Rješavanje algebarskih jednadžbi Newtonovom metodom
Prilično popularna metoda za rješavanje jednadžbi je metoda tangente, ili Newtonova metoda. U ovom slučaju, jednadžba oblika f(x) = 0 rješava se na sljedeći način. Prvo, nulta aproksimacija (točka x 0). U ovoj točki je konstruirana tangenta na graf g = f(x). Točka presjeka ove tangente s osi x je sljedeća aproksimacija za korijen (točka x 1). U ovoj točki ponovno se konstruira tangenta, itd. Redoslijed točaka x 0 , x 1 , x 2 ... mora dovesti do prave vrijednosti korijena. Uvjet za konvergenciju je .
Budući da je jednadžba pravca koji prolazi točkom x 0 , f(x 0) (a to je tangenta), zapisuje se u obliku
a kao sljedeća aproksimacija x 1 za korijen izvorne jednadžbe uzima se točka presjeka ove linije s osi apscisa, tada bismo trebali staviti na ovu točku g = 0:
iz koje odmah slijedi jednadžba za pronalaženje sljedeće aproksimacije kroz prethodnu:
Na sl. Slika 3 prikazuje implementaciju Newtonove metode u Excelu. Početna aproksimacija ( x 0 = -3), a zatim se sve međuvrijednosti izračunavaju u preostalim ćelijama stupca do izračuna x 1 . Za izvođenje drugog koraka, vrijednost iz ćelije B10 unosi se u ćeliju C3, a postupak izračuna se ponavlja u stupcu C. Zatim, s odabranim ćelijama C2:C10, možete povući ručicu u donjem desnom kutu odabira da proširite to u stupce D:F. Kao rezultat, u ćeliji F6 dobiva se vrijednost 0, tj. vrijednost u ćeliji F3 je korijen jednadžbe.
Isti rezultat može se dobiti korištenjem cikličkih izračuna. Zatim nakon popunjavanja prvog stupca i dobivanja prve vrijednosti x 1, unesite formulu =H10 u ćeliju H3. U ovom slučaju, računalni proces će biti u petlji i da bi se izvršio, u izborniku Usluga | Mogućnosti na kartici Izračuni potvrdni okvir mora biti označen Ponavljanja i označavaju granični broj koraka iterativnog procesa i relativnu pogrešku (zadani broj od 0,001 očito je nedostatan u mnogim slučajevima), nakon čijeg dostizanja će se računski proces zaustaviti.
Kao što je poznato, fizikalni procesi poput prijenosa topline i prijenosa mase tijekom difuzije podliježu Fickovu zakonu
Gdje l- koeficijent toplinske vodljivosti (difuzije), i T– temperatura (koncentracija) i – protok odgovarajuće vrijednosti. Iz matematike je poznato da je divergencija toka jednaka volumenskoj gustoći izvora Q ovu vrijednost, tj.
ili, za dvodimenzionalni slučaj, kada se proučava raspodjela temperature u jednoj ravnini, ova se jednadžba može napisati kao:
Analitički riješiti ovu jednadžbu moguće je samo za područja jednostavnog oblika: pravokutnik, krug, prsten. U drugim situacijama, točno rješenje ove jednadžbe je nemoguće, tj. Također je nemoguće odrediti raspodjelu temperature (ili koncentracije tvari) u složenim slučajevima. Zatim morate koristiti približne metode za rješavanje takvih jednadžbi.
Približno rješenje jednadžbe (4) u domeni složenog oblika sastoji se od nekoliko faza: 1) konstrukcija mreže; 2) konstrukcija diferencijske sheme; 3) rješavanje sustava algebarskih jednadžbi. Razmotrimo redom svaku od faza i njihovu implementaciju pomoću Excel paketa.
Konstrukcija mreže. Neka površina ima oblik prikazan na sl. 4. S ovim oblikom nemoguće je egzaktno analitičko rješenje jednadžbe (4), npr. metodom razdvajanja varijabli. Stoga ćemo tražiti približno rješenje ove jednadžbe u pojedinim točkama. Primijenimo jedinstvenu mrežu na područje, koja se sastoji od kvadrata sa stranama h. Sada, umjesto da tražimo kontinuirano rješenje jednadžbe (4), definirano u svakoj točki regije, tražit ćemo približno rješenje, definirano samo u čvornim točkama mreže primijenjene na regiju, tj. u kutovima kvadrata.
