Za cijele brojeve n veće od 2, jednadžba x n + y n = z n nema rješenja različita od nule u prirodnim brojevima.
Vjerojatno se sjećate iz školskih dana Pitagorin poučak: Kvadrat hipotenuze pravokutnog trokuta jednak je zbroju kvadrata kateta. Možda se sjećate i klasičnog pravokutnog trokuta sa stranicama čije su duljine u omjeru 3:4:5. Za njega Pitagorin poučak izgleda ovako:
Ovo je primjer rješavanja generalizirane Pitagorine jednadžbe u cijelim brojevima različitim od nule s n= 2. Fermatov posljednji teorem (također nazvan "Fermatov posljednji teorem" i "Fermatov posljednji teorem") je izjava da za vrijednosti n> 2 jednadžbe oblika x n + y n = z n nemaju rješenja različita od nule u prirodnim brojevima.
Povijest Posljednjeg Fermatovog teorema vrlo je zanimljiva i poučna, i to ne samo za matematičare. Pierre de Fermat pridonio je razvoju raznih područja matematike, no glavni dio njegove znanstvene ostavštine objavljen je tek posthumno. Činjenica je da je matematika za Fermata bila nešto poput hobija, a ne profesionalnog zanimanja. Dopisivao se s vodećim matematičarima svoga vremena, ali nije nastojao objaviti svoj rad. Fermatovi znanstveni spisi uglavnom se nalaze u obliku privatne korespondencije i fragmentarnih bilježaka, često napisanih na marginama raznih knjiga. Nalazi se na marginama (drugog toma starogrčke Diofantove "Aritmetike". - Bilješka prevoditelj) ubrzo nakon smrti matematičara, potomci su otkrili formulaciju poznatog teorema i postskriptum:
« Pronašao sam zaista prekrasan dokaz za to, ali ova polja su preuska za to».
Nažalost, Fermat se očito nikada nije potrudio zapisati "čudesan dokaz" koji je pronašao, a potomci su ga bezuspješno tražili više od tri stoljeća. Od sve Fermatove raspršene znanstvene baštine, koja sadrži mnoge iznenađujuće izjave, Veliki teorem je bio taj koji je tvrdoglavo odbijao biti riješen.
Uzalud je tko god pokušao dokazati Fermatov posljednji teorem! Još jedan veliki francuski matematičar René Descartes (1596–1650) nazvao je Fermata „hvalisavcem”, a engleski matematičar John Wallis (1616–1703) nazvao ga je „prokletim Francuzom”. Sam Fermat je, međutim, još uvijek iza sebe ostavio dokaz svog teorema za ovaj slučaj n= 4. Uz dokaz za n= 3 riješio je veliki švicarsko-ruski matematičar iz 18. stoljeća Leonhard Euler (1707–83), nakon čega, u nemogućnosti pronalaska dokaza za n> 4, u šali je predložio da se pretraži Fermatova kuća kako bi se pronašao ključ izgubljenog dokaza. U 19. stoljeću nove metode u teoriji brojeva omogućile su dokazivanje tvrdnje za mnoge cijele brojeve unutar 200, ali opet, ne za sve.
Godine 1908. ustanovljena je nagrada od 100.000 njemačkih maraka za rješavanje ovog problema. Nagradni fond ostavio je njemački industrijalac Paul Wolfskehl, koji je, prema legendi, namjeravao počiniti samoubojstvo, ali je bio toliko ponesen Fermatovim posljednjim teoremom da se predomislio o smrti. S pojavom strojeva za zbrajanje, a potom i računala, traka vrijednosti n počeo rasti sve više i više - na 617 do početka Drugog svjetskog rata, na 4001 1954. godine, na 125 000 1976. godine. Krajem 20. stoljeća najjača računala u vojnim laboratorijima u Los Alamosu (New Mexico, SAD) bila su programirana da u pozadini (slično načinu rada čuvara zaslona osobnog računala) rješavaju Fermatov problem. Tako je bilo moguće pokazati da je teorem točan za nevjerojatno velike vrijednosti x, y, z I n, ali to ne može poslužiti kao strogi dokaz, budući da bilo koja od sljedećih vrijednosti n ili trojke prirodni brojevi mogao opovrgnuti teorem u cjelini.
Konačno, 1994. godine engleski matematičar Andrew John Wiles (r. 1953.), koji je radio na Princetonu, objavio je dokaz Fermatovog posljednjeg teorema, koji se nakon nekih izmjena smatrao sveobuhvatnim. Dokaz je zauzeo više od stotinu časopisnih stranica i temeljio se na korištenju suvremenog aparata više matematike, koji nije bio razvijen u Fermatovoj eri. Pa što je onda Fermat mislio ostavljajući poruku na marginama knjige da je pronašao dokaz? Većina matematičara s kojima sam razgovarao o ovoj temi istaknula je da je tijekom stoljeća bilo više nego dovoljno netočnih dokaza Fermatovog posljednjeg teorema, te da je, najvjerojatnije, i sam Fermat pronašao sličan dokaz, ali nije prepoznao pogrešku u tome. Međutim, moguće je da još uvijek postoji neki kratki i elegantni dokaz Fermatovog posljednjeg teorema koji još nitko nije pronašao. Sa sigurnošću se može reći samo jedno: danas pouzdano znamo da je teorem točan. Mislim da bi se većina matematičara bezrezervno složila s Andrewom Wilesom, koji je o svom dokazu rekao: "Sada je napokon moj um miran."
U 17. stoljeću u Francuskoj je živio odvjetnik i honorarni matematičar Pierre Fermat, koji je svom hobiju posvećivao duge sate slobodnog vremena. Nekako zimska večer, sjedeći uz kamin, iznio je jednu vrlo zanimljivu tvrdnju iz područja teorije brojeva - upravo je to kasnije nazvano Fermatov veliki teorem ili Veliki teorem. Možda uzbuđenje ne bi bilo tako značajno u matematičkim krugovima da se nije dogodio jedan događaj. Matematičar je često provodio večeri proučavajući svoju omiljenu knjigu “Aritmetika” Diofanta Aleksandrijskog (3. stoljeće), dok je na njezinim marginama zapisivao važne misli - ovaj je raritet njegov sin pažljivo sačuvao za potomstvo. Tako je na širokim marginama ove knjige Fermatova ruka ostavila sljedeći natpis: "Imam prilično upečatljiv dokaz, ali je prevelik da bi ga se stavilo na margine." Upravo je ta snimka izazvala nevjerojatno uzbuđenje oko teorema. Matematičari nisu sumnjali da je veliki znanstvenik izjavio da je dokazao vlastiti teorem. Vjerojatno postavljate pitanje: Je li on to doista dokazao, ili je to bila banalna laž ili možda postoje druge verzije zašto je ovaj zapis, koji matematičarima sljedećih generacija nije dao mirno spavati, završio na marginama knjiga?"
Bit Velikog teoreme
Fermatov prilično dobro poznati teorem jednostavan je u svojoj biti i leži u činjenici da, pod uvjetom da je n veći od dva, pozitivnog broja, jednadžba X n + Y n = Z n neće imati rješenja tipa nula unutar okvira prirodnih brojeva. Ova naizgled jednostavna formula prikrivala je nevjerojatnu složenost, a oko njezina dokazivanja natezalo se tri stoljeća. Postoji jedna čudna stvar - teorem je kasnio u svom rođenju, budući da se njegov poseban slučaj s n = 2 pojavio prije 2200 godina - to je ne manje poznati Pitagorin teorem.
Valja napomenuti da je priča o poznatom Fermatovom teoremu vrlo poučna i zabavna, i to ne samo za matematičare. Ono što je najzanimljivije je da znanost nije bila posao za znanstvenika, već običan hobi, što je pak Farmeru pričinjavalo veliko zadovoljstvo. Također je stalno održavao kontakt s matematičarem, a također i prijateljem, i dijelio ideje, ali čudno, nije težio objavljivanju vlastitih radova.
Radovi matematičara Farmera
Što se tiče samih Farmerovih djela, ona su otkrivena upravo u obliku običnih slova. Na nekim mjestima nedostajale su cijele stranice, a sačuvani su samo fragmenti korespondencije. Zanimljivija je činjenica da su znanstvenici tri stoljeća tražili teorem koji je otkriven u Farmerovim djelima.
Ali bez obzira tko se to usudio dokazati, pokušaji su svedeni na “nulu”. Slavni matematičar Descartes čak je optužio znanstvenika za hvalisanje, no sve se svelo samo na najobičniju zavist. Osim što ga je stvorio, Farmer je dokazao i vlastiti teorem. Istina, rješenje je nađeno za slučaj kada je n=4. Što se tiče slučaja za n=3, to je otkrio matematičar Euler.
Kako su pokušali dokazati Farmerov teorem
Na samom početku 19. stoljeća ovaj je teorem nastavio postojati. Matematičari su pronašli mnoge dokaze teorema koji su bili ograničeni na prirodne brojeve unutar dvije stotine.
A 1909. godine stavljena je na kocku prilično velika svota, jednaka sto tisuća maraka njemačkog podrijetla - i sve to samo kako bi se riješio problem vezan uz ovaj teorem. Sam nagradni fond ostavio je imućni zaljubljenik u matematiku Paul Wolfskehl, inače porijeklom iz Njemačke, koji se želio “ubiti”, ali je zahvaljujući takvom angažmanu u Fermerovom teoremu želio živjeti. Nastalo uzbuđenje potaknulo je tone “dokaza” koji su ispunili njemačka sveučilišta, a među matematičarima je rođen nadimak “farmist” koji se napola prezirno koristio za opis svakog ambicioznog skorojevića koji nije bio u stanju dati jasne dokaze.
