Nelinearne oscilacije. Nelinearni oscilator

NELINEARNE OSCILACIJE

Nelinearnost procesa, uključujući i oscilacije, matematički se izražava u nelinearnosti odgovarajućih jednadžbi gibanja. Sa stajališta fizike, nelinearnost oscilacija karakteriziraju dva potpuno različita svojstva: anharmoničnost i neizokronizam. Pod, ispod anharmoničnost razumjeti prisutnost u spektru vibracija frekvencija koje su višestruke od osnovne - Fourierov harmonik, ili prizvuci. Neizokrono nazivaju se titraji čije frekvencije (temeljni i viši harmonici) ovise o amplitudi ili energiji titraja.

Klasičan primjer nelinearnih oscilacija je revolucija planeta oko Sunca – problem s čijim je rješenjem započela moderna mehanika i fizika. Prema trećem Keplerovom zakonu, frekvencija kruženja planeta oko Sunca dana je njihovom ukupnom energijom:

w=│ E│ 3/2 .

Neizokronizam, općenito govoreći, nije povezan s anharmonizmom. Dakle, nabijena čestica koja se kreće po kružnoj orbiti u konstantnom magnetskom polju brzinom bliskom brzini svjetlosti prolazi kroz čisto harmonijske oscilacije, a njezina je frekvencija rotacije obrnuto proporcionalna energiji.

NELINEARNI OSCILATOR

Linearni (u nedostatku prigušenja - harmonijski) oscilator osnovni je model linearne teorije oscilacija. Njegova jednadžba gibanja (prema drugom Newtonovom zakonu):

Gdje x- veličina čije oscilacije opisuje model (amplituda pomaka njihala, struja ili napon u oscilatornom krugu, veličina populacije itd.) - njezino “ubrzanje”.

Nelinearni oscilator je osnovni model nelinearne teorije oscilacija. Njegova jednadžba gibanja:

Gdje f(.x) - nelinearna funkcija koja sadrži najmanje jednu nelinearnu (ne prvog stupnja u x) član. Ukupna energija sustava ne ovisi o vremenu, tj. sustavu konzervativan.

Nenizokrone oscilacije izvodi, na primjer, čestica u ravnoj potencijalnoj jažici - kutiji s beskonačno visokim stijenkama:

U(x)=0 pri - l/ 2<х< l/ 2; U(X)=¥ na x£ - l/ 2, X>l/ 2.

Čestica se kreće konstantnom brzinom unutar kutije, trenutno se elastično reflektirajući na granicama. Njegova kinetička energija E k =mv 2 /2, tj. brzina V= Ö (2E k /m) ovisi o energiji. Period titranja čestice izražava se formulom

Iz formule (3) jasno je da period oscilacije opada s povećanjem energije (za druge sustave može rasti).

Zakon održanja energije E oscilator (konzervativni nelinearni sustav) ima oblik

Potpunu kvalitativnu sliku gibanja nelinearnog oscilatora daje njegov fazni portret. Iz zakona održanja energije možemo izvesti

LEONID ISAACOVITCH MANDELSHTAM

Čak i nepotpun popis otkrića i temeljnih radova akademika Leonida Isaakoviča Mandeljštama (1879.-1944.) zadivljuje svojom raznolikošću: ramansko i fluktuacijsko raspršenje svjetlosti, teorija mikroskopa, nelinearne oscilacije i radiotehnika, teorija rezonancija, radiogeodezija, nova vrsta generatori elektromagnetskih valova - parametarski strojevi. Iznimna, da ne kažemo bolna, zahtjevnost L. I. Mandeljštama prema rezultatima njegova rada nije mu dopuštala da u ovaj popis uvrsti niz drugih, ne manje važnih otkrića - primjerice, eksperimentalno otkriće 1912. (nekoliko godina prije klasičnih pokusa Stewarta i Tolmana) tromost elektrona u metalima.

Ali iza sve dojmljive raznolikosti postignuća i širine interesa u Mandeljštamovom znanstvenom radu jasno se vidi glavna tema- teorija oscilacija. Nakon što se prvi put upoznao s ovim područjem kroz dvotomnu “Teoriju zvuka” lorda Rayleigha, Mandelstam je bio prožet ljepotom njezinih ideja i opetovano je pribjegavao “oscilatornoj pomoći”, koja je omogućila pronalaženje analogija između rezultata iz različitih grane fizike.

Mandeljštam je sretno utjelovio rijetku kombinaciju teoretičara i eksperimentatora, istraživača i predavača. Rekao je da postoji razumijevanje prve vrste, kada čitaju i razumiju sve što je napisano, mogu izvesti bilo koju formulu, ali još nisu u stanju samostalno odgovoriti ni na jedno pitanje iz pročitanog, i razumijevanje druge vrste , kada je jasna cijela slika, cijela povezanost ideja, pojava . Dubok i suptilan mislilac, Mandelstam je postigao drugorazredno razumijevanje cijele fizike i velikodušno je dijelio svoje znanje s brojnim studentima (među njima A. A. Andronov, A. A. Witt, G. S. Gorelik, G. S. Landsberg, M. A. Leontovich, V. V. Migulin, S. M. Rytov, S. P. Strelkov , I.E. Tamm, S.E. Khaikin, S.P. Shubin, itd.) i studenti.