Konstrukcija diferencijske sheme. Za konstruiranje diferencijske sheme, razmotrite proizvoljan interni čvor mreže C (centralni) (slika 5). Četiri čvora su uz njega: B (gornji), N (donji), L (lijevi) i P (desni). Podsjetimo se da je udaljenost između čvorova u mreži h. Zatim, korištenjem izraza (2) za približno zapisivanje drugih izvoda u jednadžbi (4), možemo približno napisati:
iz kojega je lako dobiti izraz koji povezuje vrijednost temperature u središnjoj točki s njezinim vrijednostima u susjednim točkama:
Izraz (5) omogućuje nam da, znajući vrijednosti temperature u susjednim točkama, izračunamo njegovu vrijednost u središnjoj točki. Takva shema, u kojoj su derivacije zamijenjene konačnim razlikama, a za traženje vrijednosti u točki mreže, koriste se samo vrijednosti u najbližim susjednim točkama, naziva se shema središnje razlike, a sama metoda se naziva metoda konačnih razlika.
Potrebno je razumjeti da dobivamo jednadžbu sličnu (5) ZA SVAKU točku mreže, za koje se ispostavlja da su međusobno povezane. To jest, imamo sustav algebarskih jednadžbi u kojem je broj jednadžbi jednak broju čvorova mreže. Takav sustav jednadžbi može se riješiti različitim metodama.
Rješavanje sustava algebarskih jednadžbi. Metoda ponavljanja. Neka je temperatura u graničnim čvorovima postavljena i jednaka 20, a snaga izvora topline jednaka 100. Dimenzije naše regije su postavljene i jednake okomito 6 i vodoravno 8, pa je kvadratna stranica mreže ( korak) h= 1. Tada izraz (5) za izračunavanje temperature u unutarnjim točkama poprima oblik
Dodijelimo svakom ČVORU ćeliju na Excel listu. U ćelije koje odgovaraju graničnim točkama upisujemo broj 20 (na sl. 6 označene su sivom bojom). U preostale ćelije upisujemo formulu (6). Na primjer, u ćeliji F2 to će izgledati ovako: =(F1 + F3 + E2 + G2)/4 + 100*(1^2)/4. Nakon što ste ovu formulu napisali u ćeliju F2, možete je kopirati i zalijepiti u preostale ćelije područja koje odgovara unutarnjim čvorovima. U tom slučaju Excel će prijaviti nemogućnost izvođenja izračuna zbog petlje rezultata:
Pritisnite "Odustani" i idite na prozor Alati|Opcije|Izračuni, gdje potvrdite okvir u odjeljku "Iteracije", navodeći 0,00001 kao relativnu pogrešku i 10000 kao maksimalan broj iteracija:
Takve vrijednosti će nam pružiti malu COUNTABLE pogrešku i jamčiti da će proces iteracije doći do navedene pogreške.
Međutim, ove vrijednosti NE osiguravaju malu pogrešku same metode, jer potonja ovisi o pogrešci pri zamjeni druge derivacije s konačnim razlikama. Očito je da je ta greška manja što je korak mreže manji, tj. veličina kvadrata na kojem se temelji naša diferencijska shema. To znači da je točno IZRAČUNANA vrijednost temperature u čvorovima mreže, prikazana na Sl. 6, naime, može se pokazati potpuno neistinitim. Postoji samo jedan način provjere pronađenog rješenja: pronaći ga na sitnijoj mreži i usporediti s prethodnim. Ako se ova rješenja malo razlikuju, tada možemo pretpostaviti da pronađena raspodjela temperature odgovara stvarnosti.
Smanjimo korak na pola. Umjesto 1 postat će jednak ½. Naš broj čvorova će se promijeniti u skladu s tim. Okomito će umjesto 7 čvorova (bilo je 6 koraka, tj. 7 čvorova) biti 13 (12 kvadrata, tj. 13 čvorova), a horizontalno umjesto 9 bit će 17. Ne treba zaboraviti da je veličina koraka od ranije određena. prepolovljen i sada u formuli (6) umjesto 1 2 trebate zamijeniti (1/2) 2 na desnoj strani. Kao kontrolnu točku u kojoj ćemo uspoređivati pronađena rješenja uzet ćemo točku s maksimalnom temperaturom, označenu na sl. 6 u žutoj boji. Rezultat izračuna prikazan je na sl. 9:
Vidljivo je da je smanjenje koraka dovelo do značajne promjene vrijednosti temperature u kontrolnoj točki: za 4%. Da bi se povećala točnost pronađenog rješenja, potrebno je dodatno smanjiti korak mreže. Za h= ¼ dobivamo 199,9 na kontrolnoj točki, a za h = 1/8 odgovarajuća vrijednost je 200,6. Možete iscrtati ovisnost pronađene vrijednosti o veličini koraka:
Iz slike možemo zaključiti da daljnje smanjenje koraka neće dovesti do značajne promjene temperature u kontrolnoj točki te se točnost pronađenog rješenja može smatrati zadovoljavajućom.