Pretpostavka japanskog matematičara Yutake Taniyame
Pomaci u povijesti Velikog teorema nisu primijećeni sve do sredine 20. stoljeća, ali se dogodio jedan zanimljiv događaj. Godine 1955. japanski matematičar Yutaka Taniyama, koji je imao 28 godina, svijetu je pokazao tvrdnju iz sasvim drugog matematičkog područja - njegova je hipoteza, za razliku od Fermatove, bila ispred svog vremena. Kaže: "Svaka eliptična krivulja odgovara određenom modularnom obliku." Čini se apsurdnim za svakog matematičara, poput ideje da se drvo sastoji od određenog metala! Paradoksalna hipoteza, kao i većina drugih zapanjujućih i genijalnih otkrića, nije prihvaćena, jer joj jednostavno još nisu bili dorasli. A Yutaka Taniyama tri godine kasnije počinio je samoubojstvo - neobjašnjiv čin, no vjerojatno je pravom samurajskom geniju čast bila iznad svega.
Hipoteza nije ostala zapamćena cijelo desetljeće, ali je sedamdesetih godina dosegla vrhunac popularnosti - potvrdili su je svi koji su je razumjeli, ali je, kao i Fermatov teorem, ostala nedokazana.
Kako su Taniyamina pretpostavka i Fermatov teorem povezani?
15 godina kasnije dogodio se ključni događaj u matematici, a ujedinio je hipotezu slavnog Japanca i Fermatov teorem. Gerhard Gray je izjavio da kada se Taniyamina pretpostavka dokaže, tada će biti dokaza Fermatovog teorema. Odnosno, potonje je posljedica Taniyamine pretpostavke, a u roku od godinu i pol Fermatov teorem dokazao je profesor Kenneth Ribet sa Sveučilišta u Kaliforniji.
Kako je vrijeme prolazilo, nazadovanje je zamijenio napredak, a znanost je ubrzano krenula naprijed, posebice u području računalne tehnologije. Tako je vrijednost n počela sve više rasti.
Na samom kraju 20. stoljeća najmoćnija računala nalazila su se u vojnim laboratorijima; programiranje je obavljeno kako bi se dobilo rješenje poznatog Fermatovog problema. Kao posljedica svih pokušaja, otkriveno je da je ovaj teorem točan za mnoge vrijednosti n, x, y. Ali, nažalost, to nije postao konačni dokaz, jer nije bilo specifičnosti kao takve.
John Wiles dokazao je veliki Fermatov teorem
I konačno, tek krajem 1994. godine, matematičar iz Engleske, John Wiles, pronašao je i demonstrirao točan dokaz kontroverznog Fermerovog teorema. Zatim su, nakon mnogih izmjena, rasprave o ovom pitanju došle do svog logičnog završetka.
Demanti je objavljen na više od stotinu stranica jednog časopisa! Štoviše, teorem je dokazan korištenjem modernijeg aparata više matematike. I ono što je iznenađujuće je da u vrijeme kada je Farmer napisao svoje djelo, takav uređaj nije postojao u prirodi. Jednom riječju, čovjek je prepoznat kao genij u ovom području, s kojim se nitko nije mogao raspravljati. Unatoč svemu što se dogodilo, danas možemo biti sigurni da je izneseni teorem velikog znanstvenika Farmera opravdan i dokazan, te niti jedan zdravorazumski matematičar neće pokrenuti raspravu na tu temu, s čime se slažu i najokorjeliji skeptici cijelog čovječanstva. s.
Puno ime čovjeka po kojem je teorem predstavljen bilo je Pierre de Fermer. Dao je doprinos širokom spektru područja matematike. No, nažalost, većina njegovih djela objavljena je tek nakon njegove smrti.
Pierre Fermat, čitajući “Aritmetiku” Diofanta Aleksandrijskog i razmišljajući o njenim problemima, imao je naviku zapisati rezultate svojih razmišljanja u obliku kratkih komentara na marginama knjige. Protiv osmog Diofantovog problema na marginama knjige, Fermat je napisao: " Naprotiv, nemoguće je rastaviti ni kocku na dvije kocke, ni bikvadrat na dva bikvadrata, i, općenito, nijednu potenciju veću od kvadrata na dvije potencije s istim eksponentom. Otkrio sam zaista prekrasan dokaz za to, ali ova polja su preuska za to» / E.T. Bell "Tvorci matematike". M., 1979, str.69/. Predstavljam vam elementarni dokaz Fermatovog teorema, koji može razumjeti svaki srednjoškolac koji se zanima za matematiku.
Usporedimo Fermatov komentar Diofantovog problema sa suvremenom formulacijom posljednjeg Fermatovog teorema, koji ima oblik jednadžbe.
« Jednadžba
x n + y n = z n(gdje je n cijeli broj veći od dva)
nema rješenja u prirodnim brojevima»
Komentar je u logičkoj vezi sa zadatkom, slično logičkoj vezi predikata sa subjektom. Ono što tvrdi Diofantov problem, naprotiv, tvrdi Fermatov komentar.
Fermatov komentar može se protumačiti na sljedeći način: ako kvadratna jednadžba s tri nepoznanice ima beskonačan broj rješenja na skupu svih tripleta Pitagorinih brojeva, tada, naprotiv, jednadžba s tri nepoznanice na potenciju veću od kvadrata
U jednadžbi nema čak ni naznake njegove povezanosti s Diofantovim problemom. Njegova tvrdnja zahtijeva dokaz, ali ne postoji uvjet iz kojeg slijedi da nema rješenja u prirodnim brojevima.
Meni poznate opcije za dokazivanje jednadžbe svode se na sljedeći algoritam.
- Jednadžba Fermatova teorema uzima se kao njegov zaključak, čija se valjanost provjerava kroz dokaz.
- Ova ista jednadžba se zove izvornik jednadžba iz koje mora poći njegov dokaz.
Kao rezultat toga nastala je tautologija: “ Ako jednadžba nema rješenja u prirodnim brojevima, onda nema rješenja u prirodnim brojevima“Dokaz tautologije očito je netočan i lišen svakog smisla. Ali to je dokazano kontradikcijom.
- Iznesena je pretpostavka koja je suprotna onome što je navedeno u jednadžbi koju treba dokazati. Ne bi trebalo proturječiti izvornoj jednadžbi, ali jest. Nema smisla bez dokaza dokazivati ono što je prihvaćeno, a bez dokaza prihvaćati ono što treba dokazati.
- Na temelju prihvaćene pretpostavke izvode se apsolutno ispravne matematičke operacije i radnje kako bi se dokazalo da je proturječna izvornoj jednadžbi i da je netočna.
Stoga je već 370 godina dokazivanje jednadžbe Fermatovog posljednjeg teorema ostalo neostvariv san za stručnjake i matematičke entuzijaste.
Jednadžbu sam uzeo kao zaključak teoreme, a Diofantov osmi problem i njegovu jednadžbu kao uvjet teoreme.
„Ako jednadžba x 2 + y 2 = z 2
(1) ima beskonačan broj rješenja na skupu svih trojki Pitagorinih brojeva, tada, obrnuto, jednadžba x n + y n = z n
, Gdje n > 2
(2) nema rješenja na skupu pozitivnih cijelih brojeva.”
Dokaz.
A) Svi znaju da jednadžba (1) ima beskonačan broj rješenja na skupu svih trojki Pitagorinih brojeva. Dokažimo da niti jedna trojka Pitagorinih brojeva koja je rješenje jednadžbe (1) nije rješenje jednadžbe (2).
Na temelju zakona reverzibilnosti jednakosti mijenjamo strane jednadžbe (1). Pitagorini brojevi (z, x, y) mogu se tumačiti kao duljine stranica pravokutnog trokuta, a kvadrati (x 2, y 2, z 2) može se tumačiti kao površina kvadrata izgrađenih na njegovoj hipotenuzi i katetama.
Pomnožimo površine kvadrata jednadžbe (1) s proizvoljnom visinom h :
z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)
Jednadžbu (3) možemo protumačiti kao jednakost obujma paralelopipeda zbroju obujma dvaju paralelopipeda.
Neka je visina tri paralelopipeda h = z :
z 3 = x 2 z + y 2 z (4)
Volumen kocke rastavljen je na dva volumena dva paralelopipeda. Volumen kocke ostavit ćemo nepromijenjen, a visinu prvog paralelopipeda smanjiti na x a visinu drugog paralelopipeda smanjiti na g . Volumen kocke je veći od zbroja volumena dviju kocki:
z 3 > x 3 + y 3 (5)
Na skupu trojki Pitagorinih brojeva ( x, y, z ) na n=3 ne može postojati nikakvo rješenje jednadžbe (2). Posljedično, na skupu svih trojki Pitagorinih brojeva nemoguće je rastaviti kocku na dvije kocke.
Neka je u jednadžbi (3) visina triju paralelopipeda h = z 2 :
z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)
Volumen paralelopipeda rastavlja se na zbroj volumena dvaju paralelopipeda.
Lijevu stranu jednadžbe (6) ostavljamo nepromijenjenom. S njegove desne strane vis z 2
smanjiti na x
u prvom mandatu i prije u 2
u drugom mandatu.
Jednadžba (6) se pretvorila u nejednadžbu:
Volumen paralelopipeda rastavljamo na dva volumena po dva paralelopipeda.
Lijevu stranu jednadžbe (8) ostavljamo nepromijenjenom.
