Perimetar figure - zbroj duljina svih njezinih stranica. Sukladno tome, kako bi se otkrio perimetar trokut, trebate znati kolika je duljina svake njegove stranice. Za pronalaženje stranica koriste se svojstva trokuta i osnovni teoremi geometrije.
upute
1. Ako su u tvrdnji zadatka navedene sve tri stranice trokuta, lako ih zbrojite. Tada će opseg biti jednak: P = a + b + c.
2. Neka su zadane dvije stranice a, b i kut između njih? Tada se treća strana može otkriti pomoću kosinusnog teorema: c? = a? +b? – 2 a b cos(?). Zapamtite da duljina stranice može biti samo pozitivna.
3. Poseban slučaj kosinusnog teorema je Pitagorin teorem koji je primjenjiv na pravokutne trokute. Kutak? u ovom slučaju to je 90°. Kosinus pravog kuta postaje jedan. Zatim c? = a? + b?.
4. Ako je u uvjetu zadana samo jedna stranica, a poznati su kutovi trokuta, druge dvije stranice mogu se pronaći pomoću teorema sinusa. Usput, ne mogu se specificirati svi kutovi; stoga je korisno upamtiti da je zbroj svih kutova trokuta jednak 180°.
5. Ispada da dana stranica a, kut? između a i b, ? između a i c. 3. kut? između stranica b i c lako se nalazi iz teorema o zbroju kutova trokuta: ? = 180° – ? – ?. Prema teoremu sinusa, a / sin(?) = b / sin(?) = c / sin(?) = 2 R, gdje je R polumjer kružnice opisane oko trokuta. Da bismo otkrili stranicu b, moguće ju je iz ove jednakosti izraziti preko kutova i stranice a: b = a sin(?) / sin(?). Strana c se izražava na sličan način: c = a sin(?) / sin(?). Ako je, recimo, zadan polumjer opisane kružnice, ali nije zadana duljina niti jedne stranice, problem se također može riješiti.
6. Ako je problemu dana površina figure, morate zapisati formulu za površinu trokuta u smislu strana. Izbor formule ovisi o tome što je još poznato. Ako su uz površinu zadane i dvije strane, pomoći će Heronova formula. Površina se također može izraziti kroz dvije stranice i sinus kuta između njih: S = 1/2 a b sin(?), gdje? – kut između stranica a i b.
7. U nekim zadacima može se odrediti površina i polumjer kruga upisanog u trokut. U ovom slučaju, formula r = S / p pomoći će, gdje je r radijus upisane kružnice, S je površina, p je polu-perimetar trokuta. Poluopseg iz ove formule lako je izraziti: p = S / r. Ostaje pronaći perimetar: P = 2 p.
Trokut je mnogokut s tri stranice i tri kuta. Kako izračunati njegov opseg?
upute
1. Opseg trokuta je zbroj duljina sve njegove 3 stranice.Označimo stranice trokuta s a, b, c. Opseg se u matematičkim formulama označava latiničnim slovom P. To znači, na temelju pravila, P = a + b + c Recimo da naše stranice trokuta imaju sljedeće duljine: a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm Da bi se odredio opseg zadanog trokuta potrebno je zbrojiti duljine svih njegovih stranica, tj. P = 3 + 4 + 5P = 12 cm Nije težak zadatak, čaj, zar ne?
Video na temu
Video na temu
Preliminarne informacije
Opseg bilo kojeg ravnog geometrijskog lika na ravnini definiran je kao zbroj duljina svih njegovih stranica. Trokut u tome nije iznimka. Najprije predstavljamo pojam trokuta, kao i vrste trokuta ovisno o stranicama.
Definicija 1
Trokutom ćemo nazvati geometrijski lik koji se sastoji od tri točke međusobno spojene segmentima (slika 1).
Definicija 2
U okviru definicije 1, točke ćemo zvati vrhovima trokuta.
Definicija 3
U okviru definicije 1, segmente ćemo zvati stranice trokuta.