Mandeljštam je rođen u Mogilevu u obitelji koja je svijetu dala znanstvenike, liječnike i pisce. Ubrzo se obitelj preselila u Odesu. Do 12 godina dječak je učio kod kuće, zatim u gimnaziji, koju je završio sa zlatnom medaljom. Godine 1897. upisao se na matematički odsjek Fizičko-matematičkog fakulteta Novorosijskog sveučilišta (u Odesi). Dvije godine kasnije, zbog studentskih nemira, mladić je izbačen sa sveučilišta. Po savjetu roditelja, Mandeljštam je otišao u Strasbourg, jedno od središta fizikalnih istraživanja, gdje je nastavio školovanje. Na Sveučilištu u Strasbourgu tada su predavali matematičar Heinrich Weber (Riemannov učenik i autor klasičnog kolegija “Diferencijalne jednadžbe matematičke fizike”), fizičar Ferdinand Braun (povremeni direktor Instituta za fiziku), a odjel za teorijsku fiziku vodio je Emil Kohn (autor poznatog djela “Elektromagnetsko polje”).

Teorija nelinearnih oscilacija počela se aktivno koristiti i razvijati u posljednjih 50 godina. Temeljni značaj u ovoj hipotezi, posebice u konceptu automatskih vibracija, pripada ruskom znanstveniku. M. Lyapunov i njegovi pristaše, čiji su radovi uspjeli dokazati potrebu korištenja nelinearnih metoda u rješavanju složenih problema.

Napomena 1

Teorija nelinearnih oscilacija (ili nelinearnog mehaničkog kretanja čestica medija) usmjerena je na proučavanje nestabilnih oscilacijskih kretanja, koja se u fizici opisuju u obliku diferencijalnih jednadžbi.

Ovo polje mehanike pruža točnije razumijevanje karakteristika vibracijskog gibanja automatskih sustava. Kao rezultat toga, linearne formule se dobivaju pojednostavljivanjem nelinearnih. Stoga razmatranje takvih oscilacija omogućuje izvlačenje samo određenih zaključaka o svojstvima kratkotrajnih kretanja, koja mogu biti samo približna. Unatoč tome, teorija nelinearnih vibracija uključuje važne informacije o sustavnim rješenjima koja se pojavljuju izvan stabilnosti ravnotežnog stanja.

Načini ispoljavanja nelinearnih učinaka

Nelinearni procesi mogu se generirati različitim metodama. Klasičan i jasan primjer je nelinearna spirala, u kojoj povratna sila izravno ovisi o početnom istezanju. U slučaju paralelne nelinearnosti (isti rezultat za napetost i kompresiju), formula za gibanje čestica u bilo kojem prostoru ima oblik:

$\chi + 2 \gamma \chi + \alpha \chi + \beta \chi^3 = f (t)$

Ako na sustav povremeno djeluje vanjska sila, tada klasična hipoteza pretpostavlja da će konačni odgovor također postati ciklički. Rezonancija nelinearnog fenomena pri niskoj frekvenciji odziva leži u njegovoj korespondenciji s gustoćom elemenata koncepta. S stalnim kretanjem pogonske sile nastaje amplituda odgovarajućih frekvencija u kojima su vjerojatne različite vrijednosti pomaka čestica.

Postoje i druga složena rješenja, kao što su superharmonijske i subharmonijske vibracije. Ako sila vezivanja ima holistički izgled, onda druge fluktuacije postaju veće. Hipoteza nelinearne rezonancije temelji se na pretpostavci da sustavni utjecaj uključuje stvaranje periodičkog odgovora.

Samogenerirane oscilacije predstavljaju drugu važnu klasu nelinearnih procesa. To su vibracijska gibanja koja nastaju u sustavima bez cikličkih vanjskih periodičnih sila ili utjecaja.

Paradigma hipoteze nelinearnih oscilacija

Teorija nelinearnih gibanja postala je zamjena za Van der Polov zakon o električnim vibracijama. Potonji je bio genetski povezan sa stvaranjem principa hipoteze o radiotehničkom uređaju - razvodniku cijevi. U takvom generatoru, koji radi s određenim "trenjem" (tj. kao nekonzervativan koncept), postupno se pojavljuju neprigušena oscilatorna gibanja. To znači da sustav uključuje izvor unutarnje energije (ili se sustav sustavno snabdijeva energijom izvana). Međutim, u ovom aspektu ne govorimo o prisilnim vibracijama. Uređaj svjetiljke samostalno stvara cikličke samopobudne oscilacije.

Takvi procesi nastaju i funkcioniraju zahvaljujući univerzalnom dizajnu generatora, koji uključuje, osim oscilatornog pojačala, i krug spojen na povratnu liniju šoka.

Ostavljajući neriješenim pitanje paradigme navedene van der Polove hipoteze, moguće je ugrubo opisati koncept koji je uočen u radovima Mandelstama, Andronova i njihovih sljedbenika kasnih 20-ih godina.

Napomena 2

Prvi i glavni element u radovima znanstvenika su "simboličke generalizacije" - matematičke jednadžbe koje definiraju i opisuju univerzalne znanstvene zakone. U suvremenoj fizici to su uglavnom diferencijalne formule.