S desne strane vis zn-2
smanjiti na xn-2
u prvom članu i svesti na y n-2
u drugom mandatu. Jednadžba (8) prelazi u nejednadžbu:
| z n > x n + y n | (9) |
Na skupu trojki Pitagorinih brojeva ne može postojati jedno rješenje jednadžbe (2).
Posljedično, na skupu svih trojki Pitagorinih brojeva za sve n > 2 jednadžba (2) nema rješenja.
Dobiven je “zaista čudesan dokaz”, ali samo za trojke Pitagorini brojevi. Ovo je nedostatak dokaza i razlog odbijanja P. Fermata od njega.
B) Dokažimo da jednadžba (2) nema rješenja na skupu trojki nepitagorinih brojeva, koji predstavlja obitelj proizvoljne trojke pitagorinih brojeva z = 13, x = 12, y = 5 i obitelj proizvoljne trojke pozitivnih cijelih brojeva z = 21, x = 19, y = 16
Obje trojke brojeva članovi su svojih obitelji:
| (13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) | (10) | |
| (21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) | (11) |
Broj članova obitelji (10) i (11) jednak je polovici umnoška 13 sa 12 i 21 sa 20, tj. 78 i 210.
Svaki član obitelji (10) sadrži z = 13 i varijable x I na 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1
Svaki član obitelji (11) sadrži z = 21 i varijable x I na , koji uzimaju cjelobrojne vrijednosti 21 > x >0 , 21 > y > 0 . Varijable se sukcesivno smanjuju za 1 .
Trojke brojeva niza (10) i (11) mogu se prikazati kao niz nejednakosti trećeg stupnja:
| 13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3 | ||
| 21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3 |
i to u obliku nejednakosti četvrtog stupnja:
| 13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4 | ||
| 21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4 |
Točnost svake nejednakosti provjerava se dizanjem brojeva na treću i četvrtu potenciju.
Kocka većeg broja ne može se rastaviti na dvije kocke manjih brojeva. On je manji ili veći od zbroja kubova dvaju manjih brojeva.
Bikvadrat većeg broja ne može se rastaviti na dva bikvadrata manjih brojeva. On je manji ili veći od zbroja bikvadrata manjih brojeva.
Kako eksponent raste, sve nejednakosti, osim lijeve krajnje nejednakosti, imaju isto značenje:
Svi oni imaju isto značenje: potencija većeg broja veća je od zbroja potencija dvaju manjih brojeva s istim eksponentom:
| 13 n > 12 n + 12 n ; 13 n > 12 n + 11 n ;…; 13 n > 7 n + 4 n ;…; 13 n > 1 n + 1 n | (12) | |
| 21 n > 20 n + 20 n ; 21 n > 20 n + 19 n ;…; ;…; 21 n > 1 n + 1 n | (13) |
Lijevi krajnji član nizova (12) (13) predstavlja najslabiju nejednadžbu. Njegova ispravnost određuje ispravnost svih sljedećih nejednakosti niza (12) za n > 8 i niz (13) na n > 14 .
Među njima ne može biti jednakosti. Proizvoljna trojka pozitivnih cijelih brojeva (21,19,16) nije rješenje jednadžbe (2) posljednjeg Fermatovog teorema. Ako proizvoljna trojka prirodnih brojeva nije rješenje jednadžbe, onda jednadžba nema rješenja na skupu prirodnih brojeva, što je trebalo i dokazati.
S) Fermatov komentar Diofantovog problema kaže da je nemoguće razložiti " općenito, nema veće potencije od kvadrata, dvije potencije s istim eksponentom».
Poljubac stupanj veći od kvadrata zapravo se ne može rastaviti na dva stupnja s istim eksponentom. Bez poljubaca stupanj veći od kvadrata može se rastaviti na dvije potencije s istim eksponentom.
Bilo koja proizvoljna trojka pozitivnih cijelih brojeva (z, x, y) može pripadati obitelji čiji se svaki član sastoji od stalnog broja z i dva broja manji z . Svaki član obitelji može se prikazati u obliku nejednakosti, a sve rezultirajuće nejednakosti mogu se prikazati u obliku niza nejednakosti:
| z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n | (14) |
Niz nejednadžbi (14) počinje nejednadžbama kod kojih je lijeva strana manja od desne, a završava nejednadžbama kod kojih je desna strana manja od lijeve strane. Uz rastući eksponent n > 2 povećava se broj nejednakosti na desnoj strani niza (14). Uz eksponent n = k sve nejednakosti na lijevoj strani niza mijenjaju svoje značenje i poprimaju značenje nejednakosti na desnoj strani nejednakosti niza (14). Kao rezultat povećanja eksponenta svih nejednakosti, lijeva strana ispada da je veća od desne strane:
| z k > (z-1) k + (z-1) k ; z k > (z-1) k + (z-2) k ;…; z k > 2 k + 1 k ; z k > 1 k + 1 k | (15) |
Daljnjim povećanjem eksponenta n>k niti jedna od nejednakosti ne mijenja svoje značenje i pretvara se u jednakost. Na temelju toga može se tvrditi da svaka proizvoljno odabrana trojka pozitivnih cijelih brojeva (z, x, y) na n > 2 , z > x , z > y
U proizvoljno odabranoj trojci cijelih pozitivnih brojeva z može biti proizvoljno velik prirodan broj. Za sve prirodne brojeve koji nisu veći od z , Fermatov posljednji teorem je dokazan.
D) Bez obzira koliko velik broj bio z , u prirodnom nizu brojeva prije njega postoji velik, ali konačan skup cijelih brojeva, a nakon njega postoji beskonačan skup cijelih brojeva.
Dokažimo da je cijeli beskonačni skup prirodnih brojeva velik z tvore trojke brojeva koji nisu rješenja jednadžbe Fermatovog posljednjeg teorema, na primjer, proizvoljna trojka pozitivnih cijelih brojeva (z + 1, x,y) , pri čemu z + 1 > x I z + 1 > y za sve vrijednosti eksponenta n > 2 nije rješenje jednadžbe posljednjeg Fermatovog teorema.
Nasumično odabrana trojka pozitivnih cijelih brojeva (z + 1, x, y) može pripadati obitelji trojki brojeva, čiji se svaki član sastoji od konstantnog broja z+1 i dva broja x I na , poprimajući različite vrijednosti, manji z+1 . Članovi obitelji mogu se prikazati u obliku nejednakosti u kojima je konstantna lijeva strana manja ili veća od desne strane. Nejednadžbe se mogu poredati u obliku niza nejednakosti:
Daljnjim povećanjem eksponenta n>k do beskonačnosti niti jedna od nejednakosti niza (17) ne mijenja svoje značenje i ne prelazi u jednakost. U nizu (16) nejednadžba je nastala od proizvoljno odabrane trojke prirodnih brojeva (z + 1, x, y) , može se nalaziti na desnoj strani obrasca (z + 1) n > x n + y n ili biti na njegovoj lijevoj strani u obliku (z+1)n< x n + y n .
U svakom slučaju, trojka prirodnih brojeva (z + 1, x, y) na n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y u nizu (16) predstavlja nejednadžbu i ne može predstavljati jednakost, odnosno ne može predstavljati rješenje jednadžbe zadnjeg Fermatovog teorema.
Lako je i jednostavno razumjeti podrijetlo niza nejednakosti snaga (16), u kojem su posljednja nejednakost na lijevoj strani i prva nejednakost na desnoj strani nejednakosti suprotnog značenja. Naprotiv, školarcima, srednjoškolcima i srednjoškolcima nije lako i teško shvatiti kako od niza nejednakosti (17) nastaje niz nejednakosti (16) u kojem sve nejednakosti imaju isto značenje. .
U nizu (16) povećavanje cjelobrojnog stupnja nejednakosti za 1 jedinicu pretvara posljednju nejednadžbu na lijevoj strani u prvu nejednadžbu suprotnog smisla na desnoj strani. Tako se broj nejednakosti na lijevoj strani niza smanjuje, a broj nejednakosti na desnoj strani raste. Između zadnje i prve nejednakosti snaga suprotnog značenja nužno postoji jednakost snaga. Njegov stupanj ne može biti cijeli broj, jer samo necijeli brojevi leže između dva uzastopna prirodna broja. Jednakost potencije necijelog stupnja, prema uvjetima teorema, ne može se smatrati rješenjem jednadžbe (1).
Ako u nizu (16) nastavimo povećavati stupanj za 1 jedinicu, tada će se posljednja nejednadžba njegove lijeve strane pretvoriti u prvu nejednadžbu suprotnog značenja desne strane. Kao rezultat toga, neće preostati lijeve nejednakosti i ostat će samo desne nejednakosti, koje će biti slijed rastućih nejednakosti snaga (17). Daljnji porast njihove cjelobrojne snage za 1 jedinicu samo pojačava njezine nejednakosti snaga i kategorički isključuje mogućnost jednakosti u cjelobrojnoj potenciji.
Slijedom toga, općenito, nijedna cjelobrojna potencija prirodnog broja (z+1) niza potencijskih nejednadžbi (17) ne može se rastaviti na dvije cjelobrojne potence s istim eksponentom. Dakle, jednadžba (1) nema rješenja na beskonačnom skupu prirodnih brojeva, što je i trebalo dokazati.