Koristeći mogućnosti paketa Excel, možete konstruirati temperaturnu površinu koja vizualno predstavlja njenu distribuciju u području istraživanja.
Toplinska vodljivost- Ovo je jedna od vrsta prijenosa topline. Prijenos topline može se provesti pomoću različitih mehanizama.
Sva tijela emitiraju elektromagnetske valove. Na sobnoj temperaturi to je uglavnom infracrveno zračenje. Evo što se događa prijenos topline zračenjem.
U prisutnosti gravitacijskog polja, drugi mehanizam prijenosa topline u tekućinama može biti konvekcija. Ako se kroz dno posude s tekućinom ili plinom dovodi toplina, najprije se zagrijavaju donji dijelovi tvari, smanjuje im se gustoća, oni isplivaju i dio nastale topline predaju gornjim slojevima.
Kod toplinske vodljivosti prijenos energije nastaje kao rezultat izravnog prijenosa energije s čestica (molekula, atoma, elektrona) s višom energijom na čestice s manjom energijom.
Naš tečaj će ispitati prijenos topline kondukcijom.
Razmotrimo najprije jednodimenzionalni slučaj, kada temperatura ovisi samo o jednoj koordinati x. Neka su dva medija odvojena ravnom pregradom debljine l(Slika 23.1). Temperature medija T 1 i T 2 održavaju se konstantnima. Eksperimentalno se može utvrditi da količina topline Q, prenosi se kroz dio particije s područjem S tijekom t jednaki
, (23.1)
gdje koeficijent proporcionalnosti k ovisi o materijalu stijenke.
Na T 1 > T 2 toplina se prenosi u pozitivnom smjeru osi x, na T 1 < T 2 – negativno. Smjer širenja topline može se uzeti u obzir ako u jednadžbi (23.1) zamijenimo ( T 1 - T 2)/l na (- dT/dx). U jednodimenzionalnom slučaju izvod dT/dx predstavlja temperaturni gradijent. Podsjetimo se da je gradijent vektor čiji se smjer podudara sa smjerom najbržeg porasta funkcije skalarne koordinate (u našem slučaju T), a modul je jednak omjeru prirasta funkcije pri malom pomaku u tom smjeru i udaljenosti na kojoj se taj priraštaj dogodio.
Da bismo jednadžbama koje opisuju prijenos topline dali općenitiji i univerzalniji oblik, smatramo gustoća toplinskog toka j - količina topline prenesena kroz jedinicu površine u jedinici vremena
Tada se relacija (23.1) može napisati u obliku
Ovdje znak minus odražava činjenicu da je smjer protoka topline suprotan smjeru temperaturnog gradijenta (smjer njegovog povećanja). Dakle, gustoća toplinskog toka je vektorska veličina. Vektor gustoće toplinskog toka usmjeren je prema smanjenju temperature.
Ako temperatura medija ovisi o sve tri koordinate, tada relacija (23.3) ima oblik
Gdje 
, - temperaturni gradijent ( e
1 ,e
2 ,e
3 - jedinični vektori koordinatnih osi).
Relacije (23.3) i (23.4) predstavljaju osnovni zakon toplinske vodljivosti (Fourierov zakon): Gustoća toplinskog toka proporcionalna je temperaturnom gradijentu. Faktor proporcionalnosti k naziva se koeficijent toplinske vodljivosti(ili jednostavno toplinska vodljivost). Jer dimenzija gustoće toplinskog toka [ j] = J/(m 2 s), a temperaturni gradijent [ dT/dx] = K/m, tada je dimenzija koeficijenta toplinske vodljivosti [k] = J/(m×s×K).