Van der Pol je prije svega slijedio jednadžbe koje opisuju princip rada jednostavnog cijevnog razdjelnika:

$\frac (d^2x)(dt^2) - \mu (1 – 2x^2) \frac (dx)(dt) = x = 0$

Ovdje je $x$ opći parametar (u slučaju generatora, jakost struje i energija), $t$ je određeno vremensko razdoblje, a nelinearni element $\frac(x)(dt)$ pokazuje rad vakuumska cijev.

Značajnu ulogu u povijesti teorije nelinearnih vibracija odigrala je takozvana metoda prilagodbe (kasnije nazvana zakon strukturno-linearne aproksimacije).

Zapravo, početkom 1927. godine Mandelstam je mogao pažljivije analizirati stabilnost oscilatornih gibanja dobivenih prema ovom principu. Metoda prilagodbe i danas se široko koristi u hipotezi nelinearnih oscilacija.

Ideologija teorije nelinearnih procesa

Ideologija hipoteze koja se razmatra, prije svega, karakterizira značajke samooscilacija.

Koncepte ovih fenomena uveo je L.V. Andronov u znanstvenim člancima 1928–1929. Zapravo, Van der Pol se bavio i mehaničkim vibracijama, opisujući oscilatorna kretanja u cijevnom generatoru, ali nije mogao zamisliti poseban naziv za njih.

U Andronovljevim radovima "simbolička generalizacija" je na kraju postala diferencijalna jednadžba, u odnosu na koju je Van der Polova formula samo poseban slučaj. Oznaka za takvu ekvivalenciju izgleda ovako:

$\frac (d^2x)(dt^2) + \frac ( 2dx)(dt + \omega^2 x) = f (\frac (x,dx)(dt))$

Ideologija se pojavljuje zajedno s paradigmom, ali seže mnogo dalje. Ideološki procesi su izrazi i riječi čija se značenja određuju putem analogija, primjera i ilustracija. Jedan od glavnih znakova korištenja pojma u ideologiji je stanovita erozija njegove suštine. Koncept konvencionalno nadilazi granice vlastitog opsega primjene.

Do sada smo se pri razmatranju različitih tipova nestabilnosti ograničavali samo na režime malih amplituda, kada je, zahvaljujući mogućnosti linearizacije, snimanje i rješavanje disperzijskih jednadžbi uvelike pojednostavljeno. Naime, u elektroničkim uređajima koji postoje u praksi, tijekom procesa povećanja oscilacija, u pravilu, procesi postaju značajno nelinearni. Nekoliko iznimaka uključuje, možda, sustave vrlo kratkog impulsa ili vrlo kratkog elektronskog snopa duž toka elektrona, gdje oscilacije nemaju vremena prijeći u nelinearni stadij.

Uzimajući u obzir značajke nelinearnih oscilacija, prvo se okrenimo najjednostavnijim jednadžbama. Podsjetimo se da su linearne oscilacije autonomnog jednodimenzionalnog sustava bez gubitaka opisane jednadžbom

Ova najjednostavnija jednadžba se pretvara u oblik karakterističan za nelinearne oscilacije ako je drugi član na lijevoj strani jednakosti nelinearna funkcija f(x)

(10.5)

Najjednostavniji primjer nelinearnih oscilacija su oscilacije elektrona velike amplitude u periodičnom polju tipa prikazanog na slici 10.1. Ova situacija se ostvaruje u polju putujućeg vala, koji se može pojaviti, na primjer, u TWT ili BWO.

U
koordinatnog sustava koji se giba s valom, opisuje se promjena potencijalne energije elektrona

jednadžba

(10.6)

Stoga se jednadžba gibanja elektrona može napisati u obliku

jer
I
.

Dakle, u situaciji tipičnoj za mikrovalne uređaje, gibanje elektrona opisuje se temeljno nelinearnom jednadžbom. Međutim, u ovom slučaju se pojavljuje jedno od svojstava nelinearnih sustava je njihov neizokronizam, tj. ovisnost njihovog stanja o početnoj energiji oscilirajuće čestice. Ako je početna vibracijska energija elektrona mala, on izvodi vibracijska gibanja s malom amplitudom blizu minimalnog potencijala. U ovom slučaju njegovo kretanje je gotovo harmonično. Ako je početna energija velika i usporediva s dubinom potencijalne jame, tada je i amplituda oscilacija velika i, kao rezultat toga, gibanje istodobno postaje znatno nelinearno.

Druga posebnost nelinearnih oscilacija je njihova neharmoničnost. U skladu Objasnimo nelinearni oscilator Više detalja na drugom primjeru.

Pretpostavimo da imamo posla s elektronskim snopom koji se širi duž osi x, tj. kretanje elektrona je jednodimenzionalno. Uvedimo početnu malu amplitudnu modulaciju brzine elektrona

, (10.8)

oni. sada puna brzina elektrona V jednak zbroju V=V o +u

Uvođenje ovog poremećaja dovodi do grupiranja elektrona u snopu. Napomenimo da je razmatrana situacija slična onoj koja se realizira u klistronu, gdje se modulacija brzine događa u rezonatoru, au driftnom prostoru se modulacija brzine pretvara u modulaciju gustoće.

