati ovdje i sada.
Kako pronaći područje figure?
Poznavanje i sposobnost izračunavanja površina različitih figura potrebno je ne samo za rješavanje jednostavnih geometrijskih problema. Ne možete bez ovog znanja kada sastavljate ili provjeravate procjene za popravke prostora, izračunavajući količinu potrebnih potrošnih materijala. Dakle, shvatimo kako pronaći područja različitih oblika.
Dio ravnine sadržan unutar zatvorene konture naziva se područje ove ravnine. Površina se izražava brojem kvadratnih jedinica sadržanih u njoj.
Za izračunavanje površine glavnog geometrijski oblici, morate koristiti ispravnu formulu.
Površina trokuta
Oznake:
- Ako su h, a poznati, tada se površina traženog trokuta određuje kao umnožak duljine stranice i visine trokuta spuštene na ovu stranu, podijeljen na pola: S=(a h)/2
- Ako su a, b, c poznati, tada se tražena površina izračunava pomoću Heronove formule: kvadratnog korijena uzetog iz umnoška polovice opsega trokuta i tri razlike polovice opsega i svake stranice trokuta: S = √ (p (p - a) (p - b)·(p - c)).
- Ako su a, b, γ poznati, tada se površina trokuta određuje kao polovica umnoška 2 stranice, pomnožena s vrijednošću sinusa kuta između ovih stranica: S=(a b sin γ)/2
- Ako su a, b, c, R poznati, tada se tražena površina određuje dijeljenjem umnoška duljina svih stranica trokuta s četiri polumjera opisane kružnice: S=(a b c)/4R
- Ako su p, r poznati, tada se tražena površina trokuta određuje množenjem polovice opsega polumjerom kruga upisanog u njega: S=p·r
Kvadratna površina
Oznake:
- Ako je stranica poznata, tada se površina date figure određuje kao kvadrat duljine njezine stranice: S=a 2
- Ako je d poznat, tada se površina kvadrata određuje kao polovica kvadrata duljine njegove dijagonale: S=d 2 /2
Površina pravokutnika
Oznake:
- S - određeno područje,
- a, b - duljine stranica pravokutnika.
- Ako su a, b poznati, tada je površina zadanog pravokutnika određena umnoškom duljina njegovih dviju stranica: S=a b
- Ako su duljine stranica nepoznate, tada se površina pravokutnika mora podijeliti na trokute. U ovom slučaju, površina pravokutnika određena je kao zbroj površina njegovih sastavnih trokuta.
Površina paralelograma
Oznake:
- S je tražena površina,
- a, b - duljine stranica,
- h je duljina visine zadanog paralelograma,
- d1, d2 - duljine dviju dijagonala,
- α je kut između stranica,
- γ je kut između dijagonala.
- Ako su a, h poznati, tada se tražena površina određuje množenjem duljine stranice i visine spuštene na ovu stranu: S=a h
- Ako su a, b, α poznati, tada se površina paralelograma određuje množenjem duljina stranica paralelograma i sinusa kuta između tih stranica: S=a b sin α
- Ako su d 1 , d 2 , γ poznati, tada se površina paralelograma određuje kao polovica umnoška duljina dijagonala i sinusa kuta između tih dijagonala: S=(d 1 d 2 sinγ) /2
Površina romba
Oznake:
- S je tražena površina,
- a - duljina stranice,
- h - duljina visine,
- α je manji kut između dviju stranica,
- d1, d2 - duljine dviju dijagonala.
- Ako su a, h poznati, tada se površina romba određuje množenjem duljine stranice s duljinom visine koja se spušta na ovu stranu: S=a h
- Ako su a, α poznati, tada se površina romba određuje množenjem kvadrata duljine stranice sa sinusom kuta između stranica: S=a 2 sin α
- Ako su d 1 i d 2 poznati, tada se tražena površina određuje kao polovica umnoška duljina dijagonala romba: S=(d 1 d 2)/2
Područje trapeza
Oznake:
- Ako su a, b, c, d poznati, tada se tražena površina određuje formulom: S= (a+b) /2 *√.
