Теорема. Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы равнялись нулю. Достаточность : при F o =0 система сходящихся сил, приложенных в центре приведения О, эквивалентна нулю, а при М о =0 система пар сил эквивалентна нулю. Следовательно, исходная система сил эквивалентна нулю. Необходимость: Пусть данная система сил эквивалентна нулю. Приведя систему к двум силам, заметим, что система сил Q и Р (рис. 4.4) должна быть эквивалентна нулю, следовательно, эти две силы должны иметь общую линию действия и должно выполняться рав-во Q=–Р. Но это может быть, если линия действия силы Р проходит через точку О, т. е. если h=0. А это значит, что главный момент равен нулю (М о =0). Т.к. Q+Р=0, a Q=F o +P", то F o +P"+P=0, и, следовательно, F o = 0. Необх и дост усл равнов пространственной сист сил им вид: F o =0, M o =0 (4.15),
или, в проекциях на координатные оси, Fox=åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0; F Oy =åF ky =F 1y +F 2y +...+F ny =0; F oz =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz =0 (4.16). M Ox =åM Ox (F k)=M Ox (F 1)+М ox (F 2)+...+M Ox (F n)=0, M Oy =åM Oy (F k)=M oy (F 1)+M oy (F 2)+…+M oy (F n)=0, М oz =åМ О z (F k)=М О z (F 1)+M oz (F 2)+...+М oz (F n)=0. (4.17)
Т.о. при решении задач имея 6 ур-ий можно найти 6 неизвестных. Замечание: пару сил нельзя привести к равнодействующей. Частные случаи: 1) Равновесие пространственной системы параллельных сил. Пусть ось Z параллельна линиям действ силы (рис 4.6), тогда проекции сил на x и y равны 0 (F kx =0 и F ky =0), а остаётся только F oz . А что касается моментов, то остаются только M ox и M oy , а M oz отсутствует. 2) Равновесие плоской системы сил. Остаются ур-я F ox , F oy и момент M oz (рис 4.7). 3) Равновесие плоской системы параллельных сил. (рис. 4.8). Остаются только 2 ур-я: F oy и M oz .При составлении ур-ий равновесия за центр привидения может быть выбрана любая точка.
Т. о., для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех этих сил на каждую из трех любым образом выбранных координатных осей равнялась нулю и чтобы алгебраическая сумма их моментов относительно каждой из этих осей также равнялась нулю.
Условия (1.33) называются условиями равновесия произвольной пространственной системы сил в аналитической форме .
Условия равновесия пространственной системы параллельных сил. Если линии действия всех сил данной системы сил расположены в разных плоскостях и параллельны между собой, то такая система сил называется пространственной системой параллельных сил .
Пользуясь условиями равновесия (1.33) произвольной пространственной системы сил, можно найти условия равновесия пространственной системы параллельных сил. (Выведенные нами ранее условия равновесия для плоской и пространственной систем сходящихся сил, произвольной плоской системы сил и плоской системы параллельных сил также можно было бы получить, пользуясь условиями равновесия (1.33) произвольной пространственной системы сил).
Пусть на твердое тело действует пространственная система параллельных сил (рисунок 1.26). Так как выбор координатных осей произволен, то можно выбрать координатные оси так, чтобы ось z была параллельна силам. При таком выборе координатных осей проекции каждой из сил на оси х и у и их моменты относительно оси z будут равны нулю, и, следовательно, равенства , и удовлетворяются независимо от того, находится ли данная система сил в равновесии или нет, а поэтому перестают быть условиями равновесия. Поэтому система (1.33) даст только три условия равновесия:
Следовательно, для равновесия пространственной системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на ось, параллельную этим силам, равнялась нулю и чтобы алгебраическая сумма их моментов относительно каждой из двух координатных осей, перпендикулярных к этим силам, также равнялась нулю .
1. Выбрать тело (или точку), равновесие которого должно быть рассмотрено в данной задаче.
