Na temelju geometrijskog značenja integrala kao površine, možemo reći da je vjerojatnost ispunjenja nejednakosti jednaka površini krivocrtnog trapeza s bazom , omeđen gore krivuljom (slika 6).

Budući da i na temelju formule (22)

Koristeći formulu (22), nalazimo kao derivaciju integrala s obzirom na gornju graničnu varijablu, smatrajući da je gustoća distribucije kontinuirana**:

Imajte na umu da za kontinuiranu slučajnu varijablu funkcija distribucije F(x) kontinuirano u bilo kojoj točki x, gdje je funkcija kontinuirana. To proizlazi iz činjenice da F(x) je diferencijabilna u tim točkama.

Na temelju formule (23), uz pretpostavku x 1 =x, imamo

Zbog kontinuiteta funkcije F(x) shvaćamo to

Stoga

Tako, vjerojatnost Ići, Što stalan slučajan veličina Može biti prihvatiti bilo koji odvojiti značenje X, jednak nula.

Iz toga slijedi da događaji koji se sastoje u ispunjenju svake od nejednakosti

Imaju istu vjerojatnost, tj.

Zapravo, npr.

Komentar. Kao što znamo, ako je neki događaj nemoguć, tada je vjerojatnost njegovog pojavljivanja jednaka nuli. S klasičnom definicijom vjerojatnosti, kada je broj ishoda testa konačan, vrijedi i obrnuta tvrdnja: ako je vjerojatnost događaja jednaka nuli, tada je događaj nemoguć, jer mu u ovom slučaju nijedan od ishoda testa ne ide u prilog. U slučaju kontinuirane slučajne varijable, broj njezinih mogućih vrijednosti je beskonačan. Vjerojatnost da će ta količina poprimiti određenu vrijednost x 1 kao što smo vidjeli, jednaka je nuli. Međutim, iz ovoga ne slijedi da je ovaj događaj nemoguć, jer kao rezultat testa slučajna varijabla može, posebice, poprimiti vrijednost x 1 . Dakle, u slučaju kontinuirane slučajne varijable ima smisla govoriti o vjerojatnosti da će slučajna varijabla upasti u interval, a ne o vjerojatnosti da će poprimiti neku određenu vrijednost.

Tako nas, primjerice, kod izrade valjka ne zanima kolika je vjerojatnost da će njegov promjer biti jednak nazivnoj vrijednosti. Ono što nam je bitno je vjerojatnost da je promjer valjka u granicama tolerancije.

Primjer. Gustoća distribucije kontinuirane slučajne varijable dana je kako slijedi:

Grafikon funkcije prikazan je na sl. 7. Odrediti vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost koja zadovoljava nejednakosti.Naći funkciju distribucije zadane slučajne varijable. ( Riješenje)

Sljedeća dva odlomka posvećena su distribucijama kontinuiranih slučajnih varijabli koje se često susreću u praksi - uniformnoj i normalnoj distribuciji.

* Funkcija se naziva kontinuiranom po komadu na cijelom brojevnom pravcu ako je kontinuirana na bilo kojem segmentu ili ima konačan broj točaka diskontinuiteta prve vrste.

** Pravilo diferenciranja integrala s promjenjivom gornjom granicom, izvedeno u slučaju konačne donje granice, ostaje važeće za integrale s beskonačnom donjom granicom. Doista,

Budući da integral

postoji konstantna vrijednost.

Slučajne varijable

Slučajne varijable označavaju numeričke karakteristike slučajnih događaja. Drugim riječima, slučajne varijable su numerički rezultati eksperimenata čije se vrijednosti ne mogu (u određenom trenutku) unaprijed predvidjeti.

Na primjer, sljedeće vrijednosti mogu se smatrati slučajnim:

2. Postotak dječaka među djecom rođenom u određenom rodilištu na određeni dan.

3. Broj i površina sunčevih pjega vidljivih na određenoj zvjezdarnici tijekom određenog dana.

4. Broj studenata koji su zakasnili na ovo predavanje.

5. Tečaj dolara na burzi (recimo, na MICEX), iako možda nije tako "slučajan" kao što se čini običnim ljudima.

6. Broj kvarova opreme određenog dana u određenom poduzeću.

Slučajne varijable se dijele na diskretne i kontinuirane, ovisno o tome je li skup svih mogućih vrijednosti odgovarajuće karakteristike diskretan ili kontinuiran.

Ova je podjela prilično proizvoljna, ali korisna pri izboru odgovarajućih metoda istraživanja. Ako je broj mogućih vrijednosti slučajne varijable konačan ili usporediv sa skupom svih prirodnih brojeva (tj. može se ponovno numerirati), tada je slučajna varijabla PDF stvorena s FinePrint pdfFactory probnom verzijom http://www.fineprint.com naziva se diskretnim. Inače se naziva kontinuiranim, iako se zapravo implicitno pretpostavlja da zapravo kontinuirane slučajne varijable poprimaju svoju vrijednost u nekom jednostavnom numeričkom intervalu (segmentu, intervalu). Na primjer, slučajne varijable navedene gore pod brojevima 4 i 6 bit će diskretne, a kontinuirane - pod brojevima 1 i 3 (točkasta područja). Ponekad slučajna varijabla ima mješoviti karakter. Takav je, na primjer, tečaj dolara (ili neke druge valute), koji zapravo uzima samo diskretan skup vrijednosti, ali se u isto vrijeme ispostavlja zgodnim smatrati da skup njegovih vrijednosti je "kontinuirano".

Slučajne varijable mogu se specificirati na različite načine.

Diskretne slučajne varijable obično su specificirane svojim zakonom raspodjele. Ovdje je svaka moguća vrijednost x1, x2,... slučajne varijable X pridružena vjerojatnosti p1,p2,... te vrijednosti. Rezultat je tablica koja se sastoji od dva reda:

Ovo je zakon raspodjele slučajne varijable.

Kontinuirane slučajne varijable ne mogu se specificirati zakonom distribucije, budući da se po samoj definiciji njihove vrijednosti ne mogu prenumerirati i stoga je njihovo postavljanje u obliku tablice ovdje isključeno. Međutim, za kontinuirane slučajne varijable postoji još jedan način specificiranja (primjenjiv, usput, i za diskretne varijable) - to je funkcija distribucije:

jednaka vjerojatnosti događaja, a to je da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju od zadanog broja x.

Često je umjesto funkcije distribucije zgodno koristiti drugu funkciju - gustoću f(x) distribucije slučajne varijable X. Ponekad se naziva i diferencijalna funkcija distribucije, a F(x) u ovoj terminologiji je naziva se kumulativna funkcija distribucije. Ove dvije funkcije međusobno određuju jedna drugu pomoću sljedećih formula:

Ako je slučajna varijabla diskretna, onda za nju koncept funkcije distribucije također ima smisla; u ovom slučaju, graf funkcije distribucije sastoji se od vodoravnih dijelova, od kojih se svaki nalazi iznad prethodnog za iznos jednak pi .

Važni primjeri diskretnih veličina su, na primjer, binomno raspodijeljene količine (Bernoullijeva distribucija), za koje je PDF izrađen uz FinePrint pdfFactory probna verzija http://www.fineprint.com

n pk(1-p)n-k= !()!

gdje je p vjerojatnost pojedinačnog događaja (ponekad se konvencionalno naziva "vjerojatnost uspjeha"). Ovako se distribuiraju rezultati niza sekvencijalnih homogenih testova (Bernoullijeva shema). Granični slučaj binomne distribucije (kako se broj pokušaja povećava) je Poissonova distribucija, za koju

pk=?k/k!exp(-?),

gdje je?>0 neki pozitivni parametar.

Najjednostavniji primjer kontinuirane distribucije je uniformna distribucija. Ima konstantnu gustoću distribucije na segmentu jednaku 1/(b-a), a izvan tog segmenta gustoća je 0.

Izuzetno važan primjer kontinuirane distribucije je normalna distribucija. Specificiran je s dva parametra m i? (matematičko očekivanje i standardna devijacija - vidi dolje), njegova gustoća distribucije ima oblik:

1 exp(-(x-m)2/2?2)

Temeljna uloga normalne distribucije u teoriji vjerojatnosti objašnjava se činjenicom da je, zbog Central Limit Theorema (CLT), zbroj velikog broja slučajnih varijabli koje su po paru neovisne (vidi dolje za koncept neovisnosti slučajnih varijable) ili slabo ovisne ispada da je približno raspodijeljena prema normalnom zakonu. Slijedi da se slučajna varijabla, čija je slučajnost uzrokovana nametanjem velikog broja slabo ovisnih slučajnih faktora, može smatrati približno normalno raspodijeljenom (bez obzira na to kako su raspoređeni faktori koji je čine). Drugim riječima, zakon normalne distribucije vrlo je univerzalan.