Općenito, temperatura u različitim točkama neravnomjerno zagrijane tvari mijenja se tijekom vremena. Razmotrimo jednodimenzionalni slučaj kada temperatura ovisi samo o jednoj prostornoj koordinati x i vrijeme t, i dobivamo jednadžba topline- diferencijalna jednadžba koju zadovoljava funkcija T = T(x,t).
Odaberimo mentalno u mediju mali element volumena u obliku cilindra ili prizme, čije su generatrise paralelne s osi x, a osnovice su okomite (slika 23.2). Osnovna površina S, i visinu dx. Masa ovog volumena dm= r Sdx, i njegov toplinski kapacitet c×dm gdje je r gustoća tvari, S- specifični toplinski kapacitet. Neka u kratkom vremenskom razdoblju dt temperatura u ovom volumenu promijenila se za dT. Da bi se to postiglo, tvar u volumenu mora primiti količinu topline jednaku umnošku njezinog toplinskog kapaciteta i promjene temperature: 
. S druge strane, d Q može ući u volumen samo kroz bazu cilindra: (gustoća toplinskog toka j može biti i pozitivna i negativna). Izjednačavanje izraza za d Q, dobivamo
.
Zamjenjujući omjere malih priraštaja s odgovarajućim izvodnicama, dolazimo do relacije
. (23.5)
Zamijenimo izraz (23.3) za gustoću toplinskog toka u formulu (23.5)
. (23.6)
Dobivena jednadžba naziva se jednadžba topline. Ako je medij homogen i toplinska vodljivost k ne ovisi o temperaturi, jednadžba ima oblik
, (23.7)
gdje se konstanta zove koeficijent toplinske difuzije okoliš.
Jednadžbe (23.6) – (23.8) zadovoljava beskonačan broj funkcija T = T(x,t).
Kako bi se izoliralo jedinstveno rješenje jednadžbe provođenja topline, potrebno je jednadžbi dodati početne i rubne uvjete.
Početni uvjet je zadati raspodjelu temperature u mediju T(x,0) u početnom trenutku vremena t = 0.
Rubni uvjeti mogu biti različiti ovisno o temperaturnom režimu na granicama. Najčešće se javljaju situacije kada je temperatura ili gustoća toplinskog toka navedena na granicama u funkciji vremena.
U nekim slučajevima u okolini mogu postojati izvori topline. Toplina se može osloboditi kao rezultat prolaska električne struje, kemijskih ili nuklearnih reakcija. Prisutnost izvora topline može se uzeti u obzir uvođenjem volumetrijske gustoće energije q(x,g,z), jednaka količini topline koju oslobađaju izvori po jedinici volumena medija u jedinici vremena. U ovom slučaju, izraz će se pojaviti na desnoj strani jednadžbe (23.5) q:
.
Prilikom konstruiranja matematičkog modela širenja topline u štapu, napravit ćemo sljedeće pretpostavke:
1) šipka je izrađena od homogenog vodljivog materijala s gustoćom ρ ;
2) bočna površina šipke je toplinski izolirana, odnosno toplina se može širiti samo duž osi OH;
3) štap je tanak - to znači da je temperatura u svim točkama bilo kojeg presjeka štapa ista.
Promotrimo dio štapa na segmentu [ x, x + ∆x] (vidi sliku 6) i koristite zakon održanja topline:
Ukupna količina topline na segmentu [ x, x + ∆x] = ukupna količina topline koja je prošla kroz granice + ukupna količina topline koju stvaraju unutarnji izvori.
Ukupna količina topline koja se mora prenijeti na dio štapa da bi se njegova temperatura povećala za ∆U, izračunava se formulom: ∆Q=CρS∆x∆U, Gdje S-specifični toplinski kapacitet materijala (=količina topline koja se mora predati 1 kg tvari da bi se njezina temperatura povisila za 1°), S- poprečni presjek područja.
Količina topline prošla kroz lijevi kraj dijela štapa tijekom vremena ∆t(toplinski protok) izračunava se formulom: Q 1 = -kSU x (x, t)∆t, Gdje k- koeficijent toplinske vodljivosti materijala (= količina topline koja teče u sekundi kroz šipku jedinične duljine i površine jediničnog presjeka s temperaturnom razlikom na suprotnim krajevima od 1°). U ovoj formuli znak minus zahtijeva posebno objašnjenje. Činjenica je da se protok smatra pozitivnim ako je usmjeren na povećanje x, a to pak znači da lijevo od točke x temperatura je viša nego na desnoj, tj Ux< 0 . Stoga, da P 1 bio pozitivan, u formuli je znak minus.