Razmotrimo evoluciju snopa u vremenu u koordinatnom sustavu koji se kreće početnom brzinom elektrona V o. U ovom sustavu gibanje je uzrokovano samo početnim poremećajem, a jednadžba gibanja se može napisati u obliku

(10.9)

Jednakost nuli ukupne derivacije poremećaja brzine znači da zanemarujemo pojavu električnih sila zbog grupiranja elektrona i razmatramo bez magnetskog polja. Naravno, zanemarivanje električnih sila opravdano je samo u početnoj fazi grupiranja. Tada se električna polja grozdova više ne mogu zanemariti. Ta će polja ograničiti grupiranje. Dakle, možemo više-manje ispravno analizirati samo početni stadij evolucije skupine u elektronskom snopu. Utjecaj magnetskog polja može se zanemariti iu slučaju kada ono postoji, ali je orijentirano u smjeru gibanja elektrona. U ovom slučaju, međutim, važno je da elektroni nemaju brzine poprečno na silnice magnetskog polja.

Pratimo evoluciju karakteristika toka elektrona koristeći faznu ravninu x,u(Slika 10.2). Razmotrimo prvo slučaj kada u mediju nema disperzije. U faznoj ravnini svaka se točka giba svojom brzinom. Točke gornje poluravnine kreću se udesno, a donje - ulijevo, a brzina svake točke proporcionalna je udaljenosti od osi x. Početno stanje je predstavljeno sinusnim valom (tanka linija na slici 10.2a). Tada dolazi do iskrivljenja sinusoide (debela linija na istoj slici) i kao rezultat grupiranja elektrona nastaju maksimumi gustoće prostornog naboja u blizini točaka gdje je vrijednost u=0 (slika 10.2b). U isto vrijeme, promjena u x brzina postaje neharmonična i stvaraju se nakupine prostornog naboja. Sljedeće su točke u kojima je izvod teži beskonačnosti, pa stoga koncentracija elektrona teži beskonačnosti.

karakteristike postaju značajno neharmonične. Isto razmatranje objašnjava uvjete za optimalno grupiranje. Takvi se uvjeti ostvaruju prije nego se val počne lomiti.