Posljedično, posljednji Fermatov teorem je dokazan u cijelosti:
- u odjeljku A) za sve trojke (z, x, y) Pitagorini brojevi (Fermatovo otkriće je doista prekrasan dokaz),
- u odjeljku B) za sve članove obitelji bilo kojeg trojca (z, x, y) Pitagorini brojevi,
- u odjeljku C) za sve trojke brojeva (z, x, y) , ne velike brojke z
- u odjeljku D) za sve trojke brojeva (z, x, y) prirodni niz brojeva.
|
Izmjene napravljene 05.09.2010 |
Koji se teoremi mogu, a koji ne mogu dokazati kontradikcijom?
Objašnjavajući rječnik matematičkih pojmova definira dokaz kontradikcijom teorema, suprotno od obrnutog teorema.
„Dokaz kontradikcijom je metoda dokazivanja teoreme (propozicije), koja se sastoji u dokazivanju ne samog teoreme, već njemu ekvivalentnog (ekvivalentnog) teoreme. Dokaz kontradikcijom koristi se kad god je direktni teorem teško dokazati, ali je suprotni teorem lakše dokazati. U dokazu kontradikcijom zaključak teorema zamjenjuje se njegovom negacijom, a zaključivanjem se dolazi do negacije uvjeta, tj. na kontradikciju, na suprotno (suprotno od onoga što je dano; ovo svođenje na apsurd dokazuje teorem."
Dokaz kontradikcijom vrlo se često koristi u matematici. Dokaz kontradikcijom temelji se na zakonu isključene sredine koji se sastoji u tome da je od dva iskaza (iskaza) A i A (negacija A) jedan od njih istinit, a drugi netočan.”/Tumačni rječnik matematičkih pojmova: priručnik za učitelje/O. V. Manturov [etc.]; izd. V. A. Ditkina.- M.: Obrazovanje, 1965.- 539 str.: ilustr.-C.112/.
Ne bi bilo bolje otvoreno izjaviti da metoda dokaza kontradikcijom nije matematička metoda, iako se koristi u matematici, da je ona logična metoda i da pripada logici. Je li prihvatljivo reći da se dokaz kontradikcijom “koristi kad god je izravan teorem teško dokazati,” kada se zapravo koristi kada, i samo kada, nema zamjene.
Karakterizacija međusobnog odnosa izravnih i inverznih teorema također zaslužuje posebnu pozornost. „Obrnuti teorem za dani teorem (ili dani teorem) je teorem u kojem je uvjet zaključak, a zaključak je uvjet danog teorema. Ovaj teorem u odnosu na obrnuti teorem naziva se izravni teorem (izvorni). U isto vrijeme, obrnuti teorem obrnutom teoremu bit će dani teorem; stoga se direktni i obratni teorem nazivaju međusobno inverznim. Ako je izravni (zadani) teorem istinit, onda obrnuti teorem nije uvijek istinit. Na primjer, ako je četverokut romb, onda su njegove dijagonale međusobno okomite (direktni teorem). Ako su u četverokutu dijagonale međusobno okomite, onda je četverokut romb – to je netočno, tj. obrnuti teorem je netočan.”/Tumačni rječnik matematičkih pojmova: priručnik za učitelje/O. V. Manturov [etc.]; izd. V. A. Ditkina.- M.: Obrazovanje, 1965.- 539 str.: ilustr.-C.261 /.
Ova karakteristika odnosa između izravnog i inverznog teorema ne uzima u obzir činjenicu da se uvjet izravnog teorema prihvaća kao dan, bez dokaza, tako da njegova ispravnost nije zajamčena. Uvjet inverznog teorema ne prihvaća se kao dan, jer je to zaključak dokazanog izravnog teorema. Njegovu ispravnost potvrđuje dokaz izravnog teorema. Ova bitna logička razlika u uvjetima izravnih i inverznih teorema pokazuje se odlučujućom u pitanju koji se teoremi mogu, a koji ne mogu dokazati logičkom metodom kontradikcijom.
Pretpostavimo da je na umu izravan teorem koji se može dokazati uobičajenom matematičkom metodom, ali je to teško. Formulirajmo ga općenito i ukratko na sljedeći način: iz A trebao bi E . Simbol A ima značenje zadanog uvjeta teorema, prihvaćenog bez dokaza. Simbol E bitan je zaključak teorema koji treba dokazati.
Dokazat ćemo izravni teorem kontradikcijom, logično metoda. Logičkom se metodom dokazuje teorem koji ima ne matematički stanje, i logično stanje. Može se dobiti ako se matematički uvjet teorema iz A trebao bi E , nadopunite upravo suprotnim stanjem iz A nemoj to učiniti E .
Rezultat je bio logički kontradiktorni uvjet novog teorema, koji je sadržavao dva dijela: iz A trebao bi E I iz A nemoj to učiniti E . Rezultirajući uvjet novog teorema odgovara logičkom zakonu isključene sredine i odgovara dokazu teorema kontradikcijom.
Prema zakonu, jedan dio protuslovnog uvjeta je neistinit, drugi dio istinit, a treći je isključen. Dokaz kontradikcijom ima zadaću i svrhu točno utvrditi koji je dio od dva dijela uvjeta teorema netočan. Nakon što se utvrdi lažni dio uvjeta, drugi dio se utvrđuje kao pravi dio, a treći se isključuje.
Prema objašnjavajućem rječniku matematičkih pojmova, “dokaz je rasuđivanje tijekom kojeg se utvrđuje istinitost ili lažnost bilo koje tvrdnje (sud, izjava, teorem)”. Dokaz kontradikcijom postoji obrazloženje tijekom kojeg se utvrđuje lažnost(apsurdnost) zaključka koji proizlazi iz lažno uvjeti teoreme koji treba dokazati.
dano: iz A trebao bi E i od A nemoj to učiniti E .
Dokazati: iz A trebao bi E .
Dokaz: Logički uvjet teorema sadrži kontradikciju koja zahtijeva svoje rješenje. Proturječnost uvjeta mora pronaći svoje rješenje u dokazu i njegovom rezultatu. Rezultat se pokazuje lažnim s besprijekornim obrazloženjem bez grešaka. Razlog pogrešnog zaključka u logički ispravnom zaključivanju može biti samo kontradiktorni uvjet: iz A trebao bi E I iz A nemoj to učiniti E .
Nema ni sjene sumnje da je jedan dio uvjeta lažan, a drugi u ovom slučaju istinit. Oba dijela uvjeta imaju isto podrijetlo, prihvaćaju se kao podatak, pretpostavljaju, jednako su moguća, jednako su dopuštena itd. Tijekom logičkog razmišljanja nije otkriveno niti jedno logičko obilježje koje bi razlikovalo jedan dio uvjeta od drugoga. . Prema tome, u istoj mjeri može biti iz A trebao bi E i možda iz A nemoj to učiniti E . Izjava iz A trebao bi E Može biti lažno, zatim izjavu iz A nemoj to učiniti E bit će istina. Izjava iz A nemoj to učiniti E može biti lažna, tada izjava iz A trebao bi E bit će istina.
Posljedično, nemoguće je dokazati izravni teorem kontradikcijom.
Sada ćemo dokazati ovaj isti izravni teorem koristeći uobičajenu matematičku metodu.
dano: A .
Dokazati: iz A trebao bi E .
Dokaz.
1. Iz A trebao bi B
2. Iz B trebao bi U (prema prethodno dokazanom teoremu)).
3. Iz U trebao bi G (prema prethodno dokazanom teoremu).
4. Iz G trebao bi D (prema prethodno dokazanom teoremu).
5. Iz D trebao bi E (prema prethodno dokazanom teoremu).
Na temelju zakona tranzitivnosti, iz A trebao bi E . Izravni teorem dokazuje se uobičajenom metodom.
Neka dokazani izravni teorem ima točan inverzni teorem: iz E trebao bi A .
Dokažimo to uobičajenim matematički metoda. Dokaz obrnutog teorema može se izraziti u simboličkom obliku kao algoritam matematičkih operacija.
dano: E
Dokazati: iz E trebao bi A .
Dokaz.
1. Iz E trebao bi D
2. Iz D trebao bi G (prema prethodno dokazanom obratnom teoremu).
3. Iz G trebao bi U (prema prethodno dokazanom obratnom teoremu).
4. Iz U nemoj to učiniti B (obrnuti teorem nije istinit). Zato iz B nemoj to učiniti A .
U ovoj situaciji nema smisla nastavljati matematički dokaz obrnutog teorema. Razlog za nastalu situaciju je logičan. Netočan obrnuti teorem ne može se ničim zamijeniti. Stoga je nemoguće dokazati ovaj obrnuti teorem uobičajenom matematičkom metodom. Sva je nada dokazati ovaj inverzni teorem kontradikcijom.
Da bismo ga dokazali kontradikcijom, potrebno je njegov matematički uvjet zamijeniti logičkim kontradiktornim uvjetom, koji u svom značenju sadrži dva dijela - lažni i istiniti.
Konverzni teorem Države: iz E nemoj to učiniti A . Njezino stanje E , iz čega slijedi zaključak A , rezultat je dokazivanja izravnog teorema korištenjem uobičajene matematičke metode. Ovaj uvjet se mora sačuvati i dopuniti izjavom iz E trebao bi A . Kao rezultat zbrajanja dobivamo kontradiktorni uvjet novog inverznog teorema: iz E trebao bi A I iz E nemoj to učiniti A . Na temelju ovoga logički kontradiktorni uvjet, obrnuti teorem može se dokazati pomoću točnog logično samo rasuđivanje, i samo, logično metoda kontradikcijom. U dokazu kontradikcijom sve matematičke radnje i operacije su podređene logičkim i stoga se ne računaju.