Slično, protok topline kroz desni kraj dijela šipke izračunava se formulom: Q 2 = -kSU x (x +∆x,t)∆t.
Ako pretpostavimo da u štapu nema unutarnjih izvora topline i upotrijebimo zakon održanja topline, dobivamo:
∆Q = Q 1 - Q 2 => CpS∆x∆U = kSU x (x + ∆x, t) ∆t - kSU x (x, t)∆t.
Ako se ova jednakost podijeli sa S∆x∆t i izravni ∆h I ∆t na nulu, onda imamo:
Stoga jednadžba provođenja topline ima oblik
U t = a 2 U xx,
gdje je koeficijent toplinske difuzije.
U slučaju kada unutar šipke postoje izvori topline kontinuirano raspoređeni s gustoćom q(x,t), dobivamo nehomogenu toplinsku jednadžbu
U t = a 2 U xx + f(x,t),
Gdje 
.
Početni uvjeti i rubni uvjeti.
Samo za jednadžbu provođenja topline jedan početni uvjet U| t=0 = φ(x)(ili u drugom postu U(x,0) = φ(x)) a fizikalno to znači da početna raspodjela temperature štapa ima oblik φ(x). Za jednadžbe provođenja topline na ravnini ili u prostoru, početni uvjet ima isti oblik, samo funkciju φ ovisit će o dvije ili tri varijable.
Rubni uvjeti u slučaju jednadžbe topline imaju isti oblik kao i kod valne jednadžbe, ali im je drugačije fizičko značenje. Uvjeti prva vrsta (5) znači da je temperatura postavljena na krajevima šipke. Ako se s vremenom ne promijeni, onda g 1 (t) ≡ T 1 I g 2 (t) ≡ T 2, Gdje T 1 I T 2- trajno. Ako se krajevi cijelo vrijeme održavaju na nultoj temperaturi, onda T 1 = T 2 = 0 a uvjeti će biti ujednačeni. Granični uvjeti druga vrsta (6) odrediti protok topline na krajevima štapa. Konkretno, ako g 1 (t) = g 2 (t) = 0, tada uvjeti postaju homogeni. Fizički, oni znače da nema izmjene topline s vanjskom okolinom kroz krajeve (ovi se uvjeti nazivaju i uvjetima toplinske izolacije krajeva). Na kraju, rubni uvjeti treća vrsta (7) odgovaraju slučaju kada se izmjena topline s okolinom odvija kroz krajeve štapa prema Newtonovom zakonu (podsjetimo se da smo pri izvođenju jednadžbe provođenja topline smatrali da je bočna površina toplinski izolirana). Istina, u slučaju jednadžbe topline, uvjeti (7) pišu se malo drugačije:
Fizikalni zakon izmjene topline s okolinom (Newtonov zakon) je da je protok topline kroz jedinicu površine u jedinici vremena proporcionalan razlici temperature između tijela i okoline. Dakle, za lijevi kraj šipke to je jednako 
Ovdje h 1 > 0- koeficijent izmjene topline s okolinom, g 1 (t)- temperatura okoline na lijevom kraju. Znak minus stavlja se u formulu iz istog razloga kao i kod izvođenja jednadžbe provođenja topline. S druge strane, zbog toplinske vodljivosti materijala toplinski tok kroz isti kraj jednak je Primjenom zakona o održanju topline dobivamo:
Uvjet (14) se dobiva slično na desnom kraju štapa, samo konstanta λ 2 mogu biti različiti, budući da su, općenito govoreći, okruženja koja okružuju lijevi i desni kraj različita.
Rubni uvjeti (14) su općenitiji u usporedbi s uvjetima prve i druge vrste. Ako pretpostavimo da nema izmjene topline s medijem kroz bilo koji kraj (odnosno koeficijent prolaza topline je nula), tada dobivamo uvjet druge vrste. U drugom slučaju, pretpostavimo da je koeficijent prijenosa topline, na primjer h 1, jako veliko.
Prepišimo uvjet (14) na x = 0 kao 
i požurimo. Kao rezultat, imat ćemo stanje prve vrste:
Rubni uvjeti formulirani su na sličan način za veći broj varijabli. Za problem širenja topline u ravnoj ploči uvjet znači da se temperatura na njezinim rubovima održava na nuli. Isto tako, uvjeti su izvana vrlo slični, ali u prvom slučaju to znači da se radi o ravnoj ploči čiji su rubovi toplinski izolirani, au drugom slučaju to znači da je problem širenja topline u tijelu razmatra se i njegova površina je toplinski izolirana.