Oscilacije u fizikalnom sustavi opisani nelinearnim sustavima običnih diferencijalnih jednadžbi gdje sadrži članove najmanje 2. stupnja u vektorskim komponentama - vektorsku funkciju vremena - mali parametar (ili i). Moguće generalizacije povezane su s razmatranjem diskontinuiranih sustava, utjecaja s diskontinuiranim karakteristikama (na primjer, kao što je histereza), kašnjenja i slučajnih utjecaja, integro-diferencijalnih i diferencijalnih operatorskih jednadžbi, oscilatornih sustava s distribuiranim parametrima opisanim parcijalnim diferencijalnim jednadžbama, kao i kao korištenje metoda optimalnog upravljanja nelinearnim oscilatornim sustavima. Glavni opći zadaci N.K.: pronalaženje ravnotežnih položaja, stacionarni režimi, posebno periodični. gibanja, samooscilacije i proučavanje njihove stabilnosti, problemi sinkronizacije i stabilizacije N. K. Sve tjelesne. sustavi su, strogo govoreći, nelinearni. Jedna od najkarakterističnijih značajki NC je njihovo kršenje načela superpozicije oscilacija: rezultat svakog od utjecaja u prisutnosti drugog ispada drugačiji nego u odsutnosti drugog utjecaja. Kvazilinearni sustavi – sustavi (1) pri. Glavna metoda istraživanja je metoda malih parametara. Prije svega, to je Poincaré-Lindstedtova metoda za određivanje periodičnosti. rješenja kvazilinearnih sustava, analitičkih u parametru za dovoljno male vrijednosti, bilo u obliku nizova u potencijama (vidi Poglavlje IX), ili u obliku nizova u potencijama i - dodaci početnim vrijednostima vektorskih komponenti (vidi Poglavlje III). Za daljnji razvoj ove metode vidi, na primjer, u -. Druga metoda malih parametara je metoda usrednjavanja. Istodobno su u proučavanje kvazilinearnih sustava prodrle i nove metode: asimptotička. metode (vidi, ), metoda K-funkcija (vidi), temeljena na temeljnim rezultatima A. M. Ljapunova - N. G. Četaeva, itd. U biti nelinearni sustavi, u kojima nema unaprijed propisanog malog parametra. Za Lyapunovljeve sustave gdje i među svojstvenim vrijednostima matrice nema višekratnika korijena - analitički. vektorska funkcija x, proširenje počinje s članovima najmanje 2. reda, a postoji analitički prvi integral posebnog oblika (vidi § 42) predložio je metodu za pronalaženje periodičnih funkcija. rješenja u obliku niza u potencijama proizvoljne konstante c (za koju se može uzeti početna vrijednost jedne od dvije kritične varijable). Za sustave bliske Ljapunovljevim sustavima, gdje je isti oblik kao u (2) analitički. vektorske funkcije i malog parametra, kontinuiranog i -periodičnog po t, također je predložena metoda za određivanje periodičnosti. odluke (vidi Poglavlje VIII). Sustavi tipa Lyapunov (2), u kojima matrica ima l nula svojstvenih vrijednosti s jednostavnim elementarnim djeliteljima, dvije - čisto imaginarne svojstvene vrijednosti i nema svojstvene vrijednosti koje su višestruke - isto kao u (2), mogu se reduciran na sustave Lyapunov (vidi IV.2). N.K. je također studirao u sustavima Lyapunov i u tzv. Sustave Lyapunov s prigušenjem, a također je riješio opći problem pumpanja energije u njih (vidi poglavlja I, III, IV). Neka se suštinski nelinearni autonomni sustav reducira na Jordanov oblik njegovog linearnog dijela gdje vektor, prema pretpostavci, ima barem jednu komponentu različitu od nule; , jednaki su nuli ili jedan, u nedostatku ili prisutnosti složenih elementarnih djelitelja matrice linearnog dijela, - koeficijenti; skup vrijednosti vektora s cjelobrojnim komponentama je sljedeći: Tada postoji normalizirajuća transformacija: koja vodi (3) do normalnog oblika diferencijalnih jednadžbi
i tako što ako. Dakle, normalni oblik (5) sadrži samo rezonantne članove, tj. koeficijenti mogu biti različiti od nule samo za one za koje je zadovoljena rezonantna jednadžba, što ima značajnu ulogu u teoriji oscilacija. Proučavana je konvergencija i divergencija normalizirajuće transformacije (4) (vidi Dio I, Poglavlja II, III); dan je izračun koeficijenata (pomoću njihove simetrizacije) (vidi § 5.3). U nizu problema o nelinearnom obliku bitno nelinearnih autonomnih sustava, metoda normalnih oblika pokazala se učinkovitom (vidi poglavlja VI-VIII). Među ostalim metodama za proučavanje suštinski nelinearnih sustava koristi se metoda preslikavanja točaka (vidi), stroboskopska. metodski i funkcionalno-analitički. metode. Kvalitativne metode nelinearnih diferencijalnih jednadžbi ovdje je proučavanje oblika integralnih krivulja nelinearnih običnih diferencijalnih jednadžbi koje je proveo A. Poincare (N. Poincare, vidi). Primjene za probleme N.K. opisane autonomnim sustavima 2. reda, vidi. Proučavana su pitanja postojanja periodičnosti. rješenja i njihova stabilnost u velikom za višedimenzionalne sustave; razmatraju se gotovo periodične neperiodične jednadžbe s primjenama teorije običnih diferencijalnih jednadžbi za određene derivacije na probleme relaksacijskih nelinearnih jednadžbi, vidi. Važni aspekti N. k i lit. vidi članke Teorija poremećaja, Teorija oscilacija. Lit.: Poincaré A., Izbr. djela, prev. s francuskog, sv. 1, M., 1971.; Andronov A. A., Witt A. A., Khaikin S. E., Teorija oscilacija, 2. izdanje, M., 1959.; Bulgakov B.V., Oscilacije, M., 1954; Malkin I.G., Neki problemi teorije nelinearnih oscilacija, M., 1956: Bogolyubov N.N., Izbr. djela, sv.1, K., 1969; [b] Bogolyubov N. N., Mitropolsky A., Asimptotske metode u teoriji nelinearnih oscilacija, 4. izd., M-, 1974.; Kamenkov G.V., Izbr. djela, sv.1-2, M., 1971-72; Lyapunov A. M., Zbirka. soč., sv. 2, M.-L., 195B, str. 7-263; Starzhinsky V.M., Primijenjene metode nelinearnih oscilacija, M., 1977; Bruno A.D., "Tr. Moskovsko matematičko društvo", 1971., svezak 25, str. 119-262; 1972, svezak 26, str. 199-239; Neimark Yu. I., Metoda preslikavanja točaka u teoriji nelinearnih oscilacija, M., 1972; Minorsky N., Uvod u nelinearnu mehaniku, Ann Arbor, 1947.; Krasnoselsky M.A., Burd V.Sh., Kolesov Yu.S., Nelinearne gotovo periodične oscilacije, M., 1970.; Poincaré A., O krivuljama određenim diferencijalnim jednadžbama, trans. s francuskog, M. -L., 1947.; Butenin N.V., Neimark Yu.I., Fufaev N.A., Uvod u teoriju nelinearnih oscilacija, M., 1976; Plise V.A., Nelokalni problemi teorije oscilacija, M. -L., 1964; Mishchenko E. F., Rozov N. X., Diferencijalne jednadžbe s malim parametrom i relaksacijskim oscilacijama, M., 1975. V. M. Starzhinsky.