- Uz poznate a, b, h, tražena površina se određuje kao umnožak polovice zbroja osnovica i visine trapeza: S=(a+b)/2 h
Površina konveksnog četverokuta
Oznake:
- Ako su d 1 , d 2 , α poznati, tada se površina konveksnog četverokuta određuje kao polovica umnoška dijagonala četverokuta, pomnožena sa sinusom kuta između ovih dijagonala: S=(d 1 · d 2 · sin α)/2
- Za poznate p, r, površina konveksnog četverokuta određena je kao umnožak poluopsega četverokuta i polumjera kruga upisanog u ovaj četverokut: S=p r
- Ako su a, b, c, d, θ poznati, tada se površina konveksnog četverokuta određuje kao kvadratni korijen umnoška razlike u poluopsegu i duljine svake stranice minus umnožak duljine svih stranica i kvadrat kosinusa polovice zbroja dva suprotna kuta: S 2 = (p - a )(p - b)(p - c)(p - d) - abcd cos 2 ((α+ β)/2)
Površina kruga
Oznake:
Ako je r poznat, tada se tražena površina određuje kao umnožak broja π i kvadrata polumjera: S=π r 2
Ako je d poznat, tada se površina kruga određuje kao umnožak broja π i kvadrata promjera podijeljenog s četiri: S=(π d 2)/4
Područje složene figure
Složene se mogu rastaviti na jednostavne geometrijske oblike. Površina složene figure definirana je kao zbroj ili razlika njezinih sastavnih područja. Razmotrimo, na primjer, prsten.
Oznaka:
- S - područje prstena,
- R, r - radijusi vanjskog i unutarnjeg kruga, redom,
- D, d su promjeri vanjskog i unutarnjeg kruga.
Da biste pronašli površinu prstena, trebate oduzeti površinu od površine većeg kruga 
manji krug. S = S1-S2 = πR 2 -πr 2 = π (R 2 -r 2).
Dakle, ako su R i r poznati, tada se površina prstena određuje kao razlika u kvadratima polumjera vanjskog i unutarnjeg kruga, pomnožena s pi: S=π(R 2 -r 2).
Ako su D i d poznati, tada se površina prstena određuje kao četvrtina razlike u kvadratima promjera vanjskog i unutarnjeg kruga, pomnožena s pi: S= (1/4)(D 2 -d 2) π.
Područje zakrpe
Pretpostavimo da se unutar jednog kvadrata (A) nalazi drugi (B) (manje veličine), te treba pronaći osjenčanu šupljinu između likova "A" i "B". Recimo, "okvir" malog kvadrata. Za ovo:
- Pronađite površinu slike "A" (izračunava se pomoću formule za pronalaženje površine kvadrata).
- Slično tome, nalazimo područje slike "B".
- Oduzmite područje "B" od područja "A". I tako dobivamo područje osjenčane figure.
Sada znate kako pronaći područja različitih oblika.
U prethodnom odjeljku, posvećenom analizi geometrijskog značenja određenog integrala, dobili smo niz formula za izračunavanje površine krivocrtnog trapeza:
S (G) = ∫ a b f (x) d x za kontinuiranu i nenegativnu funkciju y = f (x) na intervalu [ a ; b],
S (G) = - ∫ a b f (x) d x za kontinuiranu i nepozitivnu funkciju y = f (x) na intervalu [ a ; b ] .
Ove formule su primjenjive za rješavanje relativno jednostavnih problema. U stvarnosti ćemo često morati raditi sa složenijim figurama. S tim u vezi, ovaj dio ćemo posvetiti analizi algoritama za izračunavanje površine figura koje su ograničene funkcijama u eksplicitnom obliku, tj. poput y = f(x) ili x = g(y).
TeoremaNeka su funkcije y = f 1 (x) i y = f 2 (x) definirane i kontinuirane na intervalu [ a ; b ] i f 1 (x) ≤ f 2 (x) za bilo koju vrijednost x iz [ a ; b ] . Tada će formula za izračunavanje površine figure G, ograničene linijama x = a, x = b, y = f 1 (x) i y = f 2 (x) izgledati kao S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
Slična formula bit će primjenjiva za područje figure ograničene linijama y = c, y = d, x = g 1 (y) i x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Dokaz
Pogledajmo tri slučaja za koje će formula vrijediti.