Rješenje prvog početno-rubnog problema za toplinsku jednadžbu.
Razmotrimo prvi homogeni problem početne rubne vrijednosti za toplinsku jednadžbu:
Pronađite rješenje jednadžbe
U t = U xx, 0
zadovoljavajući rubne uvjete
U(0,t) = U(l,t)=0, t>0,
i početno stanje
Riješimo ovaj problem pomoću Fourierove metode.
Korak 1. Rješenja jednadžbe (15) tražit ćemo u obliku U(x,t) = X(x)T(t).
Nađimo parcijalne derivacije:
Zamijenimo ove derivacije u jednadžbu i razdvojimo varijable:
Po glavnoj lemi dobivamo
iz čega slijedi
Svaka od ovih običnih diferencijalnih jednadžbi sada se može riješiti. Obratimo pozornost na činjenicu da korištenjem rubnih uvjeta (16) možemo tražiti zajednička odluka jednadžba b) i parcijalna rješenja koja zadovoljavaju odgovarajuće rubne uvjete:
Korak 2. Riješimo Sturm-Liouville problem
Ovaj problem koincidira sa Sturm-Liouvilleovim problemom razmatranim u predavanja 3. Podsjetimo se da svojstvene vrijednosti i svojstvene funkcije ovog problema postoje samo ako λ>0.
Svojstvene vrijednosti su
Svojstvene funkcije su jednake (Vidi rješenje problema)
3. korak Zamijenimo svojstvene vrijednosti u jednadžbu a) i riješimo je:
Korak 4. Zapišimo parcijalna rješenja jednadžbe (15):
Zbog linearnosti i homogenosti jednadžbe (15), njihova linearna kombinacija
također će biti rješenje ove jednadžbe, a funkcija U(x,t) također zadovoljava rubne uvjete (16).
Korak 5. Odredimo koeficijente A n u (19), koristeći početni uvjet (17):
Dolazimo do zaključka da je početna funkcija φ(x) se proširuje u Fourierov red u smislu svojstvenih funkcija Sturm-Liouvilleovog problema. Prema Steklovljevom teoremu takvo je širenje moguće za funkcije koje zadovoljavaju rubne uvjete i imaju kontinuirane derivacije drugog reda. Fourierovi koeficijenti se nalaze pomoću formula
Povezane informacije.
Jednadžba toplinske vodljivosti u homogenom mediju, kao što smo vidjeli, ima oblik
Koeficijent unutarnje toplinske vodljivosti, c je toplinski kapacitet tvari i je gustoća. Uz jednadžbu (1) treba imati na umu početni uvjet, koji daje početnu raspodjelu temperature i pri
Ako je tijelo ograničeno plohom (S), tada ćemo i na toj plohi imati granični uvjet, koji može biti različit, ovisno o fizičkim okolnostima. Na primjer, površina (S) može se održavati na određenoj temperaturi, koja se može mijenjati tijekom vremena. U tom se slučaju granični uvjet svodi na zadavanje funkcije U na površini (S), a ta zadana funkcija također može ovisiti o vremenu t. Ako površinska temperatura nije fiksna, ali postoji zračenje zadane temperature u okolinu, tada je prema Newtonovom zakonu, iako daleko od točnog, protok topline kroz površinu (S) proporcionalan temperaturnoj razlici između okolnog prostora a površina tijela (S). Ovo daje granični uvjet forme
gdje se koeficijent proporcionalnosti h naziva koeficijent vanjske toplinske vodljivosti.
U slučaju širenja topline u tijelu linearnih dimenzija, tj. u homogenom štapu, za koji smatramo da se nalazi duž osi, umjesto jednadžbe (1) imat ćemo jednadžbu
Kod ovog oblika jednadžbe, naravno, nije uzeta u obzir izmjena topline između površine štapa i okolnog prostora.