Pogledaj vrijednost Nelinearne oscilacije u drugim rječnicima

Prosjek prihoda plus fluktuacije— UČINKOVITOST SREDNJE VARIJANCIJE Model za formiranje optimalnog portfelja vrijednosnih papira za investitore, temeljen na zaključku Harryja Markowitza da
osoba koja ulaže
........
Ekonomski rječnik

Kapitalni gubitak, gubitak kapitala zbog fluktuacija u stopama dobiti; Kapitalni gubitak zbog— Iznos za koji je dobit od prodaje osnovnih sredstava manja od troškova njihova stjecanja. Prije Zakona o poreznoj reformi iz 1986., 2 USD.........
Ekonomski rječnik

Oscilacije— MOVERGrowth ili
pad cijena određene vrste dionica ili cijena na tržištu u cjelini kao posljedica povoljnih ili nepovoljnih uvjeta, kao i kao posljedica........
Ekonomski rječnik

Fluktuacije tržišnih uvjeta— promjene u ekonomskim parametrima tijekom vremena povezane s objektivnom realnošću tržišnog gospodarstva, uključujući sezonske promjene.
Ekonomski rječnik

Fluktuacije tečaja
Ekonomski rječnik

Oscilacije tečaja (valute, vrijednosni papiri)- promjene tečajnih cijena za valute, vrijednosne
papir pod utjecajem mijenjanja
zahtijevajte,
ponude i drugi čimbenici.
Ekonomski rječnik

Maksimalna fluktuacija tečaja- Engleski maksimalna fluktuacija cijene je maksimalni iznos fluktuacije ugovornog tečaja u jednom ili drugom smjeru tijekom sesije burze, određen pravilima burze.
Ekonomski rječnik

Fluktuacije tržišnih uvjeta- KLJUČKA TRŽIŠTA Vidi. LJULJAČKA; POSLOVNI CIKLUS; ŠPEKULATIVNI CIKLUS
Ekonomski rječnik

Fluktuacije Sezonske— SEZONSKA VARIJACIJA Više ili manje redovita
fluktuacije poslovne aktivnosti uzrokovane sezonskim faktorima. Na primjer,
Količina otpisanog novca s bankovnih računa u prosincu obično je........
Ekonomski rječnik

Načelo fluktuacije stope— FLUCTUIRAJUĆI PRINCIP Načelo odabira vrijednosnih papira (obveznica ili dionica) na temelju amplitude fluktuacija njihovih tržišnih tečajeva tijekom cijelog ekonomskog razdoblja. ciklus. Raspon takvih fluktuacija.........
Ekonomski rječnik

Sezonske varijacije- promaknuće odn
smanjenje razine gospodarske aktivnosti, opseg gospodarske aktivnosti zbog promjene godišnjih doba.
Ekonomski rječnik

Sezonske fluktuacije cijena- cijene variraju ovisno o godišnjem dobu (
cijene poljoprivrednih proizvoda), sezona (cijene odjeće i obuće).
Ekonomski rječnik

Trgovačke fluktuacije— Dionice na koje se zaokružuju cijene u transakcijama s vrijednosnim papirima.
Ekonomski rječnik

Fluktuacije; Oscilacije; Nestabilnost; Promijeniti— (1) Promjena cijena ili kamatnih stopa u smjeru povećanja ili pada. Izraz "fluktuacija" može se odnositi i na male i na velike promjene u cijeni dionice........
Ekonomski rječnik

Maksimalna fluktuacija (ograničenja fluktuacije cijene/promjene)— Maksimalna dnevna fluktuacija cijene dopuštena na nekim tržištima. Vidi: granica (granica/granica).
Ekonomski rječnik

Preusklađivanje (mehanizam za zajedničku fluktuaciju tečajeva/reviziju tečajeva)— Proces devalvacije jedne ili više valuta uključenih u Europski monetarni sustav. Tečaj za svaku europsku valutu određen je tečajem........
Ekonomski rječnik

Fluktuacije tečaja— - promjena tečajnih cijena za valutu, vrijednosni papiri pod utjecajem promjena potražnje, ponude i drugih čimbenika.
Pravni rječnik

Sezonske varijacije— - povećanje ili smanjenje razine gospodarske aktivnosti, razmjera gospodarske aktivnosti zbog promjene godišnjih doba.
Pravni rječnik

Harmonijske oscilacije— , periodično gibanje, kao što je gibanje KLITNA, atomske vibracije ili oscilacije u električnom krugu. Tijelo izvodi neprigušene harmonijske oscilacije kada........
Znanstveni i tehnički enciklopedijski rječnik

Prisilne oscilacije— nastaju u sustavu pod utjecajem periodičnih vanjskih utjecaja (na primjer, prisilne oscilacije njihala pod utjecajem periodične sile, prisilne oscilacije.......

Harmonijske oscilacije- karakterizirani su promjenom oscilirajuće veličine x (primjerice, otklon njihala od ravnotežnog položaja, napon u krugu izmjenične struje i sl.) u vremenu t prema zakonu:....... .
Veliki enciklopedijski rječnik

Prigušene oscilacije- vlastite oscilacije, čija amplituda A opada s vremenom t prema eksponencijalnom zakonu A(t) = Aoexp (- ?t) (? - pokazatelj slabljenja zbog disipacije energije zbog viskoznih sila........
Veliki enciklopedijski rječnik

Oscilacije- pokreti (promjene stanja) s različitim stupnjevima ponovljivosti. Najčešće: 1) mehaničke vibracije: vibracije njihala, mosta, broda........
Veliki enciklopedijski rječnik

Vibracije kristalne rešetke- vibracije atoma ili iona koji čine kristal oko ravnotežnih položaja (čvorovi kristalne rešetke). Amplituda toplinskih vibracija kristalne rešetke........
Veliki enciklopedijski rječnik