2. Освободить выбранное тело от связей и изобразить (расставить) все действующие на это тело (и только на это тело) активные силы и силы реакций отброшенных связей . Тело, освобожденное от связей, с приложенной к нему системой активных сил и сил реакций, следует изображать отдельно.
3. Составить уравнения равновесия . Для составления уравнений равновесия необходимо сначала выбрать оси координат. Этот выбор можно производить произвольно, но полученные уравнения равновесия будут решаться проще, если одну из осей направить перпендикулярно к линии действия какой-либо неизвестной силы реакции. Решение полученных уравнений равновесия следует, как правило, проводить до конца в общем виде (алгебраически). Тогда для искомых величин будут получаться формулы, позволяющие проанализировать найденные результаты; численные значения найденных величин подставляются только в окончательные формулы. Уравнения равновесия составляются при аналитическом методе решения задач на равновесие системы сходящихся сил. Однако, если число сходящихся сил, равновесие которых рассматривается, равно трем, то удобно применить геометрический метод решения этих задач. Решение в данном случае сводится к тому, что вместо уравнений равновесия всех действующих сил (активных и реакций связей) строится силовой треугольник, который на основании геометрического условия равновесия должен быть замкнут (начинать построение этого треугольника следует с заданной силы). Решая силовой треугольник, находим искомые величины.
Динамика
Для понимания раздела динамики необходимо знать следующие сведения. Из математики – скалярное произведение двух векторов, дифференциальные уравнения. Из физики – законы сохранения энергии, количества движения. Теория колебаний. Рекомендуется повторить эти темы.
Произвольной пространственной системой сил называется система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.
Отсюда вытекает условие равновесия произвольной пространственной системы сил .
В геометрической форме: для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы равнялись нулю
R = 0, M o = 0 .
В аналитической форме: для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на три координатные оси и суммы моментов всех сил относительно этих осей были равны нулю
ΣF kx = 0 , ΣF ky = 0 , ΣF kz = 0 ,
M x (F k) = 0 , M y (F k) = 0 , M z (F k) = 0 .
Центр тяжести. Способы определение центра тяжести. Координаты центра тяжести плоского тела и составленных сечений.
Центр тяжести
Центр тяжести тела - точка приложения силы тяжести (равнодействующей гравитационных сил).
Центр тяжести делит расстояние между двумя грузами в отношении, обратном отношению их масс.
Определение центра тяжести
Определение центра тяжести произвольного тела путем последовательного сложения сил, действующих на отдельные его части,- трудная задача; она облегчается только для тел сравнительно простой формы.
Пусть тело состоит только из двух грузов с массами m 1 и m 2 , соединенных стержнем (рис. 126). Если масса стержня мала по сравнению с массами m 1 и m 2 , то ею можно пренебречь. На каждую из масс действует сила тяжести:
P 1 =m 1 g, Р 2 =m 2 g;
обе они направлены вертикально вниз, т. е. параллельно друг другу. Как мы уже знаем, равнодействующая двух параллельных сил приложена в точке О, которая определяется из условия
Следовательно, центр тяжести делит расстояние между двумя массами в отношении обратном отношению масс. Если это тело подвесить в точке О, оно останется в равновесии.
Определение координат центра тяжести
Способы определения координат центра тяжести
Исходя из полученных ранее общих формул, можно указать способы определения координат центров тяжести твердых тел:
1 Аналитический (путем интегрирования).
2 Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
3 Экспериментальный (метод подвешивания тела).
4 Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C
и площадь S
известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy
(рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S 1
и S 2
(S = S 1 + S 2
). Центры тяжести этих фигур находятся в точках C 1 (x 1 , y 1)
и C 2 (x 2 , y 2)
. Тогда координаты центра тяжести тела равны
 
Рисунок 1.8
5Дополнение (метод отрицательных площадей или объемов). Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):
 
Рисунок 1.9
|
Центр тяжести однородных плоских тел
(плоских фигур)
Очень часто приходится определять центр тяжести различных плоских тел и геометрических плоских фигур сложной формы. Для плоских тел можно записать: V = Ah, где А - площадь фигуры, h - ее высота.