Postoji nekoliko numeričkih karakteristika koje su prikladne za korištenje pri proučavanju slučajnih varijabli. Među njima izdvajamo matematičko očekivanje

jednaka prosječnoj vrijednosti slučajne varijable, varijanca

D(X)=M(X-M(X))2,

jednaka matematičkom očekivanju kvadrata odstupanja slučajne varijable od prosječne vrijednosti, i još jedna, u praksi zgodna, dodatna vrijednost (iste dimenzije kao izvorna slučajna varijabla):

naziva se standardna devijacija. Pretpostavit ćemo (bez daljnjeg specificiranja) da svi pisani integrali postoje (tj. konvergiraju na cijeloj numeričkoj osi). Kao što je poznato, disperzija i standardna devijacija karakteriziraju stupanj raspršenja slučajne varijable oko njezine srednje vrijednosti. Što je manja varijanca PDF-a stvorena probnom verzijom FinePrint pdfFactory http://www.fineprint.com, to su vrijednosti slučajne varijable bliže grupirane oko njezine prosječne vrijednosti.

Na primjer, očekivana vrijednost za Poissonovu distribuciju je ?, za uniformnu distribuciju jednaka je (a+b)/2, a za normalnu distribuciju jednaka je m. Varijanca za Poissonovu distribuciju jednaka je?, za jednoliku distribuciju (b-a)2/12, a za normalnu distribuciju jednaka je?2. U nastavku će se koristiti sljedeća svojstva matematičkog očekivanja i disperzije:

1. M(X+Y)= M(X)+M(Y).

3. D(cX)=c2D(X), gdje je c proizvoljan konstantan broj.

4. D(X+A)=D(A) za proizvoljnu konstantnu (neslučajnu) vrijednost A.

Slučajna varijabla?=U-MU naziva se centriranom. Iz svojstva 1 slijedi da je M?=M(U-MU)=M(U)-M(U)=0, odnosno njegova prosječna vrijednost je 0 (s tim je i povezan naziv). Štoviše, na temelju svojstva 4 imamo D(?)=D(U).

Također postoji korisna relacija koju je zgodno koristiti u praksi za izračunavanje varijance i povezanih veličina:

5. D(X)=M(X2)-M(X)2

Slučajne varijable X i Y nazivaju se neovisnima ako su za njihove proizvoljne vrijednosti x odnosno y događaji i neovisni. Na primjer, rezultati mjerenja napona u električnoj mreži i rast glavnog inženjera energetike poduzeća bit će neovisni (očigledno...). Ali snaga ove električne mreže i plaća glavnog inženjera energetike u poduzećima više se ne mogu uvijek smatrati neovisnima.

Ako su slučajne varijable X i Y neovisne, tada vrijede i sljedeća svojstva (koja ne moraju vrijediti za proizvoljne slučajne varijable):

5. M(XY)=M(X)M(Y).

6. D(X+Y)=D(X)+D(Y).

Osim pojedinačnih slučajnih varijabli X,Y,... proučavaju se i sustavi slučajnih varijabli. Na primjer, par (X,Y) slučajnih varijabli može se tretirati kao nova slučajna varijabla čije su vrijednosti dvodimenzionalni vektori. Slično se mogu promatrati i sustavi većeg broja slučajnih varijabli, koji se nazivaju višedimenzionalne slučajne varijable. Sustavi veličina ove vrste također su određeni svojom funkcijom raspodjele. Na primjer, za sustav dviju slučajnih varijabli ova funkcija ima oblik

F(x,y)=P,

odnosno jednaka je vjerojatnosti događaja da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju od zadanog broja x, a slučajna varijabla Y vrijednost manju od zadanog broja y. Ova se funkcija također naziva funkcija zajedničke distribucije slučajnih varijabli X i Y. Također možete uzeti u obzir srednji vektor - prirodni analog matematičkog očekivanja, ali umjesto disperzije morate proučavati nekoliko numeričkih karakteristika koje se nazivaju momenti drugog reda. Ovo su, prvo, dvije djelomične varijance DX i DY PDF stvorene s FinePrint pdfFactory probnom verzijom http://www.fineprint.com slučajnih varijabli X i Y, koje se razmatraju odvojeno, i, drugo, kovarijancijski moment, koji se detaljnije razmatra u nastavku .

Ako su slučajne varijable X i Y neovisne, tada

F(x,y)=FX(x)FY(y)

Umnožak funkcija distribucije slučajnih varijabli X i Y i stoga proučavanje para nezavisnih slučajnih varijabli uvelike se svodi na jednostavno zasebno proučavanje X i Y.

Slučajne varijable

Gore smo razmatrali eksperimente čiji su rezultati slučajni događaji. Međutim, često postoji potreba da se rezultati eksperimenta kvantitativno prikažu u obliku određene veličine, koja se naziva slučajna varijabla. Slučajna varijabla je drugi (nakon slučajnog događaja) glavni predmet proučavanja u teoriji vjerojatnosti i pruža općenitiji način opisivanja iskustva sa slučajnim ishodom od skupa slučajnih događaja.

Kad smo razmatrali pokuse sa slučajnim ishodima, već smo imali posla sa slučajnim varijablama. Stoga je broj uspjeha u nizu pokušaja primjer slučajne varijable. Drugi primjeri slučajnih varijabli su: broj poziva na telefonskoj centrali u jedinici vremena; vrijeme čekanja na sljedeći poziv; broj čestica s određenom energijom u sustavima čestica razmatranih u statističkoj fizici; prosječna dnevna temperatura u određenom području itd.

Slučajnu varijablu karakterizira činjenica da je nemoguće točno predvidjeti vrijednost koju će poprimiti, no s druge strane, skup njezinih mogućih vrijednosti obično je poznat. Dakle, za broj uspjeha u nizu pokušaja, ovaj skup je konačan, budući da broj uspjeha može poprimiti vrijednosti. Skup vrijednosti slučajne varijable može se podudarati s stvarnom poluosi, kao u slučaju vremena čekanja itd.

Razmotrimo primjere eksperimenata sa slučajnim ishodom, za čiji se opis obično koriste slučajni događaji, te uvedimo ekvivalentan opis navođenjem slučajne varijable.

1). Neka rezultat iskustva bude događaj ili događaj. Zatim se ovaj eksperiment može povezati sa slučajnom varijablom koja ima dvije vrijednosti, na primjer, i s vjerojatnostima i, te se jednakosti odvijaju: i. Dakle, iskustvo karakteriziraju dva ishoda s vjerojatnostima i, ili isto iskustvo karakterizira slučajna varijabla koja ima dvije vrijednosti i s vjerojatnostima i.

2). Razmotrimo eksperiment bacanja kocke. Ovdje ishod eksperimenta može biti jedan od događaja, gdje - pojavljivanje strane s brojem. Vjerojatnosti. Uvedimo ekvivalentan opis ovog eksperimenta koristeći slučajnu varijablu koja može poprimiti vrijednosti s vjerojatnostima.

3). Niz neovisnih pokušaja karakterizira potpuna skupina nekompatibilnih događaja, gdje je događaj koji se sastoji od pojave uspjeha u nizu pokušaja; a vjerojatnost događaja određena je Bernoullijevom formulom, tj. Ovdje možete unijeti slučajnu varijablu - broj uspjeha, koji uzima vrijednosti s vjerojatnostima. Dakle, slijed neovisnih pokusa karakteriziraju slučajni događaji s njihovim vjerojatnostima ili slučajna varijabla s vjerojatnostima onoga što poprima vrijednosti.