Jednadžba (S) se također može dobiti iz jednadžbe (1), uz pretpostavku da je U neovisno o . Početno stanje u slučaju šipke
Na temelju matematičkog opisa (matematičkog modela) procesa dobivene su formule za proračun temperaturnog polja i toplinskog toka u pojedinim problemima stacionarne i nestacionarne toplinske vodljivosti. Model se temelji na diferencijalnoj jednadžbi toplinske vodljivosti, koja je izvedena korištenjem prvog zakona termodinamike za tijela koja ne vrše rad i Fourierovog zakona toplinske vodljivosti. Diferencijalna jednadžba fizičkog procesa obično se izvodi pod određenim pretpostavkama koje pojednostavljuju proces. Stoga rezultirajuća jednadžba opisuje klasu procesa samo unutar prihvaćenih pretpostavki. Svaki specifični zadatak opisan je odgovarajućim uvjetima jednoznačnosti. Dakle, matematički opis procesa provođenja topline uključuje diferencijalnu jednadžbu provođenja topline i uvjete jedinstvenosti.
Razmotrimo izvođenje diferencijalne jednadžbe toplinske vodljivosti pod sljedećim pretpostavkama:
- a) tijelo je homogeno i anizotropno;
- b) koeficijent toplinske vodljivosti ovisi o temperaturi;
- c) deformacija volumena koji se razmatra povezana s promjenom temperature vrlo je mala u usporedbi sa samim volumenom;
- d) unutar tijela su ravnomjerno raspoređeni unutarnji izvori topline q v = f(x, y, z, t) = const;
- e) nema međusobnog gibanja makročestica tijela (konvekcija).
U tijelu s prihvaćenim karakteristikama odabiremo elementarni volumen u obliku paralelopipeda s rubovima dx, dy, dz, definitivno orijentirana u ortogonalnom koordinatnom sustavu (sl. 14.1). U skladu s prvim zakonom termodinamike za tijela koja ne vrše rad, promjena unutarnje energije dU tvari u dodijeljenom volumenu tijekom vremena dx jednaka količini dovedene topline
Riža. 14.1.
u volumen zbog toplinske vodljivosti dQx, i topline koju oslobađaju unutarnji izvori dQ 2".
Iz termodinamike je poznato da promjena unutarnje energije tvari u volumenu dV tijekom dx jednaki
Gdje dG = str dV- masa tvari; p - gustoća; S - specifični maseni toplinski kapacitet (za stlačive fluide c = c v (izohorni toplinski kapacitet)).
Količina energije koju oslobađaju unutarnji izvori je
Gdje q v - volumetrijska gustoća unutarnjih izvora topline, W/m 3.
Toplinski tok koji ulazi u volumen toplinskom vodljivošću dijelimo na tri komponente prema smjeru koordinatnih osi: 
Kroz suprotna lica bit će toplina
biti uklonjena u odgovarajućoj količini. Razlika između količine dovedene i odvedene topline jednaka je promjeni unutarnje energije zbog toplinske vodljivosti dQ v Zamislimo ovu vrijednost kao zbroj komponenti duž koordinatnih osi:
Zatim u smjeru x osi imamo
Jer -
gustoće toplinskog toka u suprotnim guoanima.
Funkcija q x+dx je kontinuirana u razmatranom intervalu dx i može se proširiti u Taylorov niz:
Ograničavajući se na prva dva člana niza i zamjenjujući u (14.6), dobivamo
Na sličan način dobivamo:
Nakon zamjene (14.8)-(14.10) u (14.4) imamo
Zamjenom (14.2), (14.3) i (14.11) u (14.1), dobivamo diferencijalnu jednadžbu za prijenos topline toplinskom vodljivošću, uzimajući u obzir unutarnje izvore:
Prema Fourierovom zakonu toplinske vodljivosti zapisujemo izraze za projekcije na koordinatne osi gustoće toplinskog toka:
Gdje X x, X y, X z- koeficijenti toplinske vodljivosti u smjeru koordinatnih osi (anizotropno tijelo).
Zamjenom ovih izraza u (14.12) dobivamo
Jednadžba (14.13) naziva se diferencijalna jednadžba toplinske vodljivosti za anizotropna tijela s fizikalnim svojstvima neovisnim o temperaturi.
Ako prihvatimo X = const, a tijelo je izotropno, jednadžba provođenja topline poprima oblik
Ovdje A = X/(prosj.), m 2 /s, - koeficijent toplinske difuzije,
koji je fizikalni parametar tvari koji karakterizira brzinu promjene temperature tijekom procesa zagrijavanja ili hlađenja. Tijela sastavljena od tvari s visokim koeficijentom toplinske difuzije, pod svim ostalim uvjetima, brže se zagrijavaju i hlade.