Očito, svaki trokut će imati 3 vrha, kao i tri strane.
Ovisno o međusobnom odnosu stranica, trokuti se dijele na razmjerne, jednakokračne i jednakostranične.
Definicija 4
Trokut ćemo nazvati razmjernim ako niti jedna njegova stranica nije jednaka ni jednoj drugoj.
Definicija 5
Trokut ćemo nazvati jednakokračnim ako su mu dvije stranice međusobno jednake, ali nisu jednake trećoj stranici.
Definicija 6
Trokut ćemo nazvati jednakostraničnim ako su mu sve stranice međusobno jednake.
Sve vrste ovih trokuta možete vidjeti na slici 2.
Kako pronaći opseg razmjernog trokuta?
Neka nam je dan razmjerni trokut čije su duljine stranica jednake $α$, $β$ i $γ$.
Zaključak: Da biste pronašli opseg razmjernog trokuta, trebate zbrojiti sve duljine njegovih stranica.
Primjer 1
Odredi opseg skalenskog trokuta jednak $34$ cm, $12$ cm i $11$ cm.
$P=34+12+11=57$ cm
Odgovor: $57$ cm.
Primjer 2
Odredi opseg pravokutnog trokuta čije su katete 6$ i 8$ cm.
Najprije pronađimo duljinu hipotenuze ovog trokuta koristeći Pitagorin teorem. Označimo ga onda s $α$
$α=10$ Prema pravilu za izračunavanje opsega skalenskog trokuta, dobivamo
$P=10+8+6=24$ cm
Odgovor: $24$ vidi.
Kako pronaći opseg jednakokračnog trokuta?
Neka nam je dan jednakokračni trokut, duljine stranica bit će jednake $α$, a duljina osnovice bit će jednaka $β$.
Određivanjem opsega ravnog geometrijskog lika dobivamo da
$P=α+α+β=2α+β$
Zaključak: Da biste pronašli opseg jednakokračnog trokuta, dodajte dvostruku duljinu njegovih stranica duljini njegove baze.
Primjer 3
Odredi opseg jednakokračnog trokuta ako su mu stranice 12$ cm, a osnovica 11$ cm.
Iz gore navedenog primjera to vidimo
$P=2\cdot 12+11=35$ cm
Odgovor: $35$ cm.
Primjer 4
Odredi opseg jednakokračnog trokuta ako je njegova visina povučena na osnovicu $8$ cm, a baza $12$ cm.
Pogledajmo crtež prema uvjetima problema:
Budući da je trokut jednakokračan, $BD$ je ujedno i medijan, stoga je $AD=6$ cm.
Koristeći Pitagorin poučak, iz trokuta $ADB$ nalazimo bočnu stranicu. Označimo ga onda s $α$
Prema pravilu za izračunavanje opsega jednakokračnog trokuta dobivamo
$P=2\cdot 10+12=32$ cm
Odgovor: 32$ vidi.
Kako pronaći opseg jednakostraničnog trokuta?
Neka nam je dan jednakostranični trokut čije su duljine svih stranica jednake $α$.
Određivanjem opsega ravnog geometrijskog lika dobivamo da
$P=α+α+α=3α$
Zaključak: Da biste pronašli opseg jednakostraničnog trokuta, pomnožite duljinu stranice trokuta s $3$.
Primjer 5
Odredi opseg jednakostraničnog trokuta ako je njegova stranica 12$ cm.
Iz gore navedenog primjera to vidimo
$P=3\cdot 12=36$ cm
Preliminarne informacije
Opseg bilo kojeg ravnog geometrijskog lika na ravnini definiran je kao zbroj duljina svih njegovih stranica. Trokut u tome nije iznimka. Najprije predstavljamo pojam trokuta, kao i vrste trokuta ovisno o stranicama.
Definicija 1
Trokutom ćemo nazvati geometrijski lik koji se sastoji od tri točke međusobno spojene segmentima (slika 1).
Definicija 2
U okviru definicije 1, točke ćemo zvati vrhovima trokuta.