U prvom slučaju, uzimajući u obzir svojstvo aditivnosti površine, zbroj površina izvorne figure G i krivocrtnog trapeza G 1 jednak je površini figure G 2. To znači da
Prema tome, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Posljednji prijelaz možemo izvesti pomoću trećeg svojstva određenog integrala.
U drugom slučaju vrijedi jednakost: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Grafička ilustracija će izgledati ovako:
Ako su obje funkcije nepozitivne, dobivamo: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Grafička ilustracija će izgledati ovako:
Prijeđimo na razmatranje općeg slučaja kada y = f 1 (x) i y = f 2 (x) sijeku os O x.
Presječne točke označavamo kao x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Ove točke dijele segment [a; b] na n dijelova x i-1; x i, i = 1, 2, . . . , n, gdje je α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Stoga,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Posljednji prijelaz možemo napraviti pomoću petog svojstva određenog integrala.
Ilustrirajmo opći slučaj na grafu.
Formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x može se smatrati dokazanom.
Sada prijeđimo na analizu primjera izračuna područja figura koje su ograničene linijama y = f (x) i x = g (y).
Započet ćemo razmatranje bilo kojeg od primjera konstruiranjem grafikona. Slika će nam omogućiti da složene oblike predstavimo kao spojeve jednostavnijih oblika. Ako vam je teško konstruirati grafove i likove na njima, možete proučavati odjeljak o osnovnim elementarnim funkcijama, geometrijskoj transformaciji grafova funkcija, kao i konstruirati grafove uz proučavanje funkcije.
Primjer 1
Potrebno je odrediti površinu figure koja je ograničena parabolom y = - x 2 + 6 x - 5 i ravnim linijama y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Riješenje
Nacrtajmo crte na grafu u Kartezijevom koordinatnom sustavu.
Na segmentu [ 1 ; 4 ] graf parabole y = - x 2 + 6 x - 5 nalazi se iznad pravca y = - 1 3 x - 1 2. U tom smislu, za dobivanje odgovora koristimo formulu dobivenu ranije, kao i metodu izračuna definitivnog integrala koristeći Newton-Leibnizovu formulu:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Odgovor: S(G) = 13
Pogledajmo složeniji primjer.
Primjer 2
Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena linijama y = x + 2, y = x, x = 7.
Riješenje
U ovom slučaju imamo samo jednu ravnu liniju koja se nalazi paralelno s x-osi. Ovo je x = 7. To od nas zahtijeva da sami pronađemo drugu granicu integracije.
Izgradimo graf i na njega iscrtajmo linije dane u tvrdnji problema.
Imajući graf pred očima, lako možemo odrediti da će donja granica integracije biti apscisa točke presjeka grafa pravca y = x i poluparabole y = x + 2. Za pronalaženje apscise koristimo se jednakostima:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
Ispada da je apscisa sjecišta x = 2.
Skrećemo vam pozornost na činjenicu da se u općem primjeru na crtežu linije y = x + 2, y = x sijeku u točki (2; 2), pa se takvi detaljni izračuni mogu činiti nepotrebnim. Ovdje smo dali tako detaljno rješenje samo zato što u složenijim slučajevima rješenje možda nije tako očito. To znači da je koordinate sjecišta pravaca uvijek bolje izračunati analitički.
Na intervalu [ 2 ; 7] graf funkcije y = x nalazi se iznad grafa funkcije y = x + 2. Primijenimo formulu za izračun površine:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Odgovor: S (G) = 59 6
Primjer 3
Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena grafovima funkcija y = 1 x i y = - x 2 + 4 x - 2.
Riješenje
Nacrtajmo linije na graf.