Oscilacije ultra visoke frekvencije— (mikrovalne) elektromagnetske oscilacije s frekvencijom od 3108 do 31011 Hz; koristi se u fizioterapiji za lokalno površinsko zagrijavanje tjelesnih tkiva.
Veliki medicinski rječnik

Ultrazvučne vibracije— vidi Ultrazvuk.
Veliki medicinski rječnik

Nelinearni sustavi— oscilatorni sustavi u kojima se odvijaju procesi koji su opisani nelinearnim diferencijalnim jednadžbama. Svojstva i karakteristike nelinearnih sustava ovise o njihovom stanju.
Veliki enciklopedijski rječnik

Normalne oscilacije— prirodne (slobodne) harmonijske oscilacije linearnih sustava s konstantnim parametrima, u kojima nema gubitka ili dotoka energije izvana. Svaki je normalan.........
Veliki enciklopedijski rječnik

Oscilacije plazme— različite vrste oscilacija koje se pobuđuju i šire u plazmi. To uključuje spore oscilacije teških iona u odnosu na brzo oscilirajuće elektrone........
Veliki enciklopedijski rječnik

Diskontinuirane oscilacije- relaksacijske oscilacije, kod kojih je oscilatorni proces slijed sporih (u usporedbi s periodom oscilacije) promjena stanja......
Veliki enciklopedijski rječnik

NELINEARNE OSCILACIJE

Oscilacije u fizikalnom sustavi opisani nelinearnim sustavima običnih diferencijalnih jednadžbi

Gdje sadrži članove najmanje 2. stupnja u vektorskim komponentama - vektorska funkcija vremena - mali parametar (ili i ). Moguće generalizacije povezane su s razmatranjem diskontinuiranih sustava, utjecaja s diskontinuiranim karakteristikama (na primjer, kao što je histereza), kašnjenja i slučajnih utjecaja, integro-diferencijalnih i diferencijalnih operatorskih jednadžbi, oscilatornih sustava s distribuiranim parametrima opisanim parcijalnim diferencijalnim jednadžbama, kao i kao korištenje metoda optimalnog upravljanja nelinearnim oscilatornim sustavima. Glavni opći zadaci N.K.: pronalaženje ravnotežnih položaja, stacionarni režimi, posebno periodični. gibanja, samooscilacije i proučavanje njihove stabilnosti, problemi sinkronizacije i stabilizacije N.K.

Sve tjelesno sustavi su, strogo govoreći, nelinearni. Jedna od najkarakterističnijih značajki NC je njihovo kršenje načela superpozicije oscilacija: rezultat svakog od utjecaja u prisutnosti drugog ispada drugačiji nego u odsutnosti drugog utjecaja.

Kvazilinearni sustavi - sustavi (1) za . Glavna metoda istraživanja je metoda malih parametara. Prije svega, to je Poincaré-Lindstedtova metoda za određivanje periodičnosti. rješenja kvazilinearnih sustava koji su analitički u parametru za dovoljno male vrijednosti, bilo u obliku nizova u potencijama (vidi Poglavlje IX), ili u obliku nizova u potencijama i - dodaci početnim vrijednostima komponenti vektora (vidi Poglavlje III). Za daljnji razvoj ove metode vidi, na primjer, u -.

Druga metoda malog parametra je metoda usrednjavanje. Istodobno su u proučavanje kvazilinearnih sustava prodrle i nove metode: asimptotička. metode (vidi,), metoda K-funkcija (vidi), temeljena na temeljnim rezultatima A. M. Lyapunov - N. G. Chetaeva, itd.

U suštini nelinearni sustavi, u kojima ne postoji unaprijed određeni mali parametar. Za sustave Lyapunov

a među svojstvenim vrijednostima matrice nema višekratnika korijena - analitički vektorska funkcija X, proširenje počinje s članovima najmanje 2. reda, a postoji i analitički jedan posebnog tipa (vidi § 42) predložio je metodu za pronalaženje periodičnih. rješenja u obliku niza u potencijama proizvoljne konstante c (za koju se može uzeti početna vrijednost jedne od dvije kritične varijable ili ).

Za sustave bliske sustavima Lyapunov,

gdje je istog oblika kao u (2), - analitički. vektorska funkcija i mali parametar, kontinuirana i -periodična in t, također je predložena metoda za određivanje periodičnosti. odluke (vidi Poglavlje VIII). Sustavi tipa Lyapunov (2), u kojima ima l nula svojstvenih vrijednosti s jednostavnim elementarnim djeliteljima, dvije čisto imaginarne svojstvene vrijednosti i nema svojstvene vrijednosti koje su višestruke - isto kao u (2), može se svesti na Ljapunovljeve sustave (vidi IV.2). N.K. je također studirao u sustavima Lyapunov i u tzv. Sustave Lyapunov s prigušivanjem, a također je riješio opći problem pumpanja energije u njih (vidi poglavlja I, III, IV).