Definicija 3
U okviru definicije 1, segmente ćemo zvati stranice trokuta.
Očito, svaki trokut će imati 3 vrha, kao i tri strane.
Ovisno o međusobnom odnosu stranica, trokuti se dijele na razmjerne, jednakokračne i jednakostranične.
Definicija 4
Trokut ćemo nazvati razmjernim ako niti jedna njegova stranica nije jednaka ni jednoj drugoj.
Definicija 5
Trokut ćemo nazvati jednakokračnim ako su mu dvije stranice međusobno jednake, ali nisu jednake trećoj stranici.
Definicija 6
Trokut ćemo nazvati jednakostraničnim ako su mu sve stranice međusobno jednake.
Sve vrste ovih trokuta možete vidjeti na slici 2.
Kako pronaći opseg razmjernog trokuta?
Neka nam je dan razmjerni trokut čije su duljine stranica jednake $α$, $β$ i $γ$.
Zaključak: Da biste pronašli opseg razmjernog trokuta, trebate zbrojiti sve duljine njegovih stranica.
Primjer 1
Odredi opseg skalenskog trokuta jednak $34$ cm, $12$ cm i $11$ cm.
$P=34+12+11=57$ cm
Odgovor: $57$ cm.
Primjer 2
Odredi opseg pravokutnog trokuta čije su katete 6$ i 8$ cm.
Najprije pronađimo duljinu hipotenuze ovog trokuta koristeći Pitagorin teorem. Označimo ga onda s $α$
$α=10$ Prema pravilu za izračunavanje opsega skalenskog trokuta, dobivamo
$P=10+8+6=24$ cm
Odgovor: $24$ vidi.
Kako pronaći opseg jednakokračnog trokuta?
Neka nam je dan jednakokračni trokut, duljine stranica bit će jednake $α$, a duljina osnovice bit će jednaka $β$.
Određivanjem opsega ravnog geometrijskog lika dobivamo da
$P=α+α+β=2α+β$
Zaključak: Da biste pronašli opseg jednakokračnog trokuta, dodajte dvostruku duljinu njegovih stranica duljini njegove baze.
Primjer 3
Odredi opseg jednakokračnog trokuta ako su mu stranice 12$ cm, a osnovica 11$ cm.
Iz gore navedenog primjera to vidimo
$P=2\cdot 12+11=35$ cm
Odgovor: $35$ cm.
Primjer 4
Odredi opseg jednakokračnog trokuta ako je njegova visina povučena na osnovicu $8$ cm, a baza $12$ cm.
Pogledajmo crtež prema uvjetima problema:
Budući da je trokut jednakokračan, $BD$ je ujedno i medijan, stoga je $AD=6$ cm.
Koristeći Pitagorin poučak, iz trokuta $ADB$ nalazimo bočnu stranicu. Označimo ga onda s $α$
Prema pravilu za izračunavanje opsega jednakokračnog trokuta dobivamo
$P=2\cdot 10+12=32$ cm
Odgovor: 32$ vidi.
Kako pronaći opseg jednakostraničnog trokuta?
Neka nam je dan jednakostranični trokut čije su duljine svih stranica jednake $α$.
Određivanjem opsega ravnog geometrijskog lika dobivamo da
$P=α+α+α=3α$
Zaključak: Da biste pronašli opseg jednakostraničnog trokuta, pomnožite duljinu stranice trokuta s $3$.
Primjer 5
Odredi opseg jednakostraničnog trokuta ako je njegova stranica 12$ cm.
Iz gore navedenog primjera to vidimo
$P=3\cdot 12=36$ cm
Kako pronaći opseg trokuta? Svatko od nas postavio je ovo pitanje dok je studirao u školi. Pokušajmo se sjetiti svega što znamo o ovoj nevjerojatnoj figuri, a također odgovorimo na postavljeno pitanje.