Definirajmo granice integracije. Da bismo to učinili, odredimo koordinate točaka sjecišta pravaca izjednačavanjem izraza 1 x i - x 2 + 4 x - 2. Pod uvjetom da x nije nula, jednakost 1 x = - x 2 + 4 x - 2 postaje ekvivalentna jednadžbi trećeg stupnja - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 s cjelobrojnim koeficijentima. Kako bismo vam osvježili sjećanje na algoritam za rješavanje takvih jednadžbi, možemo pogledati odjeljak "Rješavanje kubičnih jednadžbi".
Korijen ove jednadžbe je x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Dijeleći izraz - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 binomom x - 1, dobivamo: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Preostale korijene možemo pronaći iz jednadžbe x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3
Pronašli smo interval x ∈ 1; 3 + 13 2, u kojoj se iznad plave i ispod crvene crte nalazi lik G. Ovo nam pomaže da odredimo područje figure:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Odgovor: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Primjer 4
Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena krivuljama y = x 3, y = - log 2 x + 1 i osi apscise.
Riješenje
Nacrtajmo sve linije na grafikonu. Grafikon funkcije y = - log 2 x + 1 možemo dobiti iz grafa y = log 2 x ako ga postavimo simetrično u odnosu na os x i pomaknemo ga za jednu jedinicu gore. Jednadžba x-osi je y = 0.
Označimo točke sjecišta pravaca.
Kao što je vidljivo sa slike, grafovi funkcija y = x 3 i y = 0 sijeku se u točki (0; 0). To se događa jer je x = 0 jedini pravi korijen jednadžbe x 3 = 0.
x = 2 je jedini korijen jednadžbe - log 2 x + 1 = 0, pa se grafovi funkcija y = - log 2 x + 1 i y = 0 sijeku u točki (2; 0).
x = 1 je jedini korijen jednadžbe x 3 = - log 2 x + 1 . S tim u vezi, grafovi funkcija y = x 3 i y = - log 2 x + 1 sijeku se u točki (1; 1). Posljednja izjava možda nije očita, ali jednadžba x 3 = - log 2 x + 1 ne može imati više od jednog korijena, jer je funkcija y = x 3 strogo rastuća, a funkcija y = - log 2 x + 1 je strogo opadajući.
Daljnje rješenje uključuje nekoliko opcija.
Opcija 1
Lik G možemo zamisliti kao zbroj dva krivocrtna trapeza smještena iznad x-osi, od kojih se prvi nalazi ispod središnje crte na segmentu x ∈ 0; 1, a drugi je ispod crvene linije na segmentu x ∈ 1; 2. To znači da će površina biti jednaka S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Opcija br. 2
Slika G može se prikazati kao razlika dviju figura, od kojih se prva nalazi iznad x-osi i ispod plave linije na segmentu x ∈ 0; 2, a drugi između crvene i plave linije na segmentu x ∈ 1; 2. To nam omogućuje da pronađemo područje na sljedeći način:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
U ovom slučaju, da biste pronašli površinu, morat ćete koristiti formulu u obliku S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Zapravo, linije koje omeđuju lik mogu se prikazati kao funkcije argumenta y.
Riješimo jednadžbe y = x 3 i - log 2 x + 1 u odnosu na x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Dobivamo potrebnu površinu:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Odgovor: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Primjer 5
Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena linijama y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Riješenje
Crvenom linijom crtamo liniju definiranu funkcijom y = x. Pravac y = - 1 2 x + 4 nacrtamo plavom bojom, a pravac y = 2 3 x - 3 crnom bojom.
Označimo točke sjecišta.
Nađimo sjecišne točke grafova funkcija y = x i y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Provjeri: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nije rješenje jednadžbe x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 je rješenje jednadžbe ⇒ (4; 2) točka presjeka i y = x i y = - 1 2 x + 4
Nađimo sjecište grafova funkcija y = x i y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Provjera: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 je rješenje jednadžbe ⇒ (9 ; 3) točka a s y = x i y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Ne postoji rješenje jednadžbe
Nađimo točku sjecišta pravaca y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) točka presjeka y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3
Metoda br. 1
Zamislimo površinu željene figure kao zbroj površina pojedinih figura.