4). Međutim, za svaki eksperiment sa slučajnim ishodom ne postoji tako jednostavna korespondencija između slučajne varijable i skupa slučajnih događaja. Na primjer, razmotrite eksperiment u kojem je točka nasumično bačena na segment. Ovdje je prirodno uvesti slučajnu varijablu - koordinatu na segmentu gdje pada točka. Dakle, možemo govoriti o slučajnom događaju, gdje je broj. Međutim, vjerojatnost ovog događaja. Možete to učiniti drugačije - podijelite segment na konačan broj disjunktnih segmenata i razmotrite slučajne događaje koji se sastoje u činjenici da slučajna varijabla uzima vrijednosti iz intervala. Tada su vjerojatnosti konačne veličine. Međutim, ova metoda također ima značajan nedostatak, budući da su segmenti odabrani proizvoljno. Kako bi se uklonio ovaj nedostatak, razmotrite segmente obrasca u kojima se nalazi varijabla. Tada je odgovarajuća vjerojatnost funkcija argumenta. Time se komplicira matematički opis slučajne varijable, ali istovremeno opis (29.1) postaje jedinstven, a dvosmislenost u izboru segmenata otklanja se.

Za svaki od razmatranih primjera lako je definirati prostor vjerojatnosti, gdje je prostor elementarnih događaja, je algebra događaja (podskupova), a je vjerojatnost definirana za bilo koji. Na primjer, u posljednjem primjeru, - je algebra svih segmenata sadržanih u.

Razmotreni primjeri dovode do sljedeće definicije slučajne varijable.

Neka je prostor vjerojatnosti. Slučajna varijabla je realna funkcija s jednom vrijednošću, definirana na, za koju je skup elementarnih događaja oblika događaj (tj. pripada) za svaki realni broj.

Dakle, definicija zahtijeva da za svako realno postoji skup, a ovaj uvjet osigurava da je za svaki definirana vjerojatnost događaja. Taj se događaj obično označava kraćim zapisom.

Funkcija distribucije vjerojatnosti

Funkcija se naziva funkcija distribucije vjerojatnosti slučajne varijable.

Funkcija se ponekad naziva kratko - funkcija distribucije, a također - integralni zakon distribucije vjerojatnosti slučajne varijable. Funkcija je cjelovita karakteristika slučajne varijable, odnosno ona je matematički opis svih svojstava slučajne varijable i ne postoji detaljniji način za opisivanje tih svojstava.

Uočimo sljedeću važnu značajku definicije (30.1). Često se funkcija definira drugačije:

Prema (30.1) funkcija je kontinuirana desno. O ovom pitanju će se detaljnije raspravljati u nastavku. Ako koristimo definiciju (30.2), tada je - kontinuirana s lijeve strane, što je posljedica primjene stroge nejednakosti u relaciji (30.2). Funkcije (30.1) i (30.2) su ekvivalentni opisi slučajne varijable, jer nije važno koja se definicija koristi i pri proučavanju teorijskih pitanja i pri rješavanju problema. Radi određenosti, u nastavku ćemo koristiti samo definiciju (30.1).

Razmotrimo primjer konstruiranja grafa funkcije. Neka slučajna varijabla ima vrijednosti s vjerojatnostima i. Dakle, ova slučajna varijabla uzima druge vrijednosti osim onih navedenih s nultom vjerojatnošću:, za bilo koji,. Ili kako kažu, slučajna varijabla ne može imati druge vrijednosti osim. Neka bude sigurno. Nađimo vrijednosti funkcije za intervale: 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7). Na prvom intervalu, dakle funkcija raspodjele. 2). Ako tada. Očito slučajni događaji i nekompatibilni, dakle, prema formuli za zbrajanje vjerojatnosti. Prema uvjetu, događaj je nemoguć i, a. Zato. 3). Neka bude onda. Ovdje je prvi izraz, a drugi, jer je događaj nemoguć. Dakle, za sve koji zadovoljavaju uvjet. 4). Neka bude onda. 5). Ako tada. 6) Kada imamo. 7) Ako, onda. Rezultati proračuna prikazani su na sl. 30.1 graf funkcije. Na prijelomnim točkama označen je kontinuitet funkcije s desne strane.

Osnovna svojstva funkcije distribucije vjerojatnosti

Razmotrimo glavna svojstva funkcije distribucije, koja izravno proizlaze iz definicije:

1. Uvedimo oznaku:. Zatim iz definicije proizlazi. Ovdje se izraz smatra nemogućim događajem s nultom vjerojatnošću.

2. Pusti to. Tada slijedi iz definicije funkcije. Slučajni događaj je pouzdan i njegova je vjerojatnost jednaka jedinici.

3. Vjerojatnost slučajnog događaja koja se sastoji u činjenici da slučajna varijabla uzima vrijednost iz intervala na određena je kroz funkciju sljedećom jednakošću

Da bismo dokazali ovu jednakost, razmotrimo relaciju.

Događaji i su nekompatibilni, stoga prema formuli za zbrajanje vjerojatnosti iz (31.3) slijedi da se i podudara s formulom (31.2), jer i.

4. Funkcija je neopadajuća. Za dokaz, pogledajmo. U tom slučaju vrijedi jednakost (31.2). Njegova lijeva strana je zato što vjerojatnost uzima vrijednosti iz intervala. Stoga je desna strana jednakosti (31.2) nenegativna:, ili. Ova jednakost je dobivena pod uvjetom, dakle, da je neopadajuća funkcija.

5. Funkcija je desna kontinuirana u svakoj točki, tj.

gdje je bilo koji niz koji teži udesno, tj. I.

Da bismo to dokazali, predstavimo funkciju kao:

Sada, na temelju aksioma prebrojive aditivnosti vjerojatnosti, izraz u vitičastim zagradama je jednak, čime se dokazuje pravi kontinuitet funkcije.

Dakle, svaka funkcija distribucije vjerojatnosti ima svojstva 1-5. Vrijedi i obrnuta tvrdnja: ako zadovoljava uvjete 1-5, tada se može smatrati funkcijom distribucije neke slučajne varijable.

Funkcija distribucije vjerojatnosti diskretne slučajne varijable

Slučajna varijabla se naziva diskretnom ako je skup njenih vrijednosti konačan ili prebrojiv.

Za potpuni probabilistički opis diskretne slučajne varijable koja poprima vrijednosti, dovoljno je specificirati vjerojatnosti da slučajna varijabla poprimi vrijednost. Ako su dani i, tada se funkcija distribucije vjerojatnosti diskretne slučajne varijable može predstaviti kao:

Ovdje se zbrajanje provodi po svim indeksima koji zadovoljavaju uvjet.

Funkcija distribucije vjerojatnosti diskretne slučajne varijable ponekad se predstavlja kroz takozvanu jediničnu funkciju skoka.

U ovom slučaju, poprima oblik ako slučajna varijabla ima konačan skup vrijednosti, a gornja granica zbrajanja u (32.4) postavljena je na jednaku ako slučajna varijabla uzima prebrojiv skup vrijednosti.

Primjer konstruiranja grafa funkcija distribucije vjerojatnosti diskretne slučajne varijable razmatran je u paragrafu 30.

Gustoća distribucije vjerojatnosti

Neka slučajna varijabla ima diferencijabilnu funkciju distribucije vjerojatnosti, tada se funkcija naziva gustoća distribucije vjerojatnosti (ili gustoća vjerojatnosti) slučajne varijable, a slučajna varijabla se naziva kontinuirana slučajna varijabla.

Razmotrimo osnovna svojstva gustoće vjerojatnosti.

Iz definicije derivacije slijedi jednakost:

Prema svojstvima funkcije vrijedi jednakost. Stoga (33.2) ima oblik:

Ovaj odnos objašnjava naziv funkcije. Doista, prema (33.3), funkcija je vjerojatnost po jedinici intervala u točki, jer. Dakle, gustoća vjerojatnosti definirana relacijom (33.3) slična je definicijama gustoća drugih veličina poznatih u fizici, kao što su gustoća struje, gustoća materije, gustoća naboja itd.

2. Budući da je neopadajuća funkcija, njezina derivacija je nenegativna funkcija:

3. Slijedi iz (33.1), jer. Dakle, jednakost je istinita

4. Budući da iz relacije (33.5) slijedi

Jednakost koja se naziva uvjet normalizacije. Njegova lijeva strana je vjerojatnost određenog događaja.

5. Neka onda slijedi iz (33.1)

Ovaj odnos je važan za aplikacije jer omogućuje izračunavanje vjerojatnosti kroz funkciju gustoće vjerojatnosti ili kroz funkciju distribucije vjerojatnosti. Ako to postavimo, onda relacija (33.6) slijedi iz (33.7).

Na sl. Slika 33.1 prikazuje primjere funkcije distribucije i grafova gustoće vjerojatnosti.

Imajte na umu da gustoća distribucije vjerojatnosti može imati nekoliko maksimuma. Vrijednost argumenta pri kojoj gustoća ima maksimum naziva se način distribucije slučajne varijable. Ako gustoća ima više od jednog moda, naziva se multimodalna.