U prvom dijelu kontradiktorne izjave iz E trebao bi A stanje E dokazano je dokazom izravnog teorema. U drugom dijelu iz E nemoj to učiniti A stanje E je pretpostavljeno i prihvaćeno bez dokaza. Jedna od njih je lažna, a druga istinita. Morate dokazati koji je lažan.
Dokazujemo to kroz ispravan logično razmišljanje i otkriva da je njegov rezultat pogrešan, apsurdan zaključak. Razlog pogrešnog logičkog zaključka je kontradiktorni logički uvjet teorema koji sadrži dva dijela - lažni i istiniti. Lažni dio može biti samo izjava iz E nemoj to učiniti A , u kojem E je prihvaćen bez dokaza. To je ono što ga čini drugačijim od E izjave iz E trebao bi A , što je dokazano dokazom izravnog teorema.
Stoga je izjava istinita: iz E trebao bi A , što je i trebalo dokazati.
Zaključak: logičkom metodom se kontradikcijom dokazuje samo inverzni teorem koji ima izravni teorem dokazan matematičkom metodom i koji se ne može dokazati matematičkom metodom.
Dobiveni zaključak dobiva izuzetnu važnost u odnosu na metodu dokazivanja kontradikcijom velikog Fermatovog teorema. Ogromna većina pokušaja da se to dokaže ne temelji se na uobičajenoj matematičkoj metodi, već na logičkoj metodi dokazivanja kontradikcijom. Wilesov dokaz Fermatovog posljednjeg teorema nije iznimka.
Dmitrij Abrarov je u članku “Fermatov teorem: fenomen Wilesovih dokaza” objavio komentar na Wilesov dokaz Fermatovog posljednjeg teorema. Prema Abrarovu, Wiles dokazuje posljednji Fermatov teorem uz pomoć izvanrednog otkrića njemačkog matematičara Gerharda Freya (r. 1944.), koji je povezao potencijalno rješenje Fermatove jednadžbe x n + y n = z n
, Gdje n > 2
, s drugom, potpuno drugačijom jednadžbom. Ova nova jednadžba dana je posebnom krivuljom (nazvanom Freyeva eliptična krivulja). Freyeva krivulja dana je vrlo jednostavnom jednadžbom:
.
“Frey je bio taj koji je uspoređivao svaku odluku (a, b, c) Fermatova jednadžba, odnosno brojevi koji zadovoljavaju relaciju a n + b n = c n, gornja krivulja. U ovom slučaju slijedi Fermatov posljednji teorem.”(Citat iz: Abrarov D. “Fermatov teorem: fenomen Wilesovih dokaza”)
Drugim riječima, Gerhard Frey je predložio da jednadžba Fermatovog posljednjeg teorema x n + y n = z n
, Gdje n > 2
, ima rješenja u pozitivnim cijelim brojevima. Ta ista rješenja su, prema Freyovoj pretpostavci, rješenja njegove jednadžbe
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0
, što je zadano njegovom eliptičnom krivuljom.
Andrew Wiles prihvatio je ovo izvanredno Freyevo otkriće i uz njegovu pomoć matematički metodom je dokazano da ovaj nalaz, odnosno Freyeva eliptična krivulja, ne postoji. Dakle, ne postoji jednadžba i njezina rješenja koja su dana nepostojećom eliptičnom krivuljom. Dakle, Wiles je trebao prihvatiti zaključak da ne postoji jednadžba posljednjeg Fermatovog teorema i samog Fermatovog teorema. Međutim, on prihvaća skromniji zaključak da jednadžba Fermatovog posljednjeg teorema nema rješenja u prirodnim cijelim brojevima.
Nepobitna činjenica može biti da je Wiles prihvatio pretpostavku koja je upravo suprotna po značenju onome što navodi Fermatov veliki teorem. To obvezuje Wilesa da dokaže posljednji Fermatov teorem kontradikcijom. Slijedimo njegov primjer i vidimo što će proizaći iz ovog primjera.
Fermatov posljednji teorem kaže da jednadžba x n + y n = z n , Gdje n > 2 , nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima.
Prema logičkoj metodi dokaza kontradikcijom, ova tvrdnja se zadržava, prihvaća kao dana bez dokaza, a zatim se nadopunjuje suprotnom tvrdnjom: jednadžba x n + y n = z n , Gdje n > 2 , ima rješenja u pozitivnim cijelim brojevima.
Pretpostavljena izjava također se prihvaća kao dana, bez dokaza. Obje tvrdnje, promatrane sa stajališta temeljnih zakona logike, jednako su valjane, jednako valjane i jednako moguće. Ispravnim zaključivanjem potrebno je utvrditi koja je netočna da bi se zatim utvrdilo da je druga izjava istinita.
Ispravno razmišljanje završava lažnim, apsurdnim zaključkom, kojem logički razlog može biti samo kontradiktorni uvjet teorema koji se dokazuje, a koji sadrži dva dijela izravno suprotnog značenja. Oni su bili logičan razlog za apsurdni zaključak, rezultat dokaza kontradikcijom.
Međutim, tijekom logički ispravnog razmišljanja nije otkriven niti jedan znak po kojem bi se moglo utvrditi koja je pojedina tvrdnja netočna. To bi mogla biti izjava: jednadžba x n + y n = z n , Gdje n > 2 , ima rješenja u pozitivnim cijelim brojevima. Na istoj osnovi to bi mogla biti sljedeća izjava: jednadžba x n + y n = z n , Gdje n > 2 , nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima.
Kao rezultat obrazloženja može se izvesti samo jedan zaključak: Fermatov posljednji teorem ne može se dokazati kontradikcijom.
Sasvim bi druga stvar bila da je zadnji Fermatov teorem inverzni teorem, koji ima izravni teorem dokazan uobičajenom matematičkom metodom. U ovom slučaju, to bi se moglo dokazati kontradikcijom. A budući da je to izravan teorem, njegov dokaz ne bi se trebao temeljiti na logičkoj metodi dokazivanja kontradikcijom, već na običnoj matematičkoj metodi.
Prema D. Abrarovu, najpoznatiji od modernih ruskih matematičara, akademik V. I. Arnold, reagirao je "aktivno skeptično" na Wilesov dokaz. Akademik je izjavio: “ovo nije prava matematika – prava matematika je geometrijska i ima jake veze s fizikom.” (Citat iz: Abrarov D. “Fermatov teorem: fenomen Wilesovih dokaza.” Akademikova izjava izražava samu bit Wilesov nematematički dokaz Fermatovog posljednjeg teorema.
Proturječno, nemoguće je dokazati niti da jednadžba Fermatovog posljednjeg teorema nema rješenja niti da ima rješenja. Wilesova pogreška nije matematička, već logična - upotreba dokaza kontradikcijom tamo gdje njegova upotreba nema smisla i Fermatov veliki teorem ne dokazuje.
Fermatov posljednji teorem ne može se dokazati čak ni korištenjem uobičajene matematičke metode ako daje: jednadžbu x n + y n = z n , Gdje n > 2 , nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima, a ako želite dokazati u njemu: jednadžba x n + y n = z n , Gdje n > 2 , nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima. U ovom obliku ne postoji teorem, već tautologija lišena smisla.
Bilješka. O mom BTF dokazu raspravljalo se na jednom od foruma. Jedan od sudionika Trotila, stručnjak za teoriju brojeva, dao je sljedeću mjerodavnu izjavu pod naslovom: “Kratko prepričavanje onoga što je učinio Mirgorodsky.” Citiram doslovce:
« A. Dokazao je da ako z 2 = x 2 + y , To z n > x n + y n . To je dobro poznata i sasvim očita činjenica.
U. Uzeo je dvije trojke - pitagorejsku i nepitagorinu i jednostavnom pretragom pokazao da je za određenu, specifičnu familiju trojki (78 i 210 komada) BTF zadovoljen (i samo za nju).
S. I tada je autor izostavio činjenicu da je iz < u kasnijoj mjeri može se pokazati da je = , ne samo > . Jednostavan protuprimjer – tranzicija n=1 V n=2 u Pitagorinoj trojki.
D. Ova točka ne doprinosi ničemu značajnom dokazu BTF-a. Zaključak: BTF nije dokazan.”
Razmotrit ću njegov zaključak točku po točku.
A. To dokazuje BTF za cijeli beskonačni skup trojki Pitagorinih brojeva. Dokazano geometrijskom metodom, koju, kako vjerujem, nisam ja otkrio, već ponovno otkrio. A otkrio ju je, vjerujem, sam P. Fermat. Fermat je možda imao ovo na umu kada je napisao:
“Otkrio sam doista prekrasan dokaz za to, ali ova polja su preuska za to.” Ova moja pretpostavka temelji se na činjenici da u Diofantskom problemu, protiv kojeg je Fermat pisao na marginama knjige, govorimo o rješenjima Diofantove jednadžbe, a to su trojke Pitagorinih brojeva.
Beskonačan skup trojki Pitagorinih brojeva rješenja su Diofatove jednadžbe, au Fermatovom teoremu, naprotiv, niti jedno rješenje ne može biti rješenje jednadžbe Fermatova teorema. A Fermatov doista prekrasan dokaz izravno je povezan s ovom činjenicom. Fermat je kasnije mogao proširiti svoj teorem na skup svih prirodnih brojeva. Na skupu svih prirodnih brojeva, BTF ne pripada "skupu iznimno lijepih teorema". To je moja pretpostavka, koja se ne može ni dokazati ni opovrgnuti. Može se prihvatiti ili odbiti.
