Cikličke grupe

Ciklička grupa je grupa koja je pravilna ciklička podgrupa. U primjeru 5.7 grupa G ima cikličku podgrupu H 5 = G. To znači da je grupa G ciklička grupa. U ovom slučaju, element koji generira cikličku podskupinu također može generirati samu grupu. Ovaj element se u daljnjem tekstu naziva "generator". Ako je g generator, elementi u konačnoj cikličkoj grupi mogu se napisati kao

(e,g,g 2 ,….., g n-1) , gdje je g n = e.

Imajte na umu da ciklička grupa može imati mnogo generatora.

Primjer 5.9

A. Grupa G = je ciklička grupa s dva generatora, g = 1 i g = 5.

b. Grupa je ciklička grupa s dva generatora, g = 3 i g = 7.

Lagrangeov teorem

Lagrangeov teorem pokazuje odnos između redoslijeda skupine i redoslijeda njezine podskupine. Pretpostavimo da je G grupa i H podgrupa grupe G. Ako je poredak G i H |G| i |H| , odnosno, onda prema ovom teoremu |H| dijeli |G| . U primjeru 5.7 |G| = 6. Redoslijed podgrupa je |H1| = 1, | H2| = 3, |H3| = 2 i |H4| = 6. Očito, svi ovi redovi su djelitelji 6.

Lagrangeov teorem ima vrlo zanimljivu primjenu. Kada je dana grupa G i njen poredak |G| , poredak potencijalnih podskupina može se lako odrediti ako se mogu pronaći djelitelji. Na primjer, grupni poredak G = - ovo je |17| . Djelitelji broja 17 su 1 i 17. To znači da ova skupina može imati samo dvije podskupine - neutralni element i H 2 = G.

Redoslijed elemenata

Redoslijed elemenata u grupi ord(a) (order(a)) je najmanji cijeli broj n takav da je a n = e. Drugim riječima: poredak elementa je poredak grupe koju on generira.

Primjer 5.10

a. U skupini G = , redoslijed elemenata: red ord(0) = 1, red ord(1) = 6, red red(2) = 3, red red(3) = 2, red red(4) = 3, red red(5) = 6.

b. U skupini G = , poredak elemenata: poredak ord (1) = 1 , red red (3) = 4 , red red (7) =4 , red (9) = 2 .

Konačne grupe

Grupa (polugrupa) naziva se ultimativno, ako se sastoji od konačnog broja elemenata. Broj elemenata konačne grupe naziva se njen u redu. Svaka podgrupa konačne grupe je konačna. I ako NÍ G– podskupina grupe G, zatim za bilo koji element AÎ G gomila Na={x: x=h◦a, za bilo koji hÎ H) Zove se lijevo coset Za G relativno N. Jasno je da broj elemenata u Na jednak redoslijedu N. (Definicija se može formulirati na sličan način a N– desni coset s obzirom na N).

Bitno je da za bilo koju podskupinu N skupine G bilo koja dva lijeva (desna) kozeta prema N ili se podudaraju ili se ne sijeku, stoga se svaka grupa može prikazati kao unija disjunktnih lijevih (desnih) kozeta pomoću N.

Doista, ako dvije klase N a I Hb, Gdje a, bÎ G, imaju zajednički element x, onda postoji tÎ H takav da x = t◦a. A onda je lijevi razred za x: N x={g: g=h◦x= h◦(t◦a) = (h◦t)◦a} Í H a, Ali a=t ‑1 ◦x I N a={g: g=h◦a= h◦(t ‑1 ◦x) = (h◦t ‑1)◦x} Í Hx. Odavde N x=N a. Slično se može pokazati da N x=N b. I stoga N a=N b. Ako razredi N a I Hb nemaju zajedničkih elemenata, onda se ne sijeku.

Ovo dijeljenje grupe na lijeve (desne) kosetove naziva se razlaganje grupe na podskupinu H.

Teorem 2.6.1. Red konačne grupe dijeli se redom bilo koje od njezinih podgrupa.