Odgovor na pitanje kako pronaći opseg trokuta obično je prilično jednostavan - samo trebate izvršiti postupak zbrajanja duljina svih njegovih stranica. Međutim, postoji nekoliko jednostavnijih metoda za pronalaženje željene vrijednosti.
Savjet
Ako su poznati radijus (r) kruga upisanog u trokut i njegovo područje (S), tada je odgovor na pitanje kako pronaći opseg trokuta prilično jednostavan. Da biste to učinili, morate koristiti uobičajenu formulu:
Ako su poznata dva kuta, recimo α i β, koji su susjedni uz stranicu, i duljina same stranice, tada se opseg može pronaći pomoću vrlo, vrlo popularne formule koja izgleda ovako:
sinβ∙a/(sin(180° - β - α)) + sinα∙a/(sin(180° - β - α)) + a
Ako znate duljine susjednih stranica i kut β između njih, tada da biste pronašli opseg, morate koristiti Opseg se izračunava pomoću formule:
P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙a∙cosβ),
gdje su b2 i a2 kvadrati duljina susjednih stranica. Radikalni izraz je duljina treće strane koja je nepoznata, izražena pomoću teorema kosinusa.
Ako ne znate kako pronaći perimetar, onda ovdje zapravo nema ništa komplicirano. Izračunajte ga pomoću formule:
gdje je b osnovica trokuta, a njegove stranice.
Da biste pronašli opseg pravilnog trokuta, upotrijebite najjednostavniju formulu:
gdje je a duljina stranice.
Kako pronaći opseg trokuta ako su poznati samo polumjeri krugova koji su oko njega opisani ili u njega upisani? Ako je trokut jednakostraničan, treba primijeniti formulu:
P = 3R√3 = 6r√3,
gdje su R i r polumjeri opisane i upisane kružnice.
Ako je trokut jednakokračan, tada se na njega primjenjuje formula:
P=2R (sinβ + 2sinα),
gdje je α kut koji leži na bazi, a β je kut koji je nasuprot bazi.
Često rješavanje matematičkih problema zahtijeva dubinsku analizu i specifičnu sposobnost pronalaženja i izvođenja potrebnih formula, a to je, kao što mnogi ljudi znaju, prilično težak posao. Iako se neki problemi mogu riješiti samo jednom formulom.
Pogledajmo formule koje su osnovne za odgovor na pitanje kako pronaći opseg trokuta, u odnosu na veliki izbor vrsta trokuta.
Naravno, glavno pravilo za pronalaženje opsega trokuta je ova izjava: da biste pronašli opseg trokuta, trebate zbrojiti duljine svih njegovih stranica koristeći odgovarajuću formulu:
gdje su b, a i c duljine stranica trokuta, a P opseg trokuta.
Postoji nekoliko posebnih slučajeva ove formule. Recimo da je vaš problem formuliran na sljedeći način: "kako pronaći opseg pravokutnog trokuta?" U ovom slučaju trebate koristiti sljedeću formulu:
P = b + a + √(b2 + a2)
U ovoj formuli, b i a su neposredne duljine kateta pravokutnog trokuta. Lako je pogoditi da se umjesto strane s (hipotenuze) koristi izraz, dobiven iz teorema velikog znanstvenika antike - Pitagore.
Ako trebate riješiti problem u kojem su trokuti slični, tada bi bilo logično koristiti ovu izjavu: omjer perimetara odgovara koeficijentu sličnosti. Recimo da imate dva slična trokuta - ΔABC i ΔA1B1C1. Zatim, da bismo pronašli koeficijent sličnosti, potrebno je opseg ΔABC podijeliti s opsegom ΔA1B1C1.
Zaključno, može se primijetiti da se opseg trokuta može pronaći pomoću različitih tehnika, ovisno o početnim podacima koje imate. Treba dodati da postoje neki posebni slučajevi za pravokutne trokute.
Kako pronaći opseg trokuta? Svatko od nas postavio je ovo pitanje dok je studirao u školi. Pokušajmo se sjetiti svega što znamo o ovoj nevjerojatnoj figuri, a također odgovorimo na postavljeno pitanje.