Tada je površina figure:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metoda br. 2
Područje izvorne figure može se predstaviti kao zbroj dvije druge figure.
Zatim rješavamo jednadžbu linije u odnosu na x, a tek nakon toga primjenjujemo formulu za izračunavanje površine figure.
y = x ⇒ x = y 2 crvena linija y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 crna linija y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e
Dakle, područje je:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Kao što vidite, vrijednosti su iste.
Odgovor: S (G) = 11 3
Rezultati
Da bismo pronašli površinu figure koja je ograničena zadanim linijama, moramo konstruirati linije na ravnini, pronaći njihove sjecišne točke i primijeniti formulu za pronalaženje površine. U ovom odjeljku ispitali smo najčešće varijante zadataka.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Površina: Površina je veličina koja mjeri veličinu površine. U matematici, površina figure je geometrijski koncept, veličina ravne figure. Površina je brojčana karakteristika površine. Trg u arhitekturi, otvorena... ... Wikipedia
Kvadrat- Ovaj izraz ima i druga značenja, pogledajte Područje (značenja). Površina Dimenzija L² SI jedinice m² ... Wikipedia
Površina trokuta- Standardni zapis Trokut je najjednostavniji mnogokut koji ima 3 vrha (kuta) i 3 stranice; dio ravnine omeđen s tri točke koje ne leže na istom pravcu i tri odsječka koji spajaju te točke u parovima. Vrhovi trokuta ... Wikipedia
Lenjinov trg (Petrozavodsk)- Lenjinov trg Petrozavodsk ... Wikipedia
Površina (u geometriji)- Površina, jedna od glavnih veličina povezanih s geometrijskim oblicima. U najjednostavnijim slučajevima, mjeri se brojem jediničnih kvadrata koji ispunjavaju ravnu figuru, odnosno kvadrata sa stranicom jednakom jedinici duljine. Izračunavanje P. bilo je već u antičko doba... ...
KVADRAT- jedna od kvantitativnih karakteristika ravnih geometrijskih figura i površina. Površina pravokutnika jednaka je umnošku duljina dviju susjednih stranica. Područje stepenaste figure (tj. one koja se može podijeliti na nekoliko susjednih... ... Veliki enciklopedijski rječnik
POVRŠINA (u geometriji)- POVRŠINA, jedna od kvantitativnih karakteristika ravnih geometrijskih oblika i ploha. Površina pravokutnika jednaka je umnošku duljina dviju susjednih stranica. Područje stepenaste figure (tj. one koja se može podijeliti na nekoliko... ... enciklopedijski rječnik
KVADRAT- POVRŠINA, kvadrati, prev. o području i (zastar.) na području, mn. i područja, žene. (knjiga). 1. Dio ravnine omeđen izlomljenom ili zakrivljenom linijom (geom.). Površina pravokutnika. Područje zakrivljene figure. 2. samo jedinice. Prostor,…… Ušakovljev objašnjavajući rječnik
Područje (arhitekt.)- Trg, otvoren, arhitektonski organiziran prostor, uokviren bilo kojom zgradom, strukturom ili zelenim površinama, uključen u sustav drugih gradskih prostora. Prethodnici gradskih palača bila su svečana dvorišta palača i... Velika sovjetska enciklopedija
Trg sjećanja (Tjumenj)- Trg sjećanja Tyumen Opće informacije ... Wikipedia
knjige
- Likovi u matematici, fizici i prirodi. Kvadrati, trokuti i krugovi, Catherine Sheldrick-Ross. O knjizi Značajke knjige Više od 75 neobičnih majstorskih tečajeva pomoći će pretvoriti proučavanje geometrije u uzbudljiva igra Knjiga opisuje glavne figure što je moguće detaljnije: kvadrate, krugove i... Kupite za 1206 rubalja
- Figure u matematici, fizici i prirodi Kvadrati, trokuti i krugovi, Sheldrick-Ross K.. Više od 75 neobičnih majstorskih tečajeva pomoći će pretvoriti proučavanje geometrije u uzbudljivu igru. Knjiga opisuje glavne figure što je moguće detaljnije: kvadrate, krugove, trokute. Knjiga će naučiti...