Dokaz. Jer G je konačna grupa, onda je takva i svaka njena podgrupa N ima konačan red. Razmotrimo dekompoziciju grupe na podskupinu N. U svakom kosetu u ovoj dekompoziciji broj elemenata je isti i jednak redu N. Stoga, ako n– grupni poredak G, A k– redoslijed podskupina N, To n=m× k, Gdje m– broj košeta prema N u grupnoj dekompoziciji G.

Ako za bilo koji element aÎ G Þ N a=a N(lijevi i desni kozeti po podskupini N podudarati), zatim N nazvao normalni djelitelj skupine G.

Izjava: Ako G je komutativna grupa, onda svaka njena podgrupa N je normalni djelitelj G.

Zbog asocijativnosti djelovanja u skupini (polugrupi), možemo govoriti o „proizvodu“ tri elementa ( A◦b◦c) =(A◦b)◦c = A◦(b◦c). Slično tome, koncept složenog proizvoda n elementi: A 1 ◦A 2 ◦…◦i n = ◦ i n = = ◦.

Raditi n identični elementi grupe nazivaju se stupanj elementa i naznačen je a n=. Ova definicija ima smisla za svaki prirodni n. Za bilo koji element grupe aÎ G označiti A 0 =e– neutralni element grupe G. I negativne moći elementa a ‑ n definirano kao ( a ‑1)n ili ( a n) -1 , gdje je a-1 – inverzni element prema A. Obje definicije a ‑ n podudarati, jer a n◦(a ‑1)n = (A◦A◦ ¼◦ A)◦(a ‑1 ◦a‑1◦ ¼◦ a ‑1) = A◦A◦¼◦( A◦a ‑1)◦a-1 ◦¼◦ a ‑1 =e n =e. Tako, ( a ‑1)n = (a n) ‑1 .

U aditivnoj skupini analog stupnja elementa je a n htjeti n njegov višestruki, obično označen na, što ne treba shvatiti kao djelo n na A, jer nÎℕ i možda nÏ G. Da. na⇋, gdje n Oℕ i 0 A=e⇋0 i (- n)a = ‑(na) = n(‑a) za bilo koji prirodni n, Gdje (- a) – inverzno prema aÎ G.

Lako je to pokazati odabranim zapisom za bilo koje cijele brojeve m I n i za bilo koga aÎ G ispunjena su poznata svojstva: A) u multiplikativnom zapisu a n ◦a m = a n + m i ( a n)m = a nm; b) u aditivnom zapisu na+ma = (n+m)a I n(ma)=(nm)a.

Razmotrimo podskup grupe G, sastavljen od svih potencija proizvoljnog elementa gÎ G. Označimo to A g. Tako, A g ={g 0 , g 1 , g ‑1 , g 2 , g-2,¼). Očito, A g je podskupina grupe G, jer za bilo koje elemente x,naÎ A g slijedi da ( x◦na)Î A g, i za bilo koji element xÎ A g biti će x‑1 O A g, Osim, g 0 =eÎ A g.

Podskupina A g nazvao ciklička podskupina skupine G, generiran elementom g. Ova podgrupa je uvijek komutativna, čak i ako je sama G nije komutativno. Ako grupa G podudara s jednom od svojih cikličkih podskupina, tada se naziva ciklička grupa, generiran elementom g.

Ako sve moći elementa g su različiti, zatim grupa G nazvao beskrajan ciklička grupa i element g– element beskonačni red.

Ako među elementima cikličke grupe ima jednakih, npr. g k=g m na k>m, To g k‑m=e; i, označavanje k-m kroz n, dobivamo g n=e, nÎℕ.

Najmanji prirodni pokazatelj n takav da g n=e, nazvao redoslijed elementa g, i sam element g nazvao element konačnog reda.

Takav će se element uvijek naći u konačnoj skupini, ali može biti i u beskonačnoj skupini.

Grupe čiji svi elementi imaju konačan red nazivaju se periodički.