U cilindričnom koordinatnom sustavu diferencijalna jednadžba topline za izotropno tijelo s konstantnim fizikalnim svojstvima ima oblik
Gdje g, z, F - redom radijalne, aksijalne i kutne koordinate.
Jednadžbe (14.13), (14.14) i (14.15) opisuju proces provođenja topline u najopćenitijem obliku. Specifični zadaci se razlikuju uvjeti jednoznačnosti, tj. opis značajki procesa koji se razmatra.
Uvjeti jednoznačnosti. Na temelju fizikalnih koncepata toplinske vodljivosti možemo identificirati čimbenike koji utječu na proces: fizikalna svojstva tvari; veličina i oblik tijela; početna raspodjela temperature; uvjeti izmjene topline na površini (granici) tijela. Tako se uvjeti jedinstvenosti dijele na fizičke, geometrijske, početne i rubne (rubne).
Fizički uvjeti navedeni su fizikalni parametri tvari X, s, r i distribucija internih izvora.
Geometrijski uvjeti navedeni su oblik i linearne dimenzije tijela u kojem se odvija proces.
Početni uvjeti određena je raspodjela temperature u tijelu u početnom trenutku vremena t= /(x, y, z) pri m = 0. Početni uvjeti su važni kada se razmatraju nestacionarni procesi.
Ovisno o prirodi izmjene topline na granici tijela, rubni (rubni) uvjeti dijele se na četiri vrste.
Rubni uvjeti prve vrste. Postavlja raspodjelu temperature na površini tn tijekom procesa
U određenom slučaju površinska temperatura može ostati konstantna (/n = const).
Rubni uvjeti prve vrste nastaju npr. kod kontaktnog zagrijavanja u postupcima lijepljenja šperploče, prešanja iverice i vlaknatice itd.
Rubni uvjeti druge vrste. Određena je raspodjela vrijednosti gustoće toplinskog toka na površini tijela tijekom procesa
U određenom slučaju toplinski tok na površini može ostati konstantan (
Rubni uvjeti treće vrste odgovaraju konvektivnom prijenosu topline na površini. U tim uvjetima treba postaviti temperaturu tekućine u kojoj se tijelo nalazi, G l = /(t), te koeficijent prolaza topline oc. U općem slučaju koeficijent prolaza topline je promjenljiva veličina, stoga se mora navesti zakon njegove promjene a =/(t). Moguć je poseban slučaj: / f = const; a = konst.
Rubni uvjeti četvrte vrste karakteriziraju uvjete izmjene topline između tijela s različitim koeficijentima toplinske vodljivosti tijekom njihovog idealnog kontakta, kada se toplina prenosi toplinskom vodljivošću, a tokovi topline na suprotnim stranama dodirne površine su jednaki:
Prihvaćene fizikalne pretpostavke, jednadžba izvedena pod tim pretpostavkama i uvjeti jedinstvenosti čine analitički opis (matematički model) procesa provođenja topline. Uspjeh korištenja dobivenog modela za rješavanje specifičnog problema ovisit će o tome koliko su prihvaćene pretpostavke i uvjeti jednoznačnosti primjereni stvarnim uvjetima.
Jednadžbe (14.14) i (14.15) mogu se prilično jednostavno analitički riješiti za jednodimenzionalni stacionarni toplinski režim. O rješenjima se govori u nastavku. Približne numeričke metode koriste se za dvodimenzionalne i trodimenzionalne stacionarne procese
Za rješavanje jednadžbi (14.13)-(14.15) u nestacionarnim toplinskim uvjetima koriste se brojne metode, o kojima se detaljno govori u stručnoj literaturi. Poznate su egzaktne i približne analitičke metode, numeričke metode itd.
Numeričko rješavanje toplinske jednadžbe provodi se uglavnom metodom konačnih razlika. Izbor jedne ili druge metode rješenja ovisi o uvjetima problema. Kao rezultat rješavanja analitičkim metodama dobivaju se formule koje su primjenjive za rješavanje niza inženjerskih problema u odgovarajućim uvjetima. Numeričke metode omogućuju dobivanje temperaturnog polja t=f(x, y, z, r) u obliku skupa diskretnih vrijednosti temperature u različitim točkama u fiksnim vremenima za određeni zadatak. Stoga je poželjna uporaba analitičkih metoda, ali to nije uvijek moguće za višedimenzionalne probleme i složene rubne uvjete.