Postoji beskonačan broj plosnatih figura raznih oblika, pravilnih i nepravilnih. Zajedničko svojstvo svih figura je da svaka od njih ima površinu. Površine likova su dimenzije dijela ravnine koji ti likovi zauzimaju, izražene u određenim jedinicama. Ova vrijednost se uvijek izražava kao pozitivan broj. Mjerna jedinica je površina kvadrata čija je stranica jednaka jedinici duljine (na primjer, jedan metar ili jedan centimetar). Približna površina bilo koje figure može se izračunati množenjem broja jediničnih kvadrata na koje je podijeljena s površinom jednog kvadrata.
Ostale definicije ovaj koncept izgleda ovako:
1. Površine jednostavnih figura su skalarne pozitivne veličine koje zadovoljavaju uvjete:
Jednake figure imaju jednake površine;
Ako je lik podijeljen na dijelove (jednostavne figure), tada je njegova površina zbroj površina tih figura;
Kvadrat sa stranicom mjerne jedinice služi kao jedinica za površinu.
2. Površine likova složenog oblika (poligona) su pozitivne veličine sa sljedećim svojstvima:
Jednaki poligoni imaju iste veličine površina;
Ako je mnogokut sastavljen od nekoliko drugih poligona, njegova je površina jednaka zbroju površina potonjih. Ovo pravilo vrijedi za poligone koji se ne preklapaju.
Prihvaćeno je kao aksiom da su površine likova (poligona) pozitivne veličine.
Definicija površine kruga data je zasebno kao vrijednost kojoj teži površina datog kruga upisanog u krug - unatoč činjenici da broj njegovih strana teži beskonačnosti.
Površine figura nepravilnog oblika (proizvoljnih figura) nemaju definiciju, samo su određene metode za njihovo izračunavanje.
Već u antičko doba izračunavanje površina bilo je važan praktični zadatak pri određivanju veličine zemljišnih čestica. Pravila za izračunavanje površina tijekom nekoliko stotina godina formulirali su grčki znanstvenici i postavili ih u Euklidovim Elementima kao teoreme. Zanimljivo je da su pravila za određivanje područja jednostavnih figura u njima ista kao i sada. Područja sa zakrivljenom konturom izračunata su pomoću prijelaza do granice.
Izračunavanje područja jednostavnog pravokutnika ili kvadrata), poznatog svima iz škole, vrlo je jednostavno. Nije čak ni potrebno pamtiti formule za površine slika koje sadrže slovne simbole. Dovoljno je zapamtiti nekoliko jednostavnih pravila:
2. Površina pravokutnika izračunava se množenjem njegove duljine i širine. Potrebno je da duljina i širina budu izražene u istim mjernim jedinicama.
3. Izračunavamo površinu složene figure tako da je podijelimo na nekoliko jednostavnih i dodamo dobivena područja.
4. Dijagonala pravokutnika dijeli ga na dva trokuta čije su površine jednake i jednake polovici njegove površine.
5. Površina trokuta izračunava se kao polovica umnoška njegove visine i baze.
6. Površina kruga jednaka je umnošku kvadrata polumjera i dobro poznatog broja "π".
7. Izračunavamo površinu paralelograma kao umnožak susjednih strana i sinusa kuta koji leži između njih.
8. Površina romba je ½ rezultat množenja dijagonala sa sinusom unutarnjeg kuta.
9. Područje trapeza nalazimo množenjem njegove visine s duljinom središnje crte, koja je jednaka aritmetičkoj sredini baza. Druga mogućnost određivanja površine trapeza je množenje njegovih dijagonala i sinusa kuta koji leži između njih.
Djeca u osnovna škola Radi jasnoće, često se daju zadaci: pronađite područje figure nacrtane na papiru pomoću palete ili lista prozirnog papira, podijeljenog na kvadrate. Takav list papira stavlja se na izmjerenu figuru, broji se broj potpunih ćelija (jedinica površine) koje stanu u njegov obris, zatim broj nepotpunih, koji se dijeli na pola.