Тогда после подстановки в записанные выше формулы получим:
; 
; ,
где Ак - площадь части сечения; хк, ук - координаты ЦТ частей сечения.
Выражение называют статическим моментом площади (Sy.).
Координаты центра тяжести сечения можно выразить через статический момент:
Оси, проходящие через центр тяжести, называются центральными осями. Статический момент относительно центральной оси равен нулю.
Определение координат центра тяжести плоских фигур
Примечание. Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии.
Центр тяжести стержня находится на середине высоты. Положения центров тяжести простых геометрических фигур могут быть рассчитаны по известным формулам (рис. 8.3: а) - круг; б) - квадрат, прямоугольник; в) - треугольник; г) - полукруг).
О R = 0 и M R x = R y = R z = 0 и M x = M y = M
Условия равновесия произвольной пространственной системы сил.
Произвольную пространственную систему сил, как и плоскую, можно привести к какому-нибудь центру О и заменить одной результирующей силой и парой с моментом. Рассуждая так, что для равновесия этой системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно былоR = 0 и M о = 0. Но векторы имогут обратиться в нуль только тогда, когда равны нулю все их проекции на оси координат, т. е. когдаR x = R y = R z = 0 и M x = M y = M z = 0 или, когда действующие силы удовлетворяют условиям
Таким образом, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и суммы их моментов относительно этих осей были равны нулю.
Принципы решения задач на равновесие тела под действием пространственной системы сил.
Принцип решения задач этого раздела остается тем же, что и для плоской системы сил. Установив, равновесие, какого тела будет рассматриваться, заменяют наложенные на тело связи их реакциями и составляют условия равновесия этого тела, рассматривая его как свободное. Из полученных уравнений определяются искомые величины.
Для получения более простых систем уравнений рекомендуется оси проводить так, чтобы они пересекали больше неизвестных сил или были к ним перпендикулярны (если это только излишне не усложняет вычисления проекций и моментов других сил).
Новым элементом в составлении уравнений является вычисление моментов сил относительно осей координат.
В случаях, когда из общего чертежа трудно усмотреть, чему равен момент данной силы относительно какой-нибудь оси, рекомендуется изобразить на вспомогательном чертеже проекцию рассматриваемого тела (вместе с силой) на плоскость, перпендикулярную к этой оси.
В тех случаях, когда при вычислении момента возникают затруднения в определении проекции силы на соответствующую плоскость или плеча этой проекции, рекомендуется разложить силу на две взаимно перпендикулярные составляющие (из которых одна параллельна какой-нибудь координатной оси), а затем воспользоваться теоремой Вариньона.
Пример 5.
Рама АВ (рис.45) удерживается в равновесии шарниром А и стержнем ВС . На краю рамы находится груз весом Р . Определим реакции шарнира и усилие в стержне.
Рис.45
Рассматриваем равновесие рамы вместе с грузом.
Строим расчётную схему, изобразив раму свободным телом и показав все силы, действующие на неё: реакции связей и вес груза Р . Эти силы образуют систему сил, произвольно расположенных на плоскости.
Желательно составить такие уравнения, чтобы в каждом было по одной неизвестной силе.
В нашей задаче это точка А , где приложены неизвестные и; точкаС , где пересекаются линии действия неизвестных сил и; точкаD – точка пересечения линий действия сил и. Составим уравнение проекций сил на осьу (на ось х проектировать нельзя, т.к. она перпендикулярна прямой АС ).
И, прежде чем составлять уравнения, сделаем еще одно полезное замечание. Если на расчётной схеме имеется сила, расположенная так, что плечо её находится непросто, то при определении момента рекомендуется предварительно разложить вектор этой силы на две, более удобно направленные. В данной задаче разложим силу на две:и(рис.37) такие, что модули их
Составляем уравнения:
Из второго уравнения
находим
.