Gustoća vjerojatnosti diskretne slučajne varijable

distribucija diskretna gustoća vjerojatnosti

Neka slučajna varijabla ima vrijednosti s vjerojatnostima. Tada je njegova funkcija distribucije vjerojatnosti gdje je funkcija jediničnog skoka. Gustoća vjerojatnosti slučajne varijable može se odrediti iz njezine funkcije distribucije, uzimajući u obzir jednakost. Međutim, u ovom slučaju nastaju matematičke poteškoće zbog činjenice da funkcija jediničnog skoka uključena u (34.1) ima diskontinuitet prve vrste na. Dakle, ne postoji derivacija funkcije u točki.

Kako bi se prevladala ova složenost, uvedena je -funkcija. Jedinična funkcija skoka može se prikazati kroz -funkciju sljedećom jednakošću:

Tada se formalno derivacija i gustoća vjerojatnosti diskretne slučajne varijable određuju iz relacije (34.1) kao derivacija funkcije:

Funkcija (34.4) ima sva svojstva gustoće vjerojatnosti. Pogledajmo primjer. Neka diskretna slučajna varijabla ima vrijednosti s vjerojatnostima i neka,. Tada se vjerojatnost da će slučajna varijabla uzeti vrijednost iz segmenta može izračunati na temelju općih svojstava gustoće pomoću formule:

Ovdje, budući da se singularna točka funkcije određena uvjetom nalazi unutar domene integracije at, a singularna točka se nalazi izvan domene integracije. Tako.

Za funkciju (34.4) također je zadovoljen uvjet normalizacije:

Imajte na umu da se u matematici zapis oblika (34.4) smatra netočnim (neispravnim), a zapis (34.2) ispravnim. To je zbog činjenice da je - funkcija s nula argumentom i kaže se da ne postoji. S druge strane, u (34.2) funkcija je sadržana pod integralom. Štoviše, desna strana (34.2) je konačna vrijednost za bilo koju, tj. integral -funkcije postoji. Unatoč tome, u fizici, tehnologiji i drugim primjenama teorije vjerojatnosti često se koristi prikaz gustoće u obliku (34.4), koji, prvo, omogućuje dobivanje točnih rezultata korištenjem svojstava - funkcija, i drugo, ima očitu fizikalnu tumačenje.

Primjeri gustoća i funkcija distribucije vjerojatnosti

35.1. Kaže se da je slučajna varijabla ravnomjerno raspoređena na intervalu ako je njezina gustoća distribucije vjerojatnosti

gdje je broj određen iz uvjeta normalizacije:

Zamjenom (35.1) u (35.2) dolazi se do jednakosti čije rješenje ima oblik:.

Funkcija distribucije vjerojatnosti jednoliko raspodijeljene slučajne varijable može se pronaći pomoću formule (33.5), koja određuje kroz gustoću:

Na sl. Na slici 35.1 prikazani su grafovi funkcija i jednoliko raspodijeljene slučajne varijable.

35.2. Slučajna varijabla se naziva normalnom (ili Gaussovom) ako je njezina gustoća distribucije vjerojatnosti:

gdje su brojevi koji se nazivaju parametri funkcije. Kada funkcija dobije najveću vrijednost:. Parametar ima značenje efektivne širine. Osim ove geometrijske interpretacije, parametri imaju i probabilističku interpretaciju, o čemu će biti riječi kasnije.

Iz (35.4) slijedi izraz za funkciju distribucije vjerojatnosti

gdje je Laplaceova funkcija. Na sl. 35.2 prikazuje grafove funkcija i normalne slučajne varijable. Oznaka se često koristi za označavanje da slučajna varijabla ima normalnu distribuciju s parametrima.

35.3. Slučajna varijabla ima Cauchyjevu funkciju gustoće vjerojatnosti ako

Ova gustoća odgovara funkciji raspodjele

35.4. Kaže se da je slučajna varijabla raspodijeljena prema eksponencijalnom zakonu ako njezina gustoća distribucije vjerojatnosti ima oblik:

Odredimo njegovu funkciju distribucije vjerojatnosti. Kada slijedi iz (35.8). Ako tada

35.5. Rayleighova distribucija vjerojatnosti slučajne varijable određena je gustoćom oblika

Ova gustoća odgovara funkciji distribucije vjerojatnosti at i jednaka at.

35.6. Razmotrimo primjere konstruiranja funkcije distribucije i gustoće diskretne slučajne varijable. Neka je slučajna varijabla broj uspjeha u nizu neovisnih pokušaja. Tada slučajna varijabla poprima vrijednosti s vjerojatnošću određenom Bernoullijevom formulom:

gdje su vjerojatnosti uspjeha i neuspjeha u jednom eksperimentu. Dakle, funkcija distribucije vjerojatnosti slučajne varijable ima oblik

gdje je jedinica skok funkcija. Otuda gustoća distribucije:

gdje je delta funkcija.

Singularne slučajne varijable

Osim diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli, postoje i tzv. singularne slučajne varijable. Ove slučajne varijable karakterizira činjenica da je njihova funkcija distribucije vjerojatnosti kontinuirana, ali točke rasta čine skup nulte mjere. Točka rasta funkcije je vrijednost njenog argumenta tako da derivacija.

Dakle, gotovo svugdje u domeni definiranja funkcije. Funkcija koja zadovoljava ovaj uvjet naziva se i singularna. Primjer singularne funkcije distribucije je Cantorova krivulja (slika 36.1), koja se konstruira na sljedeći način. Oslanja se na i na. Zatim se interval podijeli na tri jednaka dijela (segmenta) i odredi se vrijednost za unutarnji segment - kao poluzbroj već određenih vrijednosti u najbližim segmentima desno i lijevo. U ovom trenutku, funkcija je definirana za, njezinu vrijednost i za s vrijednošću. Poluzbroj ovih vrijednosti jednak je i određuje vrijednost na unutarnjem segmentu. Zatim se razmatraju segmenti i svaki od njih se dijeli na tri jednaka segmenta te se na unutarnjim segmentima određuje funkcija kao poluzbroj zadanih vrijednosti funkcije najbliže desno i lijevo. Dakle, kada je funkcija poput poluzbroja brojeva i. Slično na intervalnoj funkciji. Funkcija se zatim definira na intervalu na kojem itd.

Slični dokumenti

Slučajne varijable. Funkcija i gustoća distribucije vjerojatnosti diskretne slučajne varijable. Singularne slučajne varijable. Matematičko očekivanje slučajne varijable. Čebiševljeva nejednakost. Momenti, kumulante i karakteristična funkcija.

sažetak, dodan 03.12.2007


Pojmovi teorije vjerojatnosti i matematičke statistike, njihova primjena u praksi. Definicija slučajne varijable. Vrste i primjeri slučajnih varijabli. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable. Zakoni distribucije kontinuirane slučajne varijable.

sažetak, dodan 25.10.2015


Vjerojatnost da slučajna varijabla X padne u zadani interval. Iscrtavanje funkcije distribucije slučajne varijable. Određivanje vjerojatnosti da nasumce uzet proizvod zadovoljava standard. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable.

test, dodan 24.01.2013


Diskretne slučajne varijable i njihove distribucije. Formula potpune vjerojatnosti i Bayesova formula. Opća svojstva matematičkog očekivanja. Varijanca slučajne varijable. Funkcija distribucije slučajne varijable. Klasična definicija vjerojatnosti.

test, dodan 13.12.2010


Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable. Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable, gustoća distribucije vjerojatnosti sustava. Kovarijanca. Koeficijent korelacije.

laboratorijski rad, dodan 19.08.2002


Značajke funkcije distribucije kao najuniverzalnije karakteristike slučajne varijable. Opis njegovih svojstava, njihov prikaz pomoću geometrijske interpretacije. Pravilnosti izračuna vjerojatnosti distribucije diskretne slučajne varijable.

prezentacija, dodano 01.11.2013


Određivanje vjerojatnosti različitih događaja pomoću Bernoullijeve formule. Sastavljanje zakona distribucije diskretne slučajne varijable, izračunavanje matematičkog očekivanja, disperzije i standardne devijacije slučajne varijable, gustoće vjerojatnosti.

test, dodan 31.10.2013


Korištenje Bernoullijeve formule za određivanje vjerojatnosti događanja događaja. Iscrtavanje grafa diskretne slučajne varijable. Matematičko očekivanje i svojstva funkcije integralne distribucije. Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable.

test, dodan 29.01.2014


Teorija vjerojatnosti i obrasci masovnih slučajnih pojava. Nejednakost i Čebiševljev teorem. Numeričke karakteristike slučajne varijable. Gustoća distribucije i Fourierova transformacija. Karakteristična funkcija Gaussove slučajne varijable.

sažetak, dodan 24.01.2011


Izračun matematičkog očekivanja, varijance, funkcije distribucije i standardne devijacije slučajne varijable. Zakon raspodjele slučajne varijable. Klasična definicija vjerojatnosti događaja. Određivanje gustoće distribucije.

