Vježbajte. Izračunajte determinantu rastavljajući je na elemente nekog retka ili nekog stupca.
Riješenje. Izvedimo najprije elementarne transformacije na redovima determinante, čineći što više nula bilo u retku bilo u stupcu. Da biste to učinili, prvo oduzmite devet trećina od prvog retka, pet trećina od drugog i tri trećine od četvrtog, dobivamo:
Rastavimo dobivenu determinantu na elemente prvog stupca:
Također ćemo proširiti dobivenu determinantu trećeg reda na elemente retka i stupca, nakon što smo prethodno dobili nule, na primjer, u prvom stupcu. Da biste to učinili, oduzmite druga dva retka od prvog retka, a drugi red od trećeg:
Odgovor. 
12. Slough 3. reda
1. Pravilo trokuta
Shematski se ovo pravilo može prikazati na sljedeći način:
Umnožak elemenata u prvoj determinanti koji su povezani ravnim crtama uzima se s predznakom plus; slično, za drugu determinantu, odgovarajući umnošci se uzimaju s predznakom minus, tj.
2. Sarrusovo pravilo
Desno od determinante dodajte prva dva stupca i uzmite umnoške elemenata na glavnoj dijagonali i na njoj paralelnim dijagonalama s znakom plus; i umnošci elemenata sekundarne dijagonale i njoj paralelnih dijagonala s predznakom minus:
3. Proširenje determinante u retku ili stupcu
Determinanta je jednaka zbroju umnožaka elemenata retka determinante i njihovih algebarskih komplemenata. Obično je odabran red/stupac koji sadrži nule. Redak ili stupac duž kojeg se provodi dekompozicija bit će označen strelicom.
Vježbajte. Proširujući prvi red izračunajte determinantu
Riješenje.
Odgovor. 
4. Svođenje determinante na trokutasti oblik
Elementarnim transformacijama nad redovima ili stupcima determinanta se svodi na oblik trokuta i tada je njezina vrijednost, prema svojstvima determinante, jednaka umnošku elemenata na glavnoj dijagonali.
Primjer
Vježbajte. Izračunaj odrednicu 
dovodeći ga u trokutasti oblik.
Riješenje. Prvo napravimo nule u prvom stupcu ispod glavne dijagonale. Sve transformacije bit će lakše izvesti ako je element jednak 1. Da bismo to učinili, zamijenit ćemo prvi i drugi stupac determinante, što će, prema svojstvima determinante, dovesti do toga da ona promijeni predznak u suprotan:
Dalje, dobivamo nule u drugom stupcu umjesto elemenata ispod glavne dijagonale. Opet, ako je dijagonalni element jednak , tada će izračuni biti jednostavniji. Da biste to učinili, zamijenite drugu i treću liniju (i istovremeno promijenite u suprotni predznak determinante):
Zatim napravimo nule u drugom stupcu ispod glavne dijagonale, da bismo to učinili, postupimo na sljedeći način: dodamo tri druga retka u treći red, a dva druga retka u četvrti, dobivamo:
Dalje, iz trećeg retka izvadimo (-10) iz determinante i napravimo nule u trećem stupcu ispod glavne dijagonale, a za to dodamo treću u posljednju liniju:
Definicija1. 7. Minor element determinante je determinanta dobivena iz zadanog elementa precrtavanjem retka i stupca u kojem se pojavljuje odabrani element.
Oznaka: odabrani element determinante, njegov minor.
Primjer. Za 
Definicija1. 8. Algebarski komplement element determinante naziva se njegov minor ako je zbroj indeksa tog elementa i+j paran broj, odnosno broj nasuprot minoru ako je i+j neparan, tj. 
Razmotrimo još jedan način izračunavanja determinanti trećeg reda - takozvano proširenje retka ili stupca. Da bismo to učinili, dokazujemo sljedeći teorem:
Teorem 1.1. Determinanta je jednaka zbroju umnožaka elemenata bilo kojeg od njegovih redaka ili stupaca i njihovih algebarskih komplemenata, tj.
gdje je i=1,2,3.
Dokaz.
Dokažimo teorem za prvi redak determinante, budući da se za bilo koji drugi redak ili stupac može izvesti slično zaključivanje i dobiti isti rezultat.
Nađimo algebarske komplemente elementima prvog retka:
Dakle, za izračunavanje determinante dovoljno je pronaći algebarske komplemente elementima bilo kojeg retka ili stupca i izračunati zbroj njihovih umnožaka s odgovarajućim elementima determinante.
Primjer. Izračunajmo determinantu koristeći ekspanziju u prvom stupcu. Imajte na umu da u ovom slučaju nema potrebe za pretraživanjem, jer ćemo, prema tome, pronaći i 
Stoga,
Determinante viših redova.
Definicija1. 9. determinanta n-tog reda
postoji zbroj n! članova 
od kojih svaki odgovara jednom od n! uređeni skupovi dobiveni r permutacija u paru elemenata iz skupa 1,2,…,n.