Из третьего
И из первого
Так как получилось S <0, то стержень ВС будет сжат.
Произвольную пространственную систему сил, как и плоскую, можно привести к какому-нибудь центру О и заменить одной результирующей силой и парой с моментом . Рассуждая так, что для равновесия этой системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно было R = 0 и M о = 0. Но векторы и могут обратиться в нуль только тогда, когда равны нулю все их проекции на оси координат, т. е. когда R x = R y = R z = 0 и M x = M y = M z = 0 или, когда действующие силы удовлетворяют условиям
ΣX i = 0; ΣM x (P i ) = 0;
ΣY i = 0; ΣM y (P i ) = 0;
ΣZ i = 0; ΣM z (P i ) = 0.
Таким образом, для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил системы на каждую из координатных осей, а также суммы моментов всех сил системы относительно каждой из этих осей равнялись нулю.
В частных случаях системы сходящихся или параллельных сил эти уравнения будут линейно зависимы, и только три уравнения из шести будут линейно независимыми.
Например, уравнения равновесия системы сил, параллельных оси Oz , имеют вид:
ΣZ i = 0;
ΣM x (P i ) = 0;
ΣM y (P i ) = 0.
Задачи на равновесие тела под действием пространственной системы сил.
Принцип решения задач этого раздела остается тем же, что и для плоской системы сил. Установив, равновесие, какого тела будет рассматриваться, заменяют наложенные на тело связи их реакциями и составляют условия равновесия этого тела, рассматривая его как свободное. Из полученных уравнений определяются искомые величины.
Для получения более простых систем уравнений рекомендуется оси проводить так, чтобы они пересекали больше неизвестных сил или были к ним перпендикулярны (если это только излишне не усложняет вычисления проекций и моментов других сил).
Новым элементом в составлении уравнений является вычисление моментов сил относительно осей координат.
В случаях, когда из общего чертежа трудно усмотреть, чему равен момент данной силы относительно какой-нибудь оси, рекомендуется изобразить на вспомогательном чертеже проекцию рассматриваемого тела (вместе с силой) на плоскость, перпендикулярную к этой оси.
В тех случаях, когда при вычислении момента возникают затруднения в определении проекции силы на соответствующую плоскость или плеча этой проекции, рекомендуется разложить силу на две взаимно перпендикулярные составляющие (из которых одна параллельна какой-нибудь координатной оси), а затем воспользоваться теоремой Вариньона.
Пример 5. Рама АВ (рис.45) удерживается в равновесии шарниром А и стержнем ВС . На краю рамы находится груз весом Р . Определим реакции шарнира и усилие в стержне.
Рис.45
Рассматриваем равновесие рамы вместе с грузом.
Строим расчётную схему, изобразив раму свободным телом и показав все силы, действующие на неё: реакции связей и вес груза Р . Эти силы образуют систему сил, произвольно расположенных на плоскости.
Желательно составить такие уравнения, чтобы в каждом было по одной неизвестной силе.
В нашей задаче это точка А , где приложены неизвестные и ; точка С , где пересекаются линии действия неизвестных сил и ; точка D – точка пересечения линий действия сил и . Составим уравнение проекций сил на ось у (на ось х проектировать нельзя, т.к. она перпендикулярна прямой АС ).
И, прежде чем составлять уравнения, сделаем еще одно полезное замечание. Если на расчётной схеме имеется сила, расположенная так, что плечо её находится непросто, то при определении момента рекомендуется предварительно разложить вектор этой силы на две, более удобно направленные. В данной задаче разложим силу на две: и (рис.37) такие, что модули их
Составляем уравнения:
Из второго уравнения находим
Из третьего
И из первого
Так как получилось S <0, то стержень ВС будет сжат.