SLUČAJNE VARIJABLE

§ 1. POJAM SLUČAJNE VARIJABLE.

U fizici i drugim prirodnim znanostima postoji mnogo različitih veličina različite prirode, kao što su vrijeme, duljina, volumen, težina itd. Konstantna veličina je veličina koja ima samo jednu fiksnu vrijednost. Veličine koje mogu poprimiti različite vrijednosti nazivaju se varijablama. Količina se smatra danom ako je naveden skup vrijednosti koje može poprimiti. Ako se nedvosmisleno zna koju će vrijednost iz skupa neka veličina poprimiti kada se stvore određeni uvjeti, tada se o njoj govori kao o “običnoj”, determinističkoj veličini. Primjer takve količine je broj slova u riječi. Većina fizikalnih veličina mjeri se pomoću instrumenata s svojstvenom točnošću mjerenja i, u smislu gornje definicije, nisu "obični". Ove vrste "neuobičajenih" količina nazivaju se slučajan . Za slučajne varijable skup je prikladno nazvati skup mogućih vrijednosti. Slučajna varijabla poprima jednu ili drugu vrijednost s određenom vjerojatnošću. Imajte na umu da se sve količine mogu smatrati slučajnim, jer je deterministička veličina slučajna varijabla koja svaku vrijednost poprima s vjerojatnošću jednakom jedan. Sve gore navedeno dovoljna je osnova za proučavanje slučajnih varijabli.

Definicija. Nasumična varijabla je veličina koja kao rezultat pokusa može poprimiti jednu ili drugu (ali nužno samo jednu) vrijednost, a ne zna se unaprijed, prije pokusa, koju.

Koncept slučajne varijable je temeljni koncept u teoriji vjerojatnosti i igra važnu ulogu u njezinim primjenama.

Slučajne varijable označene su: , a njihove vrijednosti, redom: .

Postoje dvije glavne klase slučajnih varijabli: diskretne i kontinuirane.

Definicija. Diskretna slučajna varijabla je slučajna varijabla čiji je broj mogućih vrijednosti konačan ili prebrojiv.

Primjeri diskretne slučajne varijable:

1. - stopa pogotka s tri hica. Moguće vrijednosti:

2. - broj neispravnih proizvoda iz komada. Moguće vrijednosti:

3. - broj udaraca prije prvog pogotka. Moguće vrijednosti:

Definicija. Kontinuirana slučajna varijabla je slučajna varijabla čije moguće vrijednosti kontinuirano ispunjavaju određeni interval (konačan ili beskonačan).

Primjeri kontinuirane slučajne varijable:

1. - slučajno odstupanje u rasponu od točke udara do mete kada se puca iz pištolja.

Budući da projektil može pogoditi bilo koju točku u intervalu ograničenom minimalnim i maksimalnim vrijednostima mogućeg dometa leta projektila za određeno oružje, moguće vrijednosti slučajne varijable popunjavaju prazninu između minimalnih i maksimalnih vrijednosti.

2. - greške radarskih mjerenja.

3. - vrijeme rada uređaja.

Slučajna varijabla je vrsta apstraktnog izraza nekog slučajnog događaja. Svaki slučajni događaj može se povezati s jednom ili više slučajnih varijabli koje ga karakteriziraju. Na primjer, kada pucate u metu, možete uzeti u obzir sljedeće slučajne varijable: broj pogodaka u metu, učestalost pogodaka u metu, broj bodova postignut prilikom pogađanja određenih područja mete itd.

§ 2 ZAKONI DISTRIBUCIJE VJEROJATNOSTI

SLUČAJNE VARIJABLE.

Definicija. Zakon raspodjele slučajne varijable je bilo koja relacija koja uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti slučajne varijable i odgovarajućih vjerojatnosti.

Ako se prisjetimo definicije funkcije, tada je zakon raspodjele funkcija čija je domena definiranja raspon vrijednosti slučajne varijable, a raspon vrijednosti predmetne funkcije sastoji se od vjerojatnosti vrijednosti slučajne varijable.

2.1. PODRUČJE DISTRIBUCIJE

Razmotrimo diskretnu slučajnu varijablu čije su nam moguće vrijednosti poznate. Ali poznavanje vrijednosti slučajne varijable očito nam ne dopušta da je u potpunosti opišemo, jer ne možemo reći koliko često možemo očekivati ​​određene moguće vrijednosti slučajne varijable pri ponavljanju eksperimenta pod istim uvjetima. Da biste to učinili, morate poznavati zakon distribucije vjerojatnosti.

Kao rezultat eksperimenta, diskretna slučajna varijabla poprima jednu od svojih mogućih vrijednosti, tj. dogodit će se jedan od sljedećih događaja:

koji čine cjelovitu skupinu nekompatibilnih događaja.

Vjerojatnosti ovih događaja:

Najjednostavniji zakon distribucije diskretne slučajne varijable je tablica koja prikazuje sve moguće vrijednosti slučajne varijable i odgovarajuće vjerojatnosti:

Ova tablica se zove blizu distribucije nasumična varijabla.

Radi jasnoće, serija distribucije može se prikazati grafikonom:

Ova izlomljena crta zove se distribucijski poligon . Ovo je također jedan od oblika zadavanja zakona distribucije diskretne slučajne varijable.

Zbroj ordinata poligona distribucije, koji predstavlja zbroj vjerojatnosti svih mogućih vrijednosti slučajne varijable, jednak je jedan.

Primjer 1. U metu su ispaljena tri hica. Vjerojatnost pogotka sa svakim udarcem je 0,7. Napravite niz distribucije za broj pogodaka.

Slučajna varijabla - "broj pogodaka" može poprimiti vrijednosti od 0 do 3 - x, au ovom slučaju vjerojatnosti se određuju Bernoullijevom formulom:

.

Ispitivanje

Primjer 2. Urna sadrži 4 bijele i 6 crnih kuglica. Nasumično se izvlače 4 kuglice. Pronađite zakon raspodjele slučajne varijable - "broj bijelih kuglica među odabranima."

Ova slučajna varijabla može poprimiti vrijednosti od 0 do 4 – x. Nađimo vjerojatnosti mogućih vrijednosti slučajne varijable.

Možemo provjeriti da je zbroj dobivenih vjerojatnosti jednak jedan.

2.2. FUNKCIJA DISTRIBUCIJE.

Niz distribucije ne može se konstruirati za kontinuiranu slučajnu varijablu, jer ona poprima beskonačno mnogo vrijednosti. Univerzalniji zakon distribucije prikladan i za diskretne i za kontinuirane slučajne varijable je distribucijska funkcija.

Definicija. Funkcija distribucije (integralni zakon distribucije) slučajne varijable je zadavanje vjerojatnosti ispunjenja nejednakosti, tj.

(1)

Dakle, funkcija distribucije jednaka je vjerojatnosti da slučajna varijabla kao rezultat eksperimenta padne lijevo od točke.

Za diskretnu slučajnu varijablu za koju znamo niz distribucije:

distribucijska funkcija će izgledati ovako:

Graf funkcije distribucije diskretne slučajne varijable je diskontinuirani stepenasti lik. Radi jasnoće, pogledajmo primjer.

Primjer 3 Dat je niz raspodjela. Pronađite funkciju distribucije i nacrtajte je

A-priorat,

SVOJSTVA FUNKCIJE DISTRIBUCIJE

1 Funkcija raspodjele je nenegativna funkcija čije vrijednosti leže između 0 i 1, tj.

2 Vjerojatnost pojavljivanja slučajne varijable u intervalu jednaka je razlici između vrijednosti funkcije distribucije na krajevima intervala:

3 Funkcija distribucije je neopadajuća funkcija, tj. kada je gotovo: ;

Prijeđimo u jednakosti (2) do limita na . Umjesto vjerojatnosti da slučajna varijabla padne u interval, dobivamo vjerojatnost bodovne vrijednosti slučajne varijable, tj.