Napomena 1. Svojstva determinanti 3. reda vrijede i za determinante n-tog reda.
Opaska 2. U praksi se determinante visokih redova izračunavaju korištenjem ekspanzije redaka ili stupca. To nam omogućuje da smanjimo redoslijed izračunatih determinanti i u konačnici smanjimo problem na pronalaženje determinanti trećeg reda.
Primjer. Izračunajmo determinantu 4. reda 
korištenjem proširenja duž 2. stupca. Da bismo to učinili, pronaći ćemo:
Stoga,
Laplaceov teorem- jedan od teorema linearne algebre. Ime je dobio po francuskom matematičaru Pierre-Simonu Laplaceu (1749. - 1827.), koji je zaslužan za formuliranje ovog teorema 1772. godine, iako je poseban slučaj ovog teorema o rastavljanju determinante u nizu (stupcu) poznavao i Leibniz .
glazura manji se definira na sljedeći način:
Sljedeća izjava je istinita.
Broj minora preko kojih se zbraja u Laplaceovom teoremu jednak je broju načina odabira stupaca iz , odnosno binomnom koeficijentu.
Budući da su reci i stupci matrice ekvivalentni s obzirom na svojstva determinante, Laplaceov teorem može se formulirati za stupce matrice.
Proširenje determinante u nizu (stupac) (Korolar 1)
Široko poznat poseban slučaj Laplaceovog teorema je proširenje determinante u retku ili stupcu. Omogućuje vam da determinantu kvadratne matrice predstavite kao zbroj umnožaka elemenata bilo kojeg njezinog reda ili stupca i njihovih algebarskih komplemenata.
Dopustiti biti kvadratna matrica veličine . Neka nam je zadan i neki broj retka ili stupca matrice. Tada se determinanta može izračunati pomoću sljedećih formula.
Vježbajte. Izračunajte determinantu rastavljajući je na elemente nekog retka ili nekog stupca.
Riješenje. Izvedimo najprije elementarne transformacije na redovima determinante, čineći što više nula bilo u retku bilo u stupcu. Da biste to učinili, prvo oduzmite devet trećina od prvog retka, pet trećina od drugog i tri trećine od četvrtog, dobivamo:
Rastavimo dobivenu determinantu na elemente prvog stupca:
Također ćemo proširiti dobivenu determinantu trećeg reda na elemente retka i stupca, nakon što smo prethodno dobili nule, na primjer, u prvom stupcu. Da biste to učinili, oduzmite druga dva retka od prvog retka, a drugi red od trećeg:
Odgovor. 
12. Slough 3. reda
1. Pravilo trokuta
Shematski se ovo pravilo može prikazati na sljedeći način:
Umnožak elemenata u prvoj determinanti koji su povezani ravnim crtama uzima se s predznakom plus; slično, za drugu determinantu, odgovarajući umnošci se uzimaju s predznakom minus, tj.
2. Sarrusovo pravilo
Desno od determinante dodajte prva dva stupca i uzmite umnoške elemenata na glavnoj dijagonali i na njoj paralelnim dijagonalama s znakom plus; i umnošci elemenata sekundarne dijagonale i njoj paralelnih dijagonala s predznakom minus:
3. Proširenje determinante u retku ili stupcu
Determinanta je jednaka zbroju umnožaka elemenata retka determinante i njihovih algebarskih komplemenata. Obično je odabran red/stupac koji sadrži nule. Redak ili stupac duž kojeg se provodi dekompozicija bit će označen strelicom.
Vježbajte. Proširujući prvi red izračunajte determinantu
Riješenje.
Odgovor. 
4. Svođenje determinante na trokutasti oblik
Elementarnim transformacijama nad redovima ili stupcima determinanta se svodi na oblik trokuta i tada je njezina vrijednost, prema svojstvima determinante, jednaka umnošku elemenata na glavnoj dijagonali.
Primjer
Vježbajte. Izračunaj odrednicu 
dovodeći ga u trokutasti oblik.