Odgovor na pitanje kako pronaći opseg trokuta obično je prilično jednostavan - samo trebate izvršiti postupak zbrajanja duljina svih njegovih stranica. Međutim, postoji nekoliko jednostavnijih metoda za pronalaženje željene vrijednosti.
Savjet
Ako su poznati radijus (r) kruga upisanog u trokut i njegovo područje (S), tada je odgovor na pitanje kako pronaći opseg trokuta prilično jednostavan. Da biste to učinili, morate koristiti uobičajenu formulu:
Ako su poznata dva kuta, recimo α i β, koji su susjedni uz stranicu, i duljina same stranice, tada se opseg može pronaći pomoću vrlo, vrlo popularne formule koja izgleda ovako:
sinβ∙a/(sin(180° - β - α)) + sinα∙a/(sin(180° - β - α)) + a
Ako znate duljine susjednih stranica i kut β između njih, tada da biste pronašli opseg, morate koristiti kosinusni teorem. Opseg se izračunava pomoću formule:
P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙a∙cosβ),
gdje su b2 i a2 kvadrati duljina susjednih stranica. Radikalni izraz je duljina treće strane koja je nepoznata, izražena pomoću teorema kosinusa.
Ako ne znate kako pronaći opseg jednakokračnog trokuta, onda ovdje zapravo nema ništa komplicirano. Izračunajte ga pomoću formule:
gdje je b osnovica trokuta, a njegove stranice.
Da biste pronašli opseg pravilnog trokuta, upotrijebite najjednostavniju formulu:
gdje je a duljina stranice.
Kako pronaći opseg trokuta ako su poznati samo polumjeri krugova koji su oko njega opisani ili u njega upisani? Ako je trokut jednakostraničan, treba primijeniti formulu:
P = 3R√3 = 6r√3,
gdje su R i r polumjeri opisane i upisane kružnice.
Ako je trokut jednakokračan, tada se na njega primjenjuje formula:
P=2R (sinβ + 2sinα),
gdje je α kut koji leži na bazi, a β je kut koji je nasuprot bazi.
Često rješavanje matematičkih problema zahtijeva dubinsku analizu i specifičnu sposobnost pronalaženja i izvođenja potrebnih formula, a to je, kao što mnogi ljudi znaju, prilično težak posao. Iako se neki problemi mogu riješiti samo jednom formulom.
Pogledajmo formule koje su osnovne za odgovor na pitanje kako pronaći opseg trokuta, u odnosu na veliki izbor vrsta trokuta.
Naravno, glavno pravilo za pronalaženje opsega trokuta je ova izjava: da biste pronašli opseg trokuta, trebate zbrojiti duljine svih njegovih stranica koristeći odgovarajuću formulu:
gdje su b, a i c duljine stranica trokuta, a P opseg trokuta.
Postoji nekoliko posebnih slučajeva ove formule. Recimo da je vaš problem formuliran na sljedeći način: "kako pronaći opseg pravokutnog trokuta?" U ovom slučaju trebate koristiti sljedeću formulu:
P = b + a + √(b2 + a2)
U ovoj formuli, b i a su neposredne duljine kateta pravokutnog trokuta. Lako je pogoditi da se umjesto strane s (hipotenuze) koristi izraz, dobiven iz teorema velikog znanstvenika antike - Pitagore.
Ako trebate riješiti problem u kojem su trokuti slični, tada bi bilo logično koristiti ovu izjavu: omjer perimetara odgovara koeficijentu sličnosti. Recimo da imate dva slična trokuta - ΔABC i ΔA1B1C1. Zatim, da bismo pronašli koeficijent sličnosti, potrebno je opseg ΔABC podijeliti s opsegom ΔA1B1C1.
Zaključno, može se primijetiti da se opseg trokuta može pronaći pomoću različitih tehnika, ovisno o početnim podacima koje imate. Treba dodati da postoje neki posebni slučajevi za pravokutne trokute.