Vrijednost ove granice ovisi o tome je li točka točka kontinuiteta funkcije ili ima li funkcija u toj točki diskontinuitet. Ako je funkcija kontinuirana u točki , tada je granica 0, tj. . Ako u ovoj točki funkcija ima diskontinuitet (tip 1), tada je granica jednaka vrijednosti skoka funkcije u točki.

Budući da kontinuirana slučajna varijabla ima kontinuiranu funkciju distribucije, iz jednakosti limita (3) na nulu slijedi da je vjerojatnost bilo koje fiksne vrijednosti kontinuirane slučajne varijable nula. To proizlazi iz činjenice da postoji beskonačno mnogo mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable. Iz ovoga, posebice, slijedi da se sljedeće vjerojatnosti podudaraju:

Zadana svojstva funkcije distribucije mogu se formulirati na sljedeći način: funkcija distribucije je nenegativna neopadajuća funkcija koja zadovoljava uvjete: Vrijedi i obratna tvrdnja: monotono rastuća kontinuirana funkcija koja zadovoljava uvjete

je funkcija distribucije neke kontinuirane slučajne varijable. Ako su vrijednosti ove količine koncentrirane na određeni interval, tada se grafikon ove funkcije može shematski prikazati na sljedeći način:

Razmotrimo primjer. Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable navedena je na sljedeći način:

Pronađite vrijednost "", izgradite graf i pronađite vjerojatnost

Budući da je funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable kontinuirana, onda je to kontinuirana funkcija i mora biti zadovoljena jednakost:

ili, tj.

Nacrtajmo ovu funkciju

Nađimo traženu vjerojatnost

Komentar. Funkcija distribucije, koja se ponekad također naziva integralni zakon raspodjele . U nastavku ćemo objasniti točno zašto.

2.3 GUSTOĆA DISTRIBUCIJE .

Od korištenja funkcije diskretne distribucije

slučajne varijable u bilo kojoj točki možemo odrediti vjerojatnost mogućih vrijednosti, tada jednoznačno određuje zakon distribucije diskretne slučajne varijable.

Međutim, teško je iz distribucijske funkcije prosuditi prirodu distribucije kontinuirane slučajne varijable u malom susjedstvu određene točke na numeričkoj osi.

Vizualniji prikaz prirode distribucije kontinuirane slučajne varijable u blizini različitih točaka daje funkcija tzv. gustoća distribucije (ili diferencijalni zakon distribucije)

Neka je kontinuirana slučajna varijabla s funkcijom distribucije. Nađimo vjerojatnost da ova slučajna varijabla padne u elementarni odjeljak.

Prema formuli (2) imamo

Podijelimo ovu jednakost s

Relacija na lijevoj strani se zove prosječna vjerojatnost po jedinici duljine dionice.

Smatrajući da je funkcija diferencijabilna, prijeđimo do limita u ovoj jednakosti

Definicija. Granica omjera vjerojatnosti pada kontinuirane slučajne varijable na elementarnu dionicu prema duljini te dionice pri naziva se gustoća distribucije kontinuirana slučajna veličina i označava se prema tome,

Gustoća distribucije pokazuje koliko se često slučajna varijabla pojavljuje u određenom susjedstvu točke pri ponavljanju eksperimenata.

Krivulja koja prikazuje graf gustoće distribucije naziva se distribucijska krivulja.

Ako moguće vrijednosti slučajne varijable ispunjavaju određeni interval, onda izvan tog intervala.

Definicija. Slučajna varijabla se zove stalan , ako je njegova distribucijska funkcija kontinuirana na cijelom brojevnom pravcu, a gustoća distribucije kontinuirana posvuda, uz moguću iznimku konačnog broja točaka (diskontinuitetne točke 1. vrste).

SVOJSTVA RASPODJELE GUSTOĆE

1. Gustoća distribucije je nenegativna, tj.

(to slijedi iz činjenice da je derivacija neopadajuće funkcije).

2. Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable

jednaki smo integralu gustoće raspodjele (i stoga je integralni zakon raspodjele), tj.

Doista, (prema definiciji diferencijala funkcije). Stoga,

Na grafu gustoće distribucije funkcija distribucije

predstavljen je područjem zasjenjenog područja.

3. Vjerojatnost da slučajna varijabla padne u neko područje jednaka je integralu gustoće distribucije u tom intervalu, tj.

Doista,

4. Integral po beskonačnim granicama gustoće raspodjele jednak je jedinici, tj.

Drugim riječima, površina slike ispod grafikona gustoće distribucije jednaka je 1. Konkretno, ako su moguće vrijednosti slučajne varijable koncentrirane u području , tada

Primjer. Neka je gustoća distribucije definirana funkcijom

Odredite: a) vrijednost parametra; b) funkcija distribucije c) Izračunajte vjerojatnost da će slučajna varijabla uzeti vrijednost iz segmenta .

a) Po svojstvu 4, . Zatim

b) Svojstvom 2, Ako

ako , .

Tako,

c) Svojstvom 3,

§ 3. NUMERIČKE KARAKTERISTIKE SLUČAJNOG

Pri rješavanju mnogih praktičnih problema nema potrebe poznavati sve vjerojatnosne karakteristike slučajne varijable. Ponekad je dovoljno poznavati samo neke numeričke karakteristike zakona raspodjele.

Brojčane karakteristike omogućuju da se u sažetom obliku izraze najznačajnija obilježja pojedine distribucije.

Za svaku slučajnu varijablu, prije svega, potrebno je znati njezinu prosječnu vrijednost, oko koje se grupiraju sve moguće vrijednosti te vrijednosti, kao i određeni broj koji karakterizira stupanj disperzije tih vrijednosti u odnosu na prosjek.

Razlikuju se karakteristike položaja i karakteristike raspršenja. Jedna od najvažnijih karakteristika pozicije je njezino matematičko očekivanje.

3.1 Matematičko očekivanje (prosječna vrijednost).

Razmotrimo prvo diskretnu slučajnu varijablu koja ima moguće vrijednosti s vjerojatnostima

Definicija. Matematičko očekivanje Diskretna slučajna varijabla je zbroj proizvoda svih mogućih vrijednosti ove varijable i njihovih vjerojatnosti, tj.

Inače se označava matematičko očekivanje

Primjer. Neka je zadan niz distribucije:

Razmotrimo sada kontinuiranu slučajnu varijablu čije su sve moguće vrijednosti sadržane u intervalu .

Podijelimo ovaj segment na parcijalne segmente čije duljine označavamo: , au svakom parcijalnom intervalu uzimamo proizvoljnu točku, redom.

Budući da je umnožak približno jednak vjerojatnosti da slučajna varijabla padne na elementarnu dionicu, tada je zbroj umnožaka sastavljena analogijom s definicijom matematičkog očekivanja diskretne slučajne varijable, približno je jednaka matematičkom očekivanju kontinuirane slučajne varijable Neka .

Zatim

Definicija. Matematičko očekivanje kontinuirana slučajna varijabla naziva se sljedeći određeni integral:

(2)

Ako kontinuirana slučajna varijabla uzima vrijednosti na cijelom brojevnom pravcu, tada

Primjer. Neka je dana gustoća distribucije kontinuirane slučajne varijable:

Tada je njegovo matematičko očekivanje:

Koncept matematičkog očekivanja ima jednostavno mehaničko tumačenje. Distribucija vjerojatnosti slučajne varijable može se tumačiti kao distribucija jedinice mase duž ravne crte. Diskretna slučajna varijabla koja uzima vrijednosti s vjerojatnostima odgovara ravnoj liniji na kojoj su mase koncentrirane u točkama. Kontinuirana slučajna varijabla odgovara kontinuiranoj raspodjeli masa duž cijele crte ili na konačnom segmentu te crte. Tada je matematičko očekivanje apscisa težišta .

SVOJSTVA MATEMATIČKOG OČEKIVANJA

1. Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je samoj konstanti:

2. Konstantni faktor može se izbaciti iz predznaka matematičkog očekivanja:

3. Matematičko očekivanje algebarskog zbroja slučajnih varijabli jednako je algebarskom zbroju njihovih matematičkih očekivanja:

4. Matematičko očekivanje umnoška neovisnih slučajnih varijabli jednako je umnošku njihovih matematičkih očekivanja:

5. Matematičko očekivanje odstupanja slučajne varijable od njezinog matematičkog očekivanja jednako je nuli:

3.2. Mod i medijan slučajne varijable.

Ovo su još dvije karakteristike položaja slučajne varijable.