Budući da svaki element konačne grupe ima konačan red, sve su konačne grupe periodične. Štoviše, sve cikličke podskupine konačne grupe su periodične, jer su konačne, a svaki element konačnog reda n generira cikličku grupu istog reda n, koji se sastoji od elemenata ( g 0 , g 1 , g 2 ¼, g n-1 ). Doista, kada bi broj elemenata bio jednak nekim k<n, Zatim g k=e=g n, što je u suprotnosti s izborom n, kao najmanji stupanj takav da g n=e; na drugoj strani, k>n također nemoguće, jer u ovom slučaju postojali bi identični elementi.

Izjava: 1) svi stupnjevi g 0 , g 1 , g 2 ¼, g n-1 su različiti, jer kad bi bilo jednakih, npr. g i=g j (ja>j), To g i - j=e, ali ( ja‑j)<n, i po definiciji n – najmanji stupanj je takav da g n=e.

2) Bilo koja druga diploma g, pozitivan ili negativan, jednak jednom od elemenata g 0 , g 1 , g 2 ¼, g n-1, jer bilo koji cijeli broj k može se predstaviti izrazom: k=nq+r, Gdje q,rÎℤ i 0£ r<n, r– ostatak i g k=g nq + r= g nq° gr= (g n)q° gr= e q° gr= gr.

1) Svaka grupa ima jedinstven element prvog reda ( e), generirajući cikličku podgrupu prvog reda koja se sastoji od jednog elementa e.

2) Razmotrimo skupinu supstitucija S 3, koji se sastoji od elemenata: , , , , , . Narudžba S 3 =6. Redoslijed elemenata A je jednako 2, jer . Redoslijed elemenata b također je jednako 2, jer . Redoslijed elemenata S je jednako 3, jer i . Redoslijed elemenata f također je jednako 3, jer i . I na kraju red d je jednako 2, jer . Dakle, cikličke podskupine S 3 generiran elementima e, a, b, d, c I f, odnosno jednako: ( e}, {e, a}, {e, b}, {e, d}, {e, c, f) i ( e, f, c), gdje se posljednja dva podudaraju. Također primijetite da poredak svake cikličke podskupine dijeli poredak grupe bez ostatka. Sljedeći teorem je istinit.

Teorem 2.7.1. (Lagrange) Red konačne grupe dijeli se redom bilo kojeg od njezinih elemenata (budući da se red elementa i red cikličke podgrupe koju on generira podudaraju).

Također slijedi da bilo koji element konačne grupe, kada se podigne na potenciju reda grupe, daje jedinicu grupe. (Jer g m=g nk=e k=e, Gdje m– grupni red, n– poredak elemenata g, k– cijeli broj).

U skupini S postoje 3 podskupine N={e, c, f) je normalni djelitelj, ali podskupine 2. reda nisu normalni djelitelji. To se lako može provjeriti pronalaženjem lijevog i desnog kozeta po N za svaki element grupe. Na primjer, za element A lijevo coset Na={e ◦ a, S◦ A, f◦ a} = {A, b, d) i desna košeta a N={a ◦ e, A◦ c, A◦ f} = {A, d, b) podudarati se. Isto tako i za sve ostale elemente S 3 .

3) Skup svih cijelih brojeva sa zbrajanjem tvori beskonačnu cikličku grupu s generirajućim elementom 1 (ili –1), jer svaki cijeli broj je višekratnik 1.

4) Razmotrimo skup korijena n- moć jedinstva: E n=. Ovaj skup je grupa s obzirom na operaciju množenja korijena. Doista, proizvod bilo koja dva elementa e k I e m iz E n, Gdje k, m £ n-1 će također biti element E n, budući da je = = , gdje je r=(k+m) mod n I r £ n-1; množenje asocijativni, neutralni element e=e 0 =1 i za bilo koji element e k postoji obrnuto i . Ova grupa je ciklička, njen generirajući element je primitivni korijen. Lako je vidjeti da su sve ovlasti različite: , dalje za k³ n korijeni se počinju ponavljati. Na kompleksnoj ravnini korijeni se nalaze na kružnici jediničnog radijusa i dijele je na n jednakih lukova, kao što je prikazano na slici 11.

Posljednja dva primjera u biti iscrpljuju sve cikličke grupe. Budući da je sljedeći teorem istinit.