U. U ovom trenutku dokazujem da su i porodica proizvoljno uzete Pitagorine trojke brojeva i porodica proizvoljno uzete nepitagorine trojke BTF brojeva zadovoljene. Ovo je neophodna, ali nedovoljna i srednja karika u mom dokazu BTF . Primjeri koje sam uzeo iz obitelji trojke Pitagorinih brojeva i obitelji trojke nepitagorinih brojeva imaju značenje specifičnih primjera koji pretpostavljaju i ne isključuju postojanje sličnih drugih primjera.
Trotilova izjava da sam “jednostavnim pretraživanjem pokazao da je za određenu, specifičnu obitelj tripleta (78 i 210 komada) BTF zadovoljen (i samo za njega) je neutemeljena. On ne može opovrgnuti činjenicu da ja jednako dobro mogu uzeti druge primjere Pitagorinih i nepitagorinih trojki da dobijem specifičnu definitivnu obitelj jedne i druge trojke.
Koji god par trojki da uzmem, provjera njihove prikladnosti za rješavanje problema može se provesti, po mom mišljenju, samo metodom "jednostavnog nabrajanja". Ne znam drugu metodu i ne treba mi. Ako se Trotilu nije svidjelo, onda je trebao predložiti drugu metodu, što on ne čini. Ne nudeći ništa zauzvrat, nekorektno je osuđivati “običnu pretjeranost”, koja je u ovom slučaju nezamjenjiva.
S. Izostavio sam = između< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), u kojem stupanj n > 2 — cijeli pozitivan broj. Iz jednakosti između nejednakosti slijedi obavezna razmatranje jednadžbe (1) za vrijednost stupnja koja nije cijeli broj n > 2 . Trotil, brojim obvezno razmatranje jednakosti između nejednakosti zapravo smatra potrebno u BTF dokazu, razmatranje jednadžbe (1) s ne cijela vrijednost stupnja n > 2 . Učinio sam to za sebe i pronašao tu jednadžbu (1) sa ne cijela vrijednost stupnja n > 2 ima rješenje tri broja: z, (z-1), (z-1) za eksponent koji nije cijeli broj.
Prije mnogo godina dobio sam pismo iz Taškenta od Valerija Muratova, čovjeka u adolescenciji, koji je tada živio u Kommunističkoj ulici na broju 31. Tip je bio odlučan: “Pređi odmah na stvar. Koliko ćeš platiti meni za dokazivanje Fermatovog teorema odgovara barem 500 rubalja, drugi put bih vam to dokazao besplatno, ali sada mi treba novac..."
Nevjerojatan paradoks: malo ljudi zna tko je Fermat, kada je živio i što je radio. Još manje ljudi može opisati njegov veliki teorem čak i u najopćenitijim crtama. Ali svi znaju da postoji nekakav Fermatov teorem, s čijim se dokazom matematičari diljem svijeta bore već više od 300 godina, ali ga ne mogu dokazati!
Mnogo je ambicioznih ljudi, a sama svijest da postoji nešto što drugi ne mogu još više potiče njihovu ambiciju. Stoga su tisuće (!) dokaza Velikog teorema stizale i stižu na akademije, znanstvene institute, pa čak i novinske redakcije diljem svijeta – dosad neviđen i nikad oboren rekord pseudoznanstvenog amaterstva. Postoji čak i izraz: “Fermatisti”, odnosno ljudi opsjednuti dokazivanjem Velikog teorema, koji su profesionalne matematičare potpuno izmučili zahtjevima da ocijene njihov rad. Poznati njemački matematičar Edmund Landau čak je pripremio standard prema kojem je odgovorio: “Postoji pogreška na stranici u vašem dokazu Fermatovog teorema...”, a njegovi diplomci su zapisali broj stranice. A onda su u ljeto 1994. novine diljem svijeta objavile nešto potpuno senzacionalno: Veliki teorem je dokazan!
Dakle, tko je Fermat, u čemu je problem i je li on doista riješen? Pierre Fermat rođen je 1601. godine u obitelji kožara, imućan i cijenjen čovjek – obnašao je dužnost drugog konzula u svom rodnom gradu Beaumontu – nešto poput pomoćnika gradonačelnika. Pierre je najprije studirao kod redovnika franjevaca, zatim na Pravnom fakultetu u Toulouseu, gdje se zatim bavio pravom. Međutim, Fermatov raspon interesa daleko je nadilazio jurisprudenciju. Posebno se bavio klasičnom filologijom, a poznati su njegovi komentari na tekstove antičkih autora. A moja druga strast je matematika.
U 17. stoljeću, kao i duge godine kasnije nije bilo tog zanimanja: matematičar. Stoga su svi veliki matematičari tog vremena bili matematičari “honorarno”: Rene Descartes služio je vojsku, François Viète bio je odvjetnik, Francesco Cavalieri bio je redovnik. Tada nije bilo znanstvenih časopisa, a klasični znanstvenik Pierre Fermat za života nije objavio niti jedan znanstveni rad. Postojao je prilično uzak krug “amatera” koji su rješavali razne njima zanimljive probleme i o tome pisali pisma jedni drugima, ponekad i svađali se (kao Fermat i Descartes), ali su uglavnom ostajali istomišljenici. Postali su utemeljitelji nove matematike, sijači briljantnog sjemena iz kojeg je počelo rasti moćno stablo moderne matematičke spoznaje, jačajući i granajući se.
Dakle, Fermat je bio isti "amater". U Toulouseu, gdje je živio 34 godine, svi su ga poznavali, prije svega kao savjetnika istražnog vijeća i iskusnog odvjetnika. S 30 godina se oženio, dobio tri sina i dvije kćeri, ponekad je išao na poslovna putovanja, a na jednom od njih je iznenada umro u 63. godini. Svi! Život ovog čovjeka, suvremenika Tri mušketira, iznenađujuće je bez događaja i lišen avanture. Avanture su došle s njegovim Velikim teoremom. O cijelom Fermatovom matematičkom nasljeđu da ne govorimo, a teško je o njemu popularno govoriti. Vjerujte mi na riječ: ovo naslijeđe je veliko i raznoliko. Tvrdnja da je Veliki teorem vrhunac njegova rada vrlo je kontroverzna. Samo što je sudbina Velikog teorema iznenađujuće zanimljiva, a golemi svijet ljudi neupućenih u misterije matematike oduvijek je zanimao ne sam teorem, već sve oko njega...
Korijene cijele ove priče treba tražiti u antici, toliko omiljenoj Fermatu. Otprilike u 3. stoljeću u Aleksandriji je živio grčki matematičar Diofant, izvorni znanstvenik koji je razmišljao izvan okvira i izražavao svoje misli izvan okvira. Od 13 svezaka njegove Aritmetike do nas je stiglo samo 6. Upravo kad je Fermat navršio 20 godina, objavljen je novi prijevod njegovih djela. Fermat je bio vrlo zainteresiran za Diofanta, a ta su djela bila njegova referentna knjiga. Na marginama je Fermat zapisao svoj Veliki teorem, koji u svom najjednostavnijem modernom obliku izgleda ovako: jednadžba Xn + Yn = Zn nema rješenja u cijelim brojevima za n - veće od 2. (Za n = 2, rješenje je očito : 32 + 42 = 52 ). Tamo, na marginama Diofantovog sveska, Fermat dodaje: “Otkrio sam ovaj doista prekrasan dokaz, ali ove su margine preuske za to.”
Na prvi pogled, to je jednostavna stvar, ali kada su drugi matematičari počeli dokazivati ovaj “jednostavni” teorem, nitko nije uspio stotinu godina. Napokon, veliki Leonhard Euler to je dokazao za n = 4, zatim 20 (!) godina kasnije - za n = 3. I opet je posao zastao na mnogo godina. Sljedeća pobjeda pripala je Nijemcu Peteru Dirichletu (1805.-1859.) i Francuzu Andrienu Legendreu (1752.-1833.) - oni su priznali da je Fermat bio u pravu za n = 5. Zatim je to učinio Francuz Gabriel Lamé (1795.-1870.) za n = 7. Konačno, sredinom prošlog stoljeća Nijemac Ernst Kummer (1810-1893) dokazao je Veliki teorem za sve vrijednosti n manje ili jednake 100. Štoviše, dokazao ga je koristeći metode koje je Fermat nije mogao znati, što je dodatno povećalo prizvuk misterije oko Velikog teorema.
Tako je ispalo da su Fermatov teorem dokazali “dio po dio”, ali nitko nije uspio “u cijelosti”. Novi pokušaji dokazivanja doveli su samo do kvantitativnog povećanja vrijednosti n. Svi su shvaćali da je uz puno rada moguće dokazati Veliki teorem za proizvoljno veliki broj n, ali Fermat je govorio o bilo kakvom. vrijednost veća od 2! Upravo je u toj razlici između “koliko hoćeš” i “bilo koje” bilo koncentrirano cijelo značenje problema.
Međutim, treba napomenuti da pokušaji dokazivanja Fermgovog teorema nisu bili samo nekakva matematička igra, rješavanje složenog rebusa. U procesu tih dokazivanja otvarali su se novi matematički horizonti, nastajali su i rješavali problemi, postajući nove grane matematičkog stabla. Veliki njemački matematičar David Hilbert (1862.-1943.) naveo je Veliki teorem kao primjer “poticajnog utjecaja na znanost koji poseban i naizgled beznačajan problem može imati”. Isti Kummer, radeći na Fermatovom teoremu, sam je dokazao teoreme koji su činili temelje teorije brojeva, algebre i teorije funkcija. Dakle, dokazivanje Velikog teorema nije sport, već prava znanost.