Definicija. Moda Diskretna slučajna varijabla naziva se njezina najvjerojatnija vrijednost. Za kontinuiranu slučajnu varijablu mod je točka maksimuma funkcije.

Ako poligon distribucije (za diskretnu slučajnu varijablu) ili krivulja distribucije (za kontinuiranu slučajnu varijablu) ima dvije ili više maksimalnih točaka, tada se distribucija naziva bimodalnom odnosno multimodalnom.

Ako ne postoji maksimalna točka, tada se distribucija naziva antimodalnom.

Definicija. Medijan slučajna varijabla je njezina vrijednost u odnosu na koju je jednako vjerojatno da će se dobiti veća ili manja vrijednost slučajne varijable, tj.

Drugim riječima, ovo je apscisa točke u kojoj je površina ispod grafa gustoće distribucije (poligon distribucije) podijeljena na pola.

Primjer. S obzirom na gustoću slučajne varijable:

Pronađite medijan ove slučajne varijable.

Nađimo medijan iz uvjeta . U našem slučaju,

Od četiri korijena morate odabrati onaj koji je između 0 i 2, tj.

Komentar. Ako je raspodjela slučajne varijable unimodalna i simetrična (normalna), tada se sva tri obilježja položaja: matematičko očekivanje, mod i medijan podudaraju.

3.3 Varijanca i standardna devijacija.

Vrijednosti promatranih slučajnih varijabli obično fluktuiraju više ili manje oko neke prosječne vrijednosti. Taj se fenomen naziva rasipanje slučajne varijable oko njezine srednje vrijednosti. Numeričke karakteristike koje pokazuju koliko su čvrsto moguće vrijednosti slučajne vrijednosti grupirane oko prosjeka nazivaju se karakteristike raspršenja. Iz svojstva 5 matematičkog očekivanja proizlazi da linearno odstupanje vrijednosti slučajne veličine od prosječne vrijednosti ne može poslužiti kao karakteristika raspršenja, budući da se pozitivna i negativna odstupanja međusobno "poništavaju". Stoga se glavnom karakteristikom raspršenja slučajne varijable smatra matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne varijable od srednje vrijednosti.

Definicija. Varijanca naziva se matematičko očekivanje – kvadrat odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja (prosječne vrijednosti), tj.

(3)

(4) za kontinuiranu slučajnu varijablu:

(5)

No, usprkos pogodnosti ove karakteristike raspršenja, poželjno je imati karakteristiku raspršenja razmjernu sa samom slučajnom varijablom i njezinim matematičkim očekivanjem.

Stoga se uvodi još jedna karakteristika raspršenja koja se zove standardna devijacija i jednak je korijenu varijance, tj. .

Za izračun varijance prikladno je koristiti formulu danu sljedećim teoremom.

TEOREMA. Varijanca slučajne varijable jednaka je razlici između matematičkog očekivanja kvadrata slučajne varijable i kvadrata njezinog matematičkog očekivanja, tj.

Zapravo, po definiciji

jer .

SVOJSTVA DISPERZIJE:

1. Varijanca konstantne slučajne varijable je nula, tj.

2. Konstantni faktor slučajne varijable izvađen je iz varijance s kvadratom, t.j.

3. Varijanca algebarskog zbroja dviju slučajnih varijabli jednaka je zbroju njihovih varijanci, tj.

Posljedica od 2 i 3 svojstva:

Pogledajmo primjere..

Primjer 1. Zadan je niz distribucije diskretne slučajne varijable. Pronađite njegovu standardnu ​​devijaciju.

Prvo da nađemo

Zatim standardna devijacija

Primjer 2. Neka je dana gustoća distribucije kontinuirane slučajne varijable:

Pronađite njegovu varijancu i standardnu ​​devijaciju.

3.4 Momenti slučajnih varijabli.

Postoje dvije vrste trenutaka: početni i središnji.

Definicija. Početni trenutak reda slučajan

količine se nazivaju matematičko očekivanje količine, tj. .

Za diskretnu slučajnu varijablu:

Za kontinuiranu slučajnu varijablu:

Konkretno, matematičko očekivanje je početni moment 1. reda.

Definicija. Središnji trenutak je pola naloga slučajna varijabla je matematičko očekivanje vrijednosti, tj.

Za diskretnu slučajnu varijablu:

Za kontinuirano -

Središnji moment 1. reda jednak je nuli (svojstvo 5 matematičkog očekivanja); ; karakterizira asimetriju (iskrivljenost) grafa gustoće distribucije. nazvao koeficijent asimetrije.

Služi za karakterizaciju oštrine raspodjele.

Definicija. Višak slučajna varijabla je broj

Za normalno distribuiranu slučajnu varijablu, odnos Stoga, krivulje distribucije koje su šiljatije od normalne imaju pozitivnu kurtozu (), a one s ravnijim vrhom imaju negativnu kurtozu ().

Primjer. Neka je dana gustoća distribucije slučajne varijable:

Pronađite koeficijent asimetrije i kurtozu ove slučajne varijable.

Pronađimo potrebne točke za ovo:

Tada je koeficijent asimetrije: (negativna asimetrija).

JEDNODIMENZIONALNE SLUČAJNE VARIJABLE

Pojam slučajne varijable. Diskretne i kontinuirane slučajne varijable. Funkcija distribucije vjerojatnosti i njezina svojstva. Gustoća distribucije vjerojatnosti i njezina svojstva. Numeričke karakteristike slučajnih varijabli: matematičko očekivanje, disperzija i njihova svojstva, standardna devijacija, mod i medijan; početni i središnji momenti, asimetrija i kurtosis.

1. Pojam slučajne varijable.

Slučajno je veličina koja kao rezultat ispitivanja poprima jednu ili drugu (ali samo jednu) moguću vrijednost, unaprijed poznatu, koja varira od ispitivanja do ispitivanja i ovisno o slučajnim okolnostima. Za razliku od slučajnog događaja, koji je kvalitativna karakteristika slučajnog rezultata ispitivanja, slučajna varijabla karakterizira rezultat testa kvantitativno. Primjeri slučajne varijable uključuju veličinu obratka, pogrešku u rezultatu mjerenja bilo kojeg parametra proizvoda ili okoliša. Među slučajnim varijablama koje se susreću u praksi mogu se razlikovati dvije glavne vrste: diskretne varijable i kontinuirane varijable.

Diskretna je slučajna varijabla koja poprima konačan ili beskonačan prebrojiv skup vrijednosti. Na primjer, stopa pogodaka s tri hica; broj neispravnih proizvoda u seriji komada; broj primljenih poziva na telefonskoj centrali tijekom dana; broj kvarova elemenata uređaja tijekom određenog vremenskog razdoblja pri ispitivanju pouzdanosti; broj hitaca do prvog pogotka u metu itd.

Stalan je slučajna varijabla koja može uzeti bilo koju vrijednost iz nekog konačnog ili beskonačnog intervala. Očito je da je broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable beskonačan. Na primjer, greška u mjerenju dometa radara; vrijeme rada mikro kruga; pogreška u proizvodnji dijelova; koncentracija soli u morskoj vodi itd.

Slučajne varijable obično se označavaju slovima , itd., a njihove moguće vrijednosti - itd. Da bi se specificirala slučajna varijabla, nije dovoljno navesti sve njene moguće vrijednosti. Također je potrebno znati koliko često se pojedine njegove vrijednosti mogu pojaviti kao rezultat ispitivanja pod istim uvjetima, odnosno potrebno je postaviti vjerojatnosti njihovog pojavljivanja. Skup svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih odgovarajućih vjerojatnosti čini distribuciju slučajne varijable.

2. Zakoni raspodjele slučajnih varijabli.

Zakon raspodjele Slučajna varijabla je bilo koja podudarnost između mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih odgovarajućih vjerojatnosti. Kaže se da se slučajna varijabla pridržava zadanog zakona distribucije. Pozivaju se dvije slučajne varijable nezavisna, ako zakon raspodjele jedne od njih ne ovisi o mogućim vrijednostima koje je uzela druga količina. Inače se pozivaju slučajne varijable ovisan. Poziva se nekoliko slučajnih varijabli međusobno nezavisni, ako zakoni raspodjele bilo kojeg broja njih ne ovise o mogućim vrijednostima koje su uzele druge količine.