Teorem 2.7.2. Sve beskonačne cikličke grupe su međusobno izomorfne. Sve konačne cikličke grupe reda n su izomorfne jedna drugoj.

Dokaz. Neka ( G, ∘) je beskonačna ciklička grupa s generirajućim elementom g. Zatim postoji bijektivno preslikavanje f: ℤ ® G tako da za bilo koje cijele brojeve k I m njihove slike f(k) I f(m), jednaki respektivno g k I g m, su elementi G. I pri čemu f(k+m)=f(k)∘f(m), jer g k + m=g k∘ g m.

Neka sada ( G, ∘) je konačna ciklička grupa reda n s generirajućim elementom g. Zatim svaki element g kÎ G jedini način za podudaranje elementa je e kÎ E n(0£ k<n), prema pravilu f(g k)=e k. I u isto vrijeme za bilo koji g k I g mÎ G slijedi to f(g k∘ g m)=f(g k) ∘f(g m), jer f(g k∘ g m)=f(g k + m)=f(gr), Gdje r=(k+m) mod n, I f(gr)=e r=e k× e m. Jasno je da je takvo preslikavanje bijektivno preslikavanje.

Podskupine cikličkih skupina

Sljedeći teorem opisuje strukturu podgrupa cikličkih grupa.

Teorem 1.4. Podskupina cikličke skupine je ciklička. Ako je G = (a)uH - neidentitetska podskupina grupe G,moH = (a P), gdje je n - najmanji prirodni broj takav da je n e H.

Dokaz. Neka je G = (a) i N- podskupina grupe G. Ako podskupina N samac, dakle N =(e) je ciklička skupina. Neka N- nejedinička podskupina. Označimo sa P najmanji prirodni broj takav da kemijska olovka, i to ćemo dokazati N = (a n). Uključenje, Ubrajanje ( a str) Sa N očito. Dokažimo obrnutu inkluziju. Neka kokoš. Jer G = (a), onda postoji cijeli indikator Do, takav da h = a k. Podijelimo se Do na P sa ostatkom: Do = nq+ g, gdje je 0 p. Ako pretpostavimo da g F 0, tada dobivamo h = a k = a pa p h a g, odakle a r = a~ p hN e N. S minimalnim pokazateljem došli smo do kontradikcije P. Stoga je r = 0 i k - nq. Odavde h = a k = a p h e a"), dakle, N sa ( A p), što znači H = (a P). Teorem je dokazan.

Generiranje elemenata cikličke grupe

Koji elementi mogu generirati cikličku grupu? Na ovo pitanje odgovaraju sljedeća dva teoreme.

Teorem 1.5. Neka je dana ciklička grupa G = (a) beskonačnog reda. Zatim (a) - (A Do) ako i samo ako je k - ± 1.

Dokaz. Neka G = (a),|a| = °° i (a) = (a k). Zatim postoji cijeli broj P, takav da a = a kp. Stoga je a*" -1 = e, a budući da | a = Da kp - 1 = 0. Ali tada kp = 1 IR-± 1. Obratna tvrdnja je očita.

Teorem 1.6. Neka je G = (a) reda m ciklička grupa. Tada je (a) = (a k) ako i samo ako GCD(/s, T) = 1.

Dokaz.(=>) Neka je (a) = (a k), Dokažimo da je gcd(/c, T) - 1. Označimo NODC-ove, t) - d. Jer A e (a) - (a k), Da a = a kn za neki cijeli broj P. Po svojstvu redoslijeda elemenata slijedi da je (1 - kp) : T, oni. 1 - kp = mt za neki cijeli broj t. Ali tada je 1 = (kp + mt) : d, odakle je d = 1 i gcd(/c, T)= 1.

(Neka GCD (k, t) = 1. Dokažimo to (A) = (a k). Uključenje, Ubrajanje (od do) s (a) očito. Obrnuto, iz uvjeta GCD№, t) = 1 slijedi postojanje cijelih brojeva I i v takav da ki + mv = 1. Koristeći se činjenicom da | a | - T, dobivamo a = a ku+mv = a ku a mv = a ki e (a k). Stoga, (a) = (a do). Teorem je dokazan.