Vrijeme je prolazilo, a elektronika je priskočila u pomoć profesionalnim “fsrmatntstovima”. Elektronički mozgovi nisu mogli smisliti nove metode, ali su to učinili brzo. Otprilike početkom 80-ih Fermatov teorem dokazan je uz pomoć računala za n manje od ili jednako 5500. Postupno je ta brojka narasla na 100 000, ali svi su shvaćali da je takvo “akumuliranje” stvar čiste tehnologije, dajući ništa pameti ni srcu . Nisu mogli direktno zauzeti tvrđavu Velikog teorema i počeli su tražiti zaobilazne manevre.
Sredinom 80-ih mladi nematematičar G. Filytings dokazao je takozvanu “Mordellovu pretpostavku”, koja, uzgred, također nije “došla u ruke” niti jednom matematičaru 61 godinu. Pojavila se nada da se sada, takoreći "napadom s boka", Fermatov teorem može riješiti. Međutim, tada se ništa nije dogodilo. Godine 1986. njemački matematičar Gerhard Frey predložio je u Essenceu nova metoda dokaz. Ne navezujem se striktno objašnjavati, ali ne matematičkim, nego univerzalnim ljudskim jezikom, to zvuči otprilike ovako: ako smo uvjereni da je dokaz nekog drugog teorema neizravan, na neki način transformiran dokaz Fermatov teorem, dakle, dokazat ćemo Veliki teorem. Godinu dana kasnije Amerikanac Kenneth Ribet s Berkeleyja pokazao je da je Frey bio u pravu i doista, jedan se dokaz može svesti na drugi. Mnogi matematičari su slijedili ovaj put. različite zemlje mir. Viktor Aleksandrovič Kolyvanov učinio je mnogo da dokaže Veliki teorem. Tri stotine godina stare zidine neosvojive tvrđave počele su se tresti. Matematičari su shvatili da to neće dugo stajati.
U ljeto 1993. u drevnom Cambridgeu, na Institutu matematičkih znanosti Isaac Newton, okupilo se 75 najuglednijih svjetskih matematičara kako bi raspravljali o svojim problemima. Među njima je bio i američki profesor Andrew Wiles sa Sveučilišta Princeton, veliki stručnjak za teoriju brojeva. Svi su znali da je on godinama proučavao Veliki teorem. Wiles je održao tri izvješća, a na posljednjem - 23. lipnja 1993. - na samom je kraju, okrećući se od ploče, sa smiješkom rekao:
- Neću valjda nastaviti...
Prvo je zavladala mrtva tišina, a zatim se prolomio pljesak. Oni koji su sjedili u dvorani bili su dovoljno kvalificirani da shvate: Fermatov posljednji teorem je dokazan! U svakom slučaju, nitko od prisutnih nije našao greške u izvedenim dokazima. Zamjenik direktora Instituta Newton Peter Goddard rekao je novinarima:
“Većina stručnjaka nije mislila da će znati odgovor do kraja života.” Ovo je jedno od najvećih postignuća u matematici našeg stoljeća...
Prošlo je nekoliko mjeseci, bez komentara i opovrgavanja. Istina, Wiles nije objavio svoj dokaz, već je samo poslao takozvane ispise svog rada vrlo uskom krugu svojih kolega, što, naravno, sprječava matematičare da komentiraju ovu znanstvenu senzaciju, a ja razumijem akademika Ludwiga Dmitrievicha Faddejeva, tko kaže:
“Mogu reći da se dogodila senzacija kada vidim dokaz vlastitim očima.”
Faddeev vjeruje da je vjerojatnost pobjede Wilesa vrlo velika.
“Moj otac, poznati stručnjak za teoriju brojeva, bio je, primjerice, uvjeren da će teorem biti dokazan, ali ne elementarnim sredstvima”, dodao je.
Još jedan naš akademik, Viktor Pavlovič Maslov, bio je skeptičan oko ove vijesti i smatra da dokaz Velikog teorema uopće nije hitan matematički problem. Što se tiče njegovih znanstvenih interesa, Maslov, predsjednik Vijeća za primijenjenu matematiku, daleko je od “fermatičara”, a kada kaže da je potpuno rješenje Velikog teorema samo od sportskog interesa, može ga se razumjeti. Ipak, usuđujem se primijetiti da je pojam relevantnosti u svakoj znanosti promjenjiva veličina. Prije 90 godina Rutherfordu su vjerojatno također rekli: "Pa, dobro, dobro, teorija radioaktivnog raspada... Pa što? Kakva je korist od toga?.."
Rad na dokazu Velikog teorema već je dao mnogo matematici, a možemo se nadati da će dati još više.
"Ono što je Wiles učinio unaprijedit će matematičare u drugim područjima", rekao je Peter Goddard. — Dapače, ne zatvara jedan od smjerova razmišljanja, već postavlja nova pitanja koja će zahtijevati odgovor...
Profesor Moskovskog državnog sveučilišta Mihail Iljič Zelikin ovako mi je objasnio trenutnu situaciju:
Nitko ne vidi greške u Wilesovom radu. No, da bi ovaj rad postao znanstvena činjenica, potrebno je da nekoliko uglednih matematičara neovisno o sebi ponove ovaj dokaz i potvrde njegovu točnost. Ovo je neophodan uvjet da matematička javnost razumije Wilesov rad...
Koliko će to trajati?
Ovo sam pitanje postavio jednom od naših vodećih stručnjaka na području teorije brojeva, doktoru fizikalnih i matematičkih znanosti Alekseju Nikolajeviču Paršinu.
— Andrew Wiles ima još puno vremena pred sobom...
Činjenica je da je 13. rujna 1907. godine njemački matematičar P. Wolfskel, koji je za razliku od velike većine matematičara bio bogat čovjek, oporučno ostavio 100 tisuća maraka onome tko će u idućih 100 godina dokazati Veliki teorem. Početkom stoljeća kamate na oporučeni iznos otišle su u blagajnu slavnog sveučilišta Goethanghent. Tim su novcem pozivani vodeći matematičari da drže predavanja i vode znanstveni rad. Tada je predsjednik komisije za dodjelu nagrade bio već spomenuti David Gilbert. Stvarno nije htio platiti bonus.
“Na sreću,” rekao je veliki matematičar, “čini se da nemamo matematičara, osim mene, koji bi mogao obaviti ovaj zadatak, ali ja se nikada neću usuditi ubiti gusku koja nam nosi zlatna jaja.”
Do roka 2007. godine, koji je odredio Wolfskehl, ostalo je još nekoliko godina i, čini mi se, ozbiljna opasnost prijeti nad “Hilbertovim piletom”. Ali ne radi se zapravo o bonusu. To je stvar radoznalosti misli i ljudske upornosti. Borili su se više od tri stotine godina, ali su to ipak dokazali!
I dalje. Meni je u cijeloj ovoj priči najzanimljivije: kako je sam Fermat dokazao svoj Veliki teorem? Uostalom, svi današnji matematički trikovi bili su mu nepoznati. I je li to uopće dokazao? Uostalom, postoji verzija da se činilo da je on to dokazao, ali je sam pronašao grešku, pa stoga nije poslao dokaz drugim matematičarima, a zaboravio je prekrižiti unos na marginama Diofantovog sveska. Stoga mi se čini da se dokaz Velikog teorema očito dogodio, ali tajna Fermatovog teorema ostaje i teško da ćemo je ikada otkriti...
Fermat je tada možda bio u zabludi, ali nije pogriješio kad je napisao: “Možda će mi potomci biti zahvalni što sam im pokazao da stari nisu sve znali, a to može prodrijeti u svijest onih koji dolaze poslije mene da prođu baklja njegovim sinovima..."
FERMAIN VELIKI TEOREM - izjava Pierrea Fermata (francuskog odvjetnika i honorarnog matematičara) da Diofantova jednadžba X n + Y n = Z n, s eksponentom n>2, gdje je n = cijeli broj, nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima. Autorski tekst: “Nemoguće je rastaviti kocku na dvije kocke, ili bikvadrat na dva bikvadrata, ili općenito potenciju veću od dvojke na dvije potencije s istim eksponentom.”
"Fermat i njegov teorem", Amadeo Modigliani, 1920
Pierre je došao do ovog teorema 29. ožujka 1636. godine. I nekih 29 godina kasnije umro je. Ali tu je sve počelo. Uostalom, bogati njemački zaljubljenik u matematiku po imenu Wolfskehl oporučno je ostavio sto tisuća maraka onome tko iznese potpuni dokaz Fermatova teorema! Ali uzbuđenje oko teorema nije bilo povezano samo s tim, već i s profesionalnom matematičkom strašću. Sam Fermat je natuknuo matematičkoj zajednici da zna dokaz - malo prije svoje smrti, 1665., ostavio je sljedeću bilješku na marginama Aritmetike Diofanta Aleksandrijskog: "Imam vrlo upečatljiv dokaz, ali prevelik je da bi se postavljeni na polja."
Upravo je taj savjet (plus, naravno, novčana nagrada) natjerao matematičare da bezuspješno troše svoje vrijeme tražeći dokaz. najbolje godine(prema izračunima američkih znanstvenika samo su profesionalni matematičari na to potrošili ukupno 543 godine).
U nekom trenutku (1901.) rad na Fermatovom teoremu stekao je sumnjivu reputaciju "rada sličnog potrazi za perpetuum mobile" (čak se pojavio i pogrdni izraz - "Fermatisti"). I odjednom, 23. lipnja 1993., na matematičkoj konferenciji o teoriji brojeva u Cambridgeu, engleski profesor matematike sa Sveučilišta Princeton (New Jersey, SAD), Andrew Wiles, objavio je da je Fermat to konačno i dokazao!