Пример 6. Прямоугольная полка весом Р удерживается в горизонтальном положении двумя стержнями СЕ и СD , прикреплёнными к стене в точке Е . Стержни одинаковой длины, AB=2a , EO=a . Определим усилия в стержнях и реакции петель А и В .
Рис.46
Рассматриваем равновесие плиты. Строим расчётную схему (рис.46). Реакции петель принято показывать двумя силами перпендикулярными оси петли: .
Силы образуют систему сил, произвольно расположенных в пространстве. Можем составить 6 уравнений. Неизвестных - тоже шесть.
Какие уравнения составлять – надо подумать. Желательно такие, чтобы они были попроще и чтобы в них было поменьше неизвестных.
Составим такие уравнения:
Из уравнения (1) получим: S 1 =S 2 . Тогда из (4): .
Из (3): Y A =Y B и, по (5), . Значит Из уравнения (6), т.к. S 1 =S 2 , следует Z A =Z B . Тогда по (2) Z A =Z B =P/4.
Из треугольника , где , следует 
, 
Поэтому 
Y A =Y B =0,25P, Z A =Z B 0,25P.
Для проверки решения можно составить ещё одно уравнение и посмотреть, удовлетворяется ли оно при найденных значениях реакций:
Задача решена правильно.
Вопросы для самопроверки
Какая конструкция называется фермой?
Назовите основные составные элементы фермы.
Какой стержень фермы называется нулевым?
Сформулируйте леммы, определяющие нулевой стержень фермы.
В чем заключается сущность способа вырезания узлов?
На основании каких соображений без вычислений можно определить стержни пространственных ферм, в которых при заданной нагрузке усилия равны нулю?
В чем заключается сущность способа Риттера?
Каково соотношение между нормальной реакцией поверхности и силой нормального давления?
Что называется силой трения?
Запишите закон Амонтона-Кулона.
Сформулируйте основной закон трения. Что такое коэффициент трения, угол трения и от чего зависит их значение?
Брус находится в равновесии, опираясь на гладкую вертикальную стену и шероховатый горизонтальный пол; центр тяжести бруса находится в его середине. Можно ли определить направление полной реакции пола?
Назовите размерность коэффициента трения скольжения.
Что такое предельная сила трения скольжения.
Что характеризует конус трения?
Назовите причину появления момента трения качения.
Какова размерность коэффициента трения качения?
Приведите примеры устройств, в которых возникает трение верчения.
В чем заключается разница между силой сцепления и силой трения?
Что называют конусом сцепления?
Каковы возможные направления реакции шероховатой поверхности?
Что представляет собой область равновесия и каковы условия равновесия сил, приложенных к бруску, опирающемуся на две шероховатые поверхности?
Что называется моментом силы относительно точки? Какова размерность этой величины?
Как вычислить модуль момента силы относительно точки?
Сформулируйте теорему о моменте равнодействующей системы сходящихся сил.
Что называется моментом силы относительно оси?
Запишите формулу, связывающую момент силы относительно точки с моментом этой же силы относительно оси, проходящей через эту точку.
Как определяется момент силы относительно оси?
Почему при определении момента силы относительно оси нужно обязательно спроецировать силу на плоскость, перпендикулярную оси?
Каким образом нужно расположить ось, чтобы момент данной силы относительно этой оси равнялся нулю?
Приведите формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей.
Как направлен вектор момента силы относительно относительно точки?
Как определяется на плоскости момент силы относительно точки?
Какой площадью можно определить числовое значение момента силы относительно данной точки?
Изменяется ли момент силы относительно данной точки при переносе силы вдоль линии ее действия?
В каком случае момент силы относительно данной точки равен нулю?
Определите геометрическое место точек пространства, относительно которых моменты данной силы:
а) геометрически равны;
б) равны по модулю.
Как определяются числовое значение и знак момента силы относительно оси?
При каких условиях момент силы относительно оси равен нулю?
При каком направлении силы, приложенной к заданной точке, ее момент относительно данной оси наибольший?