Zakon raspodjele slučajne varijable može se zadati u obliku tablice, u obliku funkcije razdiobe ili u obliku gustoće razdiobe. Tablica koja sadrži moguće vrijednosti slučajne varijable i odgovarajuće vjerojatnosti najjednostavniji je oblik specificiranja zakona distribucije slučajne varijable:

Tabelarna dodjela zakona distribucije može se koristiti samo za diskretnu slučajnu varijablu s konačnim brojem mogućih vrijednosti. Tablični oblik specificiranja zakona slučajne varijable također se naziva serija distribucije.

Radi jasnoće, serija distribucije prikazana je grafički. Kada se grafički prikazuju u pravokutnom koordinatnom sustavu, sve moguće vrijednosti slučajne varijable iscrtavaju se duž apscisne osi, a odgovarajuće vjerojatnosti se iscrtavaju duž ordinatne osi. Zatim grade točke i povezuju ih ravnim segmentima. Dobivena figura zove se distribucijski poligon(slika 5). Treba imati na umu da se spajanje vrhova ordinata radi samo radi jasnoće, budući da u intervalima između i, i, itd., slučajna varijabla ne može poprimiti vrijednosti, stoga su vjerojatnosti njezina pojavljivanja u tim intervalima jednake nula.

Poligon distribucije, kao i serija distribucije, jedan je od oblika zadavanja zakona distribucije diskretne slučajne varijable. Mogu imati vrlo različite oblike, ali svi imaju jedno zajedničko svojstvo: zbroj ordinata vrhova distribucijskog poligona, koji je zbroj vjerojatnosti svih mogućih vrijednosti slučajne varijable, uvijek je jednak jedan. Ovo svojstvo proizlazi iz činjenice da sve moguće vrijednosti slučajne varijable tvore potpunu skupinu nekompatibilnih događaja, čiji je zbroj vjerojatnosti jednak jedan.

Obrazovna ustanova "Bjeloruska država

poljoprivredna akademija"

Katedra za višu matematiku

Smjernice

proučavati temu “Slučajne varijable” studentima Računovodstvenog fakulteta za dopisno obrazovanje (NISPO)

Gorki, 2013. (monografija).

Slučajne varijable

Diskretne i kontinuirane slučajne varijable

Jedan od glavnih pojmova u teoriji vjerojatnosti je koncept nasumična varijabla . Nasumična varijabla je veličina koja kao rezultat ispitivanja poprima samo jednu od svojih brojnih mogućih vrijednosti, a nije unaprijed poznato koju.

Postoje slučajne varijable diskretan i kontinuiran . Diskretna slučajna varijabla (DRV) je slučajna varijabla koja može poprimiti konačan broj međusobno izoliranih vrijednosti, tj. ako se moguće vrijednosti ove količine mogu preračunati. Kontinuirana slučajna varijabla (CNV) je slučajna varijabla čije sve moguće vrijednosti u potpunosti ispunjavaju određeni interval brojevnog pravca.

Slučajne varijable se označavaju velikim slovima latinične abecede X, Y, Z itd. Moguće vrijednosti slučajnih varijabli označene su odgovarajućim malim slovima.

Snimiti
znači "vjerojatnost da slučajna varijabla x poprimit će vrijednost 5, što je jednako 0,28."

Primjer 1 . Kocka se baca jednom. U tom slučaju mogu se pojaviti brojevi od 1 do 6 koji označavaju broj bodova. Označimo slučajnu varijablu x=(broj osvojenih bodova). Ova slučajna varijabla kao rezultat testa može poprimiti samo jednu od šest vrijednosti: 1, 2, 3, 4, 5 ili 6. Dakle, slučajna varijabla x postoji DSV.

Primjer 2 . Kad se kamen baci, prijeđe određenu udaljenost. Označimo slučajnu varijablu x=(kamena udaljenost leta). Ova slučajna varijabla može uzeti bilo koju, ali samo jednu vrijednost iz određenog intervala. Prema tome, slučajna varijabla x postoji NSV.

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable

Diskretnu slučajnu varijablu karakteriziraju vrijednosti koje može poprimiti i vjerojatnosti s kojima se te vrijednosti uzimaju. Poziva se podudarnost između mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable i njihovih odgovarajućih vjerojatnosti zakon raspodjele diskretne slučajne varijable .

Ako su poznate sve moguće vrijednosti
nasumična varijabla x i vjerojatnosti
pojave tih vrijednosti, tada se vjeruje da zakon raspodjele DSV x je poznat i može se napisati u obliku tablice:

DSV zakon raspodjele može se grafički prikazati ako su točke prikazane u pravokutnom koordinatnom sustavu
,
, …,
i spojite ih ravnim segmentima. Dobivena figura naziva se poligon distribucije.

Primjer 3 . Zrno namijenjeno čišćenju sadrži 10% korova. Slučajno su odabrana 4 zrna. Označimo slučajnu varijablu x=(broj korova među četiri odabrana). Konstruirajte DSV zakon raspodjele x i distribucijski poligon.

Riješenje . Prema uvjetima primjera. Zatim:

Zapišimo zakon distribucije DSV X u obliku tablice i konstruirajmo poligon distribucije:

Očekivanje diskretne slučajne varijable

Najvažnija svojstva diskretne slučajne varijable opisana su njezinim karakteristikama. Jedna od tih karakteristika je očekivana vrijednost nasumična varijabla.

Neka se zna DSV zakon raspodjele x:

Matematičko očekivanje DSV x je zbroj umnožaka svake vrijednosti ove količine s odgovarajućom vjerojatnošću:
.

Matematičko očekivanje slučajne varijable približno je jednako aritmetičkoj sredini svih njezinih vrijednosti. Stoga se u praktičnim problemima prosječna vrijednost ove slučajne varijable često uzima kao matematičko očekivanje.

Primjer 8 . Strijelac postiže 4, 8, 9 i 10 bodova s ​​vjerojatnostima 0,1, 0,45, 0,3 i 0,15. Nađite matematičko očekivanje broja bodova s ​​jednim hicem.

Riješenje . Označimo slučajnu varijablu x=(broj postignutih bodova). Zatim . Tako je očekivani prosječni broj poena postignut s jednim udarcem 8,2, a s 10 hitaca - 82.

Glavna svojstva matematička očekivanja su:

.

.

, Gdje
,
.

.

, Gdje x I Y

Razlika
nazvao odstupanje nasumična varijabla x od svog matematičkog očekivanja. Ova razlika je slučajna varijabla i njeno matematičko očekivanje je nula, tj.
.

Varijanca diskretne slučajne varijable

Za karakterizaciju slučajne varijable, osim matematičkog očekivanja, također koristimo disperzija , što omogućuje procjenu disperzije (rasprostiranja) vrijednosti slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja. Kada se uspoređuju dvije homogene slučajne varijable s jednakim matematičkim očekivanjima, "najboljom" vrijednošću smatra se ona koja ima manji raspon, tj. manja disperzija.

Varijanca nasumična varijabla x naziva se matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja: .

U praktičnim problemima koristi se ekvivalentna formula za izračunavanje varijance.

Glavna svojstva disperzije su:

.

.

, Gdje x I Y su nezavisne slučajne varijable.

Disperzija karakterizira širenje slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja i, kao što se može vidjeti iz formule, mjeri se u kvadratnim jedinicama u usporedbi s jedinicama same slučajne varijable. Stoga, da bismo uskladili mjerne jedinice širenja slučajne varijable s mjernim jedinicama same vrijednosti, uvodimo standardna devijacija
.

Primjer 9 . Pronađite disperziju i standardnu ​​devijaciju DSV-a x, dano zakonom raspodjele:

Riješenje . DSV varijanca x izračunati po formuli

Nađimo matematičko očekivanje ove slučajne varijable: . Zapišimo zakon raspodjele za slučajnu varijablu
:

,
.

Pitanja za samokontrolu znanja

Što je slučajna varijabla?

Koja se slučajna varijabla naziva diskretnom, a koja kontinuiranom?

Kako se zove zakon distribucije diskretne slučajne varijable?

Što je matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable i koja su njena glavna svojstva?

Koliko je odstupanje slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja?

Što se zove varijanca diskretne slučajne varijable i koja su njena glavna svojstva?

Zašto je standardna devijacija uvedena i kako se izračunava?

Zadaci za samostalan rad