Dokaz, međutim, nije bio samo složen, nego i očito pogrešan, kako su Wilesu ukazali njegovi kolege. No, profesor Wiles cijeli je život sanjao o dokazivanju teorema, pa ne čudi što je u svibnju 1994. godine znanstvenoj zajednici predstavio novu, dorađenu verziju dokaza. U njemu nije bilo sklada ni ljepote, a bio je i vrlo složen - govori činjenica da su matematičari cijelu godinu (!) analizirali ovaj dokaz kako bi shvatili je li bio pogrešan!
No na kraju se pokazalo da je Wilesov dokaz točan. Ali matematičari nisu oprostili Pierreu Fermatu samu njegovu natuknicu u “Aritmetici” i, zapravo, počeli su ga smatrati lažovom. Zapravo, prva osoba koja je dovela u pitanje Fermatov moralni integritet bio je sam Andrew Wiles, koji je primijetio da "Fermat nije mogao imati takve dokaze. Ovo su dokazi iz dvadesetog stoljeća." Tada se među ostalim znanstvenicima učvrstilo mišljenje da Fermat “nije mogao dokazati svoj teorem na drugačiji način, a Fermat ga nije mogao dokazati na način na koji je Wiles iz objektivnih razloga”.
Zapravo, Fermat bi to, naravno, mogao dokazati, a malo kasnije taj će dokaz ponovno stvoriti analitičari Nove analitičke enciklopedije. Ali koji su to “objektivni razlozi”?
Postoji zapravo samo jedan takav razlog: u godinama kada je Fermat živio, Taniyamina pretpostavka, na kojoj je Andrew Wiles temeljio svoj dokaz, nije se mogla pojaviti, jer su modularne funkcije s kojima Taniyamina pretpostavka funkcionira otkrivene tek u potkraj XIX stoljeća.
Kako je sam Wiles dokazao teorem? Pitanje nije prazno - važno je za razumijevanje kako je sam Fermat mogao dokazati svoj teorem. Wiles je svoj dokaz temeljio na dokazu Taniyamine pretpostavke koju je 1955. godine iznio 28-godišnji japanski matematičar Yutaka Taniyama.
Hipoteza zvuči ovako: "svaka eliptična krivulja odgovara određenom modularnom obliku." Odavno poznate eliptičke krivulje imaju dvodimenzionalni oblik (nalaze se na ravnini), dok modularne funkcije imaju četverodimenzionalni oblik. Odnosno, Taniyamina hipoteza kombinirala je potpuno različite koncepte - jednostavne ravne krivulje i nezamislive četverodimenzionalne oblike. Sama činjenica kombiniranja raznodimenzionalnih figura u hipotezi znanstvenicima se činila apsurdnom, zbog čega joj 1955. godine nije pridavana nikakva važnost.
No, u jesen 1984. iznenada se ponovno sjetilo “Taniyamine pretpostavke”, i ne samo da se sjetilo, nego je njezin mogući dokaz povezan s dokazom Fermatova teorema! To je učinio matematičar iz Saarbrückena Gerhard Frey, koji je znanstvenu zajednicu obavijestio da "ako bi netko uspio dokazati Taniyaminu pretpostavku, onda bi Fermatov posljednji teorem također bio dokazan."
Što je Frey učinio? On je transformirao Fermatovu jednadžbu u kubnu, a zatim je uočio da eliptična krivulja dobivena korištenjem Fermatove jednadžbe transformirane u kubnu ne može biti modularna. Međutim, Taniyamina pretpostavka tvrdi da svaka eliptična krivulja može biti modularna! Prema tome, eliptična krivulja konstruirana iz Fermatove jednadžbe ne može postojati, što znači da ne mogu postojati cijela rješenja i Fermatov teorem, što znači da je istinita. Pa, 1993. Andrew Wiles jednostavno je dokazao Taniyaminu pretpostavku, a time i Fermatov teorem.
Međutim, Fermatov teorem može se dokazati mnogo jednostavnije, na temelju iste multidimenzionalnosti na kojoj su operirali i Taniyama i Frey.
Za početak, obratimo pozornost na uvjet koji je naveo sam Pierre Fermat - n>2. Zašto je ovaj uvjet bio potreban? Da, samo zbog činjenice da s n=2 poseban slučaj Fermatovog teorema postaje uobičajeni Pitagorin teorem X 2 +Y 2 =Z 2, koji ima beskonačan broj cjelobrojnih rješenja - 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 12,16,20; 51,140,149 i tako dalje. Stoga je Pitagorin teorem iznimka od Fermatova teorema.
Ali zašto se takva iznimka javlja u slučaju n=2? Sve dolazi na svoje mjesto ako vidite odnos između stupnja (n=2) i dimenzije same figure. Pitagorin trokut je dvodimenzionalni lik. Nije iznenađujuće da se Z (odnosno hipotenuza) može izraziti pomoću kateta (X i Y), koji mogu biti cijeli brojevi. Veličina kuta (90) omogućuje da se hipotenuza smatra vektorom, a noge su vektori smješteni na osi i dolaze iz ishodišta. Prema tome, moguće je izraziti dvodimenzionalni vektor koji ne leži ni na jednoj od osi preko vektora koji leže na njima.
Sada, ako prijeđemo na treću dimenziju, a time i na n=3, da bismo izrazili trodimenzionalni vektor, neće biti dovoljno informacija o dva vektora, pa će stoga biti moguće izraziti Z u Fermatovoj jednadžbi kroz najmanje tri člana (tri vektora koji leže redom na tri osi koordinatnog sustava).
Ako je n=4, onda bi trebalo biti 4 člana, ako je n=5, onda bi trebalo biti 5 članova, i tako dalje. U ovom slučaju bit će više nego dovoljno cjelovitih rješenja. Na primjer, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 i tako dalje (možete sami odabrati druge primjere za n=3, n=4 i tako dalje).
Što slijedi iz svega ovoga? Iz ovoga slijedi da Fermatov teorem stvarno nema cjelobrojna rješenja za n>2 - ali samo zato što je sama jednadžba netočna! S istim uspjehom bi se mogao pokušati izraziti obujam paralelopipeda u smislu duljina njegovih dvaju bridova - naravno, to je nemoguće (nikada se neće naći cijela rješenja), ali samo zato da se pronađe obujam paralelopipeda. morate znati duljine sva tri njegova ruba.
Kada su slavnog matematičara Davida Gilberta upitali koji je sada najvažniji problem za znanost, odgovorio je “hvatanje muhe na suprotnoj strani Mjeseca”. Na razumno pitanje "Kome ovo treba?" odgovorio je: "Ovo nikome ne treba, ali razmislite koliko važnih, složenih problema treba riješiti da bi se to provelo."
Drugim riječima, Fermat (pravnik prije svega!) duhovito se pravnički našalio s cijelim matematičkim svijetom, temeljenu na netočnoj formulaciji problema. On je, naime, sugerirao matematičarima da pronađu odgovor zašto muha s druge strane Mjeseca ne može živjeti, a na marginama “Aritmetike” htio je napisati samo da na Mjesecu jednostavno nema zraka, tj. Ne može postojati cjelovito rješenje njegovog teorema za n>2 samo zato što svaka vrijednost n mora odgovarati određenom broju članova na lijevoj strani njegove jednadžbe.
Ali je li to bila samo šala? Nikako. Fermatova genijalnost leži upravo u tome što je on zapravo prvi uočio odnos između stupnja i dimenzije matematičke figure – odnosno, što je apsolutno ekvivalentno, broja članova na lijevoj strani jednadžbe. Smisao njegovog poznatog teorema bio je upravo u tome da ne samo gurne matematički svijet na ideju ovog odnosa, već i da pokrene dokaz o postojanju tog odnosa - intuitivno razumljiv, ali još ne i matematički potkrijepljen.
Fermat je, kao nitko drugi, shvatio da je uspostavljanje odnosa između naizgled različitih objekata izuzetno plodonosno ne samo u matematici, već iu svakoj znanosti. Ovaj odnos ukazuje na neki duboki princip koji leži u osnovi oba objekta i omogućuje njihovo dublje razumijevanje.
Na primjer, fizičari su u početku na elektricitet i magnetizam gledali kao na potpuno nepovezane fenomene, no u 19. stoljeću teoretičari i eksperimentatori shvatili su da su elektricitet i magnetizam usko povezani. Kao rezultat toga, postignuto je bolje razumijevanje i elektriciteta i magnetizma. Električne struje stvaraju magnetska polja, a magneti mogu inducirati elektricitet u vodičima blizu magneta. To je dovelo do izuma dinama i elektromotora. Na kraju je otkriveno da je svjetlost rezultat usklađenih harmoničnih oscilacija magnetskog i električnog polja.
Matematika Fermatova vremena sastojala se od otoka znanja u moru neznanja. Na jednom otoku živjeli su geometri proučavajući oblike, na drugom otoku matematičari teorije vjerojatnosti proučavali su rizike i slučajnost. Jezik geometrije bio je vrlo različit od jezika teorije vjerojatnosti, a algebarska terminologija bila je strana onima koji su govorili samo o statistici. Nažalost, matematika našeg vremena sastoji se od približno istih otoka.
Fermat je prvi shvatio da su svi ti otoci međusobno povezani. A njegov poznati teorem - Fermatov posljednji teorem - izvrsna je potvrda za to.