Какая зависимость существует между моментом силы относительно точки и моментом той же силы относительно оси, проходящей через эту точку?
При каких условиях модуль момента силы относительно точки равен моменту той же силы относительно оси, проходящей через эту точку?
Каковы аналитические выражения моментов силы относительно координатных осей?
Чему равны главные моменты системы сил, произвольно расположенных в пространстве, относительно точки и относительно оси, проходящей через эту точку? Какова зависимость между ними?
Чему равен главный момент системы сил, лежащих в одной плоскости, относительно любой точки этой плоскости?
Чему равен главный момент сил, составляющих пару, относительно любой точки в пространстве?
Что называется главным моментом системы сил относительно заданного полюса?
Как формулируется лемма о параллельном переносе силы?
Сформулируйте теорему о приведении произвольной системы сил к главному вектору и главному моменту.
Запишите формулы для вычисления проекций главного момента на координатные оси.
Приведите векторную запись условий равновесия произвольной системы сил.
Запишите условия равновесия произвольной системы сил в проекциях на прямоугольные координатные оси.
Сколько независимых скалярных уравнений равновесия можно записать для пространственной системы параллельных сил?
Запишите уравнения равновесия для произвольной плоской системы сил.
При каком условии три непараллельные силы, приложенные к твердому телу, уравновешиваются?
Каково условие равновесия трех параллельных сил, приложенных к твердому телу?
Каковы возможные случаи приведения произвольно расположенных и параллельных сил в пространстве?
К какому простейшему виду можно привести систему сил, если известно, что главный момент этих сил относительно различных точек пространства:
а) имеет одно и то же значение не равное нулю;
б) равен нулю;
в) имеет различные значения и перпендикулярен главному вектору;
г) имеет различные значения и неперпендикулярен главному вектору.
Каковы условия и уравнения равновесия пространственной системы сходящихся, параллельных и произвольно расположенных сил и чем они отличаются от условий и уравнений равновесия такого же вида сил на плоскости?
Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной пространственной системы сходящихся сил?
Запишите систему уравнений равновесия пространственной системы сил?
Каковы геометрические и аналитические условия приведения пространственной системы сил к равнодействующей?
Сформулируйте теорему о моменте равнодействующей пространственной системы сил относительно точки и оси.
Составьте уравнения линии действия равнодействующей.
Какую прямую в пространстве называют центральной осью системы сил?
Выведите уравнения центральной оси системы сил?
Покажите, что две скрещивающиеся силы можно привести к силовому винту.
По какой формуле вычисляют наименьший главный момент заданной системы сил?
Запишите формулы для расчета главного вектора пространственной системы сходящихся сил?
Запишите формулы для расчета главного вектора пространственной системы произвольно расположенных сил?
Запишите формулу для расчета главного момента пространственной системы сил?
Какова зависимость главного момента системы сил в пространстве от расстояния центра приведения до центральной оси этой системы сил?
Относительно каких точек пространства главные моменты заданной системы сил имеют один и тот же модуль и составляют с главным вектором один и тот же угол?
Относительно каких точек пространства главные моменты системы сил геометрически равны между собой?
Каковы инварианты системы сил?
Каким условиям удовлетворяют задаваемые силы, приложенные к твердому телу с одной и двумя закрепленными точками, находящемуся в покое?
Будет ли в равновесии плоская система сил, для которой алгебраические суммы моментов относительно трех точек, расположенных на одной прямой, равны нулю?
Пусть для плоской системы сил суммы моментов относительно двух точек равны нулю. При каких дополнительных условиях система будет в равновесии?
Сформулируйте необходимые и достаточные условия равновесия плоской системы параллельных сил.
Что такое моментная точка?
Какие уравнения (и сколько) можно составить для уравновешенной произвольной плоской системы сил?
Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной пространственной системы параллельных сил?
Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной произвольной пространственной системы сил?
Как формулируется план решения задач статики на равновесие сил?