Neka se suštinski nelinearni reducira na Jordanov oblik svog linearnog dijela

gdje vektor prema pretpostavci ima najmanje jednu komponentu različitu od nule; , jednaki su nuli ili jedan, u nedostatku ili prisutnosti složenih elementarnih djelitelja matrice linearnog dijela, - koeficijenti; Vrijednosti vektora s cjelobrojnim komponentama su sljedeće:

Zatim postoji normalizirajuća transformacija:

što dovodi (3) do normalnog oblika diferencijalnih jednadžbi

i to tako da ako . Dakle, (5) sadrži samo , tj. koeficijenti mogu biti različiti od nule samo za one za koje je zadovoljena jednadžba rezonancije

igraju značajnu ulogu u teoriji oscilacija. Proučavana je konvergencija i divergencija normalizirajuće transformacije (4) (vidi Dio I, Poglavlja II, III); dan je izračun koeficijenata (pomoću njihove simetrizacije) (vidi § 5.3). U nizu problema o nelinearnom obliku bitno nelinearnih autonomnih sustava, metoda normalnih oblika pokazala se učinkovitom (vidi poglavlja VI-VIII).

Među ostalim metodama za proučavanje suštinski nelinearnih sustava koristi se metoda preslikavanja točaka (vidi), stroboskopska. metodski i funkcionalno-analitički. metode.

Kvalitativne metode nelinearnih diferencijalnih jednadžbi ovdje je proučavanje oblika integralnih krivulja nelinearnih običnih diferencijalnih jednadžbi koje je proveo A. Poincare (N. Poincare, vidi). Primjene za probleme N.K. opisane autonomnim sustavima 2. reda, vidi. Proučavana su pitanja postojanja periodičnosti. rješenja i njihova stabilnost u velikom za višedimenzionalne sustave; razmatraju se gotovo periodične neperiodične jednadžbe s primjenama teorije običnih diferencijalnih jednadžbi za određene derivacije na probleme relaksacijskih nelinearnih jednadžbi, vidi.

Važni aspekti N. k i lit. vidi članke Perturbacije, teorija oscilacija.

Lit.: Poincare A., Izbr. djela, prev. s francuskog, sv. 1, M., 1971.; Andronov A. A., Witt A. A., Khaikin S. E., Teorija oscilacija, 2. izdanje, M., 1959.; Bulgakov B.V., Oscilacije, M., 1954; Malkin I.G., Neki problemi teorije nelinearnih oscilacija, M., 1956: Bogolyubov N.N., Izbr. djela, sv.1, K., 1969; [b] Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A., Asimptotske metode u teoriji nelinearnih oscilacija, 4. izdanje, M-, 1974.; Kamenkov G.V., Izbr. djela, sv.1-2, M., 1971-72; Lyapunov A. M., Zbirka. soč., sv. 2, M.-L., 195B, str. 7-263; Starzhinsky V.M., Primijenjene metode nelinearnih oscilacija, M., 1977; Bruno A.D., "Tr. Moskovsko matematičko društvo", 1971., svezak 25, str. 119-262; 1972, svezak 26, str. 199-239; Neimark Yu. I., Metoda preslikavanja točaka u teoriji nelinearnih oscilacija, M., 1972; Minorsky N., Uvod u nelinearnu mehaniku, Ann Arbor, 1947.; Krasnoselsky M.A., Burd V.Sh., Kolesov Yu.S., Nelinearne gotovo periodične oscilacije, M., 1970.; Poincaré A., O krivuljama određenim diferencijalnim jednadžbama, trans. s francuskog, M. -L., 1947.; Butenin N.V., Neimark Yu.I., Fufaev N.A., Uvod u teoriju nelinearnih oscilacija, M., 1976; Plise V.A., Nelokalni problemi teorije oscilacija, M. -L., 1964; Mishchenko E. F., Rozov N. X., Diferencijalne jednadžbe s malim parametrom i relaksacijskim oscilacijama, M., 1975.

V. M. Staržinski.

Matematička enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Pogledajte što su "NELINEARNE OSCILACIJE" u drugim rječnicima:

nelinearne oscilacije- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Englesko-ruski rječnik elektrotehnike i elektroenergetike, Moskva, 1999] Teme elektrotehnike, osnovni pojmovi EN nelinearne oscilacije ... Vodič za tehničke prevoditelje

nelinearne oscilacije- netiesiniai virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. nelinearne oscilacije; nelinearne vibracije vok. nichtlineare Schwingungen, f rus. nelinearne oscilacije, n pranc. nelinearne oscilacije, f … Fizikos terminų žodynas

Izraz koji se ponekad koristi za označavanje oscilacija u nelinearnim sustavima (vidi Nelinearni sustavi) ... Velika sovjetska enciklopedija

Nelinearne oscilacije Nelinearne vibracije Specijalizacija ... Wikipedia

Procesi u titranju. i valni sustavi koji ne zadovoljavaju princip superpozicije. Nelinearne oscilacije ili valovi općenito međusobno djeluju jedni na druge, a njihove karakteristike (frekvencija, oblik vibracije, brzina širenja, tip profila... ... Fizička enciklopedija

Oscilacijski sustavi snažno ovise o procesima koji se u njima odvijaju. Oscilacije takvih sustava opisuju se nelinearnim jednadžbama. Nelinearni fenomeni: mehanički. sustavi gdje moduli elastičnosti tijela ovise o deformacijama potonjih ili koeficijentima. trenje...... Fizička enciklopedija