Riješenje. Prvo napravimo nule u prvom stupcu ispod glavne dijagonale. Sve transformacije bit će lakše izvesti ako je element jednak 1. Da bismo to učinili, zamijenit ćemo prvi i drugi stupac determinante, što će, prema svojstvima determinante, dovesti do toga da ona promijeni predznak u suprotan:
Matrična determinanta
Pronalaženje determinante matrice vrlo je čest problem u višoj matematici i algebri. U pravilu se ne može bez vrijednosti determinante matrice pri rješavanju složenih sustava jednadžbi. Cramerova metoda za rješavanje sustava jednadžbi temelji se na izračunavanju determinante matrice. Pomoću definicije determinante utvrđuje se prisutnost i jedinstvenost rješenja sustava jednadžbi. Stoga je teško precijeniti važnost sposobnosti ispravnog i preciznog pronalaženja determinante matrice u matematici. Metode za rješavanje determinanti teoretski su vrlo jednostavne, ali kako se veličina matrice povećava, izračuni postaju vrlo glomazni i zahtijevaju veliku pažnju i puno vremena. U tako složenim matematičkim izračunima vrlo je lako napraviti manju pogrešku ili tipfeler, što će dovesti do pogreške u konačnom odgovoru. Pa čak i ako pronađete matrična determinanta sami, važno je provjeriti rezultat. To se može učiniti s našom uslugom Pronalaženje determinante matrice online. Naša usluga uvijek daje apsolutno točne rezultate, bez grešaka ili administrativnih pogrešaka. Možete odbiti neovisne izračune, jer s primijenjene točke gledišta, nalaz determinanta matrice Nije edukativne prirode, već jednostavno zahtijeva puno vremena i numeričkih izračuna. Stoga, ako je u vašem zadatku definicija determinante matrice su pomoćni, sporedni obračuni, koristite našu uslugu i pronađite determinantu matrice na internetu!
Svi izračuni se provode automatski s najvećom točnošću i potpuno su besplatni. Imamo vrlo zgodno sučelje za unos elemenata matrice. No glavna razlika između naše usluge i sličnih je mogućnost dobivanja detaljnog rješenja. Naša usluga u izračunavanje determinante matrice online uvijek koristi najjednostavniju i najkraću metodu i detaljno opisuje svaki korak transformacija i pojednostavljenja. Tako dobivate ne samo vrijednost determinante matrice, konačni rezultat, već i cijelo detaljno rješenje.
Jednak zbroju proizvoda elemenata retka ili stupca s njihovim algebarskim komplementima, tj. , gdje je i 0 fiksan.
Izraz (*) naziva se proširenje determinante D na elemente retka s brojem i 0 .
Svrha usluge. Ova je usluga osmišljena za pronalaženje determinante matrice online s cijelim procesom rješenja snimljenim u Word formatu. Dodatno, predložak rješenja kreira se u Excelu.
upute. Odaberite dimenziju matrice, kliknite Dalje. Determinanta se može izračunati na dva načina: a-priorat I po retku ili stupcu. Ako trebate pronaći determinantu stvaranjem nula u jednom od redaka ili stupaca, možete koristiti ovaj kalkulator.
Algoritam za pronalaženje determinante
- Za matrice reda n=2 determinanta se izračunava pomoću formule: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
- Za matrice reda n=3 determinanta se računa algebarskim sabiranjem odn Sarrusova metoda.
- Matrica koja ima dimenziju veću od tri se rastavlja na algebarske komplemente, za koje se izračunavaju njihove determinante (minori). Na primjer, Determinanta matrice 4. reda pronađeno proširenjem u retke ili stupce (vidi primjer).
Koristimo metodu dekompozicije duž prvog reda.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)
Metode izračuna determinanti
Određivanje determinante algebarskim sabiranjem je uobičajena metoda. Njegova pojednostavljena verzija je izračun determinante po Sarrusovom pravilu. Međutim, kada je dimenzija matrice velika, koriste se sljedeće metode:- izračunavanje determinante metodom redukcije reda
- izračunavanje determinante Gaussovom metodom (svođenjem matrice na trokutasti oblik).
Primijenjena uporaba odrednica
Determinante se u pravilu izračunavaju za određeni sustav zadan u obliku kvadratne matrice. Razmotrimo neke vrste problema na pronalaženje determinante matrice.
Ponekad je potrebno pronaći nepoznati parametar a za koji bi determinanta bila jednaka nuli. Da biste to učinili, potrebno je izraditi jednadžbu determinante (na primjer, prema pravilo trokuta) i izjednačujući ga s 0, izračunajte parametar a. dekompozicija stupca (prvi stupac):
Minor za (1,1): Precrtajte prvi red i prvi stupac iz matrice.
Nađimo determinantu za ovaj minor. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6.
Odredimo minor za (2,1): da bismo to učinili, brišemo drugi redak i prvi stupac iz matrice.
Nađimo determinantu za ovaj minor. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4. Minor za (3,1): Precrtajte 3. red i 1. stupac iz matrice.Nađimo determinantu za ovaj minor. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Glavna determinanta je: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14
Pronađimo determinantu koristeći proširenje red po red (po prvom redu):
Minor za (1,1): Precrtajte prvi red i prvi stupac iz matrice.
Nađimo determinantu za ovaj minor. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6. Minor za (1,2): Precrtajte 1. red i 2. stupac iz matrice. Izračunajmo determinantu za ovaj minor. ∆ 1,2 = (3 (-2)-1 1) = -7. A da bismo pronašli minor za (1.3), precrtamo prvi red i treći stupac iz matrice. Nađimo determinantu za ovaj minor. ∆ 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Pronađite glavnu determinantu: ∆ = (1 (-6)-0 (-7)+(-